自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
; Y7 L& A9 V" w函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：

; t3 z  b# @' Q1 I1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
( O+ d  {9 _  Y" C7 @6 m2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
. O2 h& W/ U; C) g4 W. y& t3.将步长 h 更新为 h/2。
$ U6 Z" h7 b6 I& g1 |- D4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
6 f  A/ J# b0 k6 s2 d6 C. j) _4 ?9 u
4 e: Z# Q3 I" _2 B这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   9 O\" g4 o, O5 \2 A' M
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   * c% a  a# j) _2 X5 X$ H7 h8 N
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   # R4 f6 e2 Q4 W! e5 Z+ c
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   % b3 K\" K* K) M
5. \" o( M) Q1 E* u; D  I+ p0 x\" r
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   2 ~6 F' m! b+ c3 q0 Y& s0 ]
7. k1=f(x1,y1);: I4 G1 ?6 G) R  t
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   ) I! p+ O4 R( l2 f: L) w
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);. M+ k- \  c# v
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    ) T8 f* D$ p( |6 w  d  F
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;! P+ B, R* d* i0 t\" L, k1 z
    
12. 
    9 E# C7 X- |0 ]- P! u- A* o
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    ) u4 c! s; [7 Q. u: J) g& W; c
14. h=h/2;
    + j5 g8 j\" @4 q) s# F
15. 
    3 A1 c; q% U, l' a2 l( n
16. for i=1:28 h( M6 Z. ]) N+ l
    
17. k1=f(u1,v1);+ |\" _2 t& S$ q$ }
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    \" F) Q! K; `. D* D
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    . a7 {. m4 r3 r4 [1 `* G# h3 X3 f
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);' C\" P7 x7 n1 y\" p4 g1 L8 Y5 u
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    4 g, Z/ ]8 k: o# [+ ?( W; e
22. u2=u1+h;
    % T4 i8 x- V. \6 U. j+ t% Z+ D
23. u1=u2;+ g) j/ v, N8 ]9 u
    
24. v1=v2;
    ; n8 }2 s0 L8 e; d8 A\" ]
25. end
    ! j) w  y8 Q\" i# s
26. 9 g/ k0 |2 Y5 ]2 e% X' B  h; ?' I
    
27. err=abs(y2-v2)
    3 F$ m- t( T0 ]! K8 I1 F0 }5 R
28. \" O; i0 X: m3 l7 ?/ V
    

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