matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
1 s! m2 f5 @4 j: E以下是代码的一些关键部分的解释：

3 e4 e; D5 `6 }( J1 O1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
' A& \* b; }0 q" e3 Z! w* G2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
$ y! a. c$ [2 r3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
/ X& X. a5 p0 O# K: L7 A1 [- @$ w9 c5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
& d. W$ u, e5 d6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
0 h( z8 l7 q0 B. }# L9 {7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
* |8 S. w2 e, Q5 i$ y9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
5 I5 S/ ~0 D9 C& Y- g, H10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
" b- o2 ?7 F: J9 o11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];1 B5 v( G( E5 }) n% }7 q
   
2. b=[2,-1,-1,2]';
   9 q' R$ k7 g% L: q# T
3. n=length(b);2 m1 J6 ^1 }1 U5 ]
   
4. w=10;! E, i& W5 b7 Y% ?
   
5. D=diag(diag(A));
   4 g& W! @& W  y) z0 O9 _
6. CL=-triu(A,1);( M; R4 D& L# }% o, O
   
7. CLZ=CL';\" g6 X, z8 X& p\" p5 e1 H
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   % T* Z/ k3 E+ L( c3 v\" P  o
9. M=L*L';. |- Y+ S) s% P1 k4 E) }
   
10. C=inv(D)*CL;* P9 h. Y0 I' q4 i  F* ~9 y
    
11. u=[2,3,4,5]';
    ! R  |& R; j$ c* A/ N
12. g=inv(L)*b;$ _  w+ R. K/ T  {/ y
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';' ?- {) G- ~$ F- j) `
    
14. v=L'*u;& W3 w& H; j- K( B5 m2 ]' M2 {
    
15. rw=g-B*v;
    1 L+ z6 R* a9 }1 Z5 ?( |! f
16. r=L*rw;
    7 Z1 S  P3 [  f5 k# Y
17. p=inv(M)*r;7 f: Q! L4 n2 y5 g5 d
    
18. z=p;4 ]+ e0 D2 J) f. o6 ?
    
19. q=A*p;
    ( [' p' i# q! ~+ Y1 K
20. for i=1:50
    $ ~4 t4 P) n! P+ j: P' E/ Z
21.     af=r'*z/(p'*q);' \7 |7 K; d\" [8 D/ I( E2 K, N# E; t0 ?
    
22.     u=u+af*p, a% ?, R0 x) }- v
    
23.     r1=r-af*q;6 ~# W1 S+ g7 I\" w
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);- {+ k& e8 h+ e2 a* a  |. v
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;: L+ c  k* g1 A7 u, x5 V9 x. e
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    ; y- d- v' k0 d9 q8 l0 Q
27.     p=z1+bt*p;5 p- s% S0 ^0 {5 x; ~7 L& y2 N* O
    
28.     q=A*p;+ G7 d& \0 F( l8 p: |
    
29. end* b( q  |( i0 F) V5 Q0 K
    
30.   % Boundary condition.7 Z1 `% @. Y: ~2 m0 }7 A( A7 |
    
31. % zw(:,1) = 0;
    # J0 Y1 S4 i& e3 u: m8 J5 A
32.   %zw(:,n) = 0;; P- i  C! C) r; N& R) v1 z! s
    
33.   %z(:,1) = 0;
    0 B- j, \3 I6 }. `( H) ~
34.   %z(:,n) = 0;
    8 S. A! x2 O: `8 _$ F$ @1 }
35.   %for i=2:108 z7 r\" Y5 N7 }5 }% c/ F3 X
    
36.    %   for j=2:10! O$ f5 b7 m% M\" t7 A
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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2 k, P5 L; W! Z