自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
2 i" T8 \* t" T5 y- x7 i函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
" v" I/ D( P. m7 R9 k函数的主要步骤如下：
6 g. K# T3 F% D- Y& c
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
# A" |" m$ o4 U" v3.将步长 h 更新为 h/2。
3 k6 S' R& L; u2 ?$ b7 y7 `+ E4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   2 A4 w- g% C& X4 D4 d
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   8 J: p) m2 Y7 L$ W
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用( i% |1 x\" m) Y0 M2 J
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   4 {* P; j7 D/ b5 L0 r7 [9 C  t( x. r' x
5. ) V  K% C4 {- Y+ v
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   3 s) p0 N  ~% H* a- K. n4 U
7. k1=f(x1,y1);
   ) {  c7 g- d0 ]! ~
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   ; U2 f8 H3 L( ]5 H8 B
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);. r; O6 X& I4 C( D4 T) x7 c# D
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    3 F! S7 f- f& o  h$ o\" f* [
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    ; m/ p7 G8 r6 N3 g- |/ r& o
12. 
    0 P# c  P. ?: d2 n3 ]
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解# i4 y  o& P  D& X+ v
    
14. h=h/2;  q% u. v- }; b4 t5 O
    
15. : i, O' _% [- ?6 q& b2 c6 X
    
16. for i=1:2
    8 {; b\" ?3 u/ |
17. k1=f(u1,v1);/ X$ W) y! M: d. q  Q\" g9 O
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    + U: ^' B7 ^1 M
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    5 r; d# {7 v! L) u; L5 {
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);; D, |% Q0 X  ^9 d, B
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;7 Y1 J# L! l, H# m2 r\" ^$ a0 q: E) V5 ^
    
22. u2=u1+h;0 Y- [$ }. W% Q& H! k& C) D
    
23. u1=u2;
    # }, Y; ]8 ]# F
24. v1=v2;
    2 ?' H1 j) s8 [; [  m
25. end
    & a4 p7 O4 j; H+ c! ?  h
26. ) o* }% z8 l7 Y9 }4 ]3 Z
    
27. err=abs(y2-v2)
    8 z2 D! O3 k4 S/ H$ X\" }4 \
28. 
    ; ~# {& @% B6 o. F) z) V: f

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