matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
5 }9 V# ]- H# |- t9 T以下是代码的一些关键部分的解释：
8 y# M6 f. [) ]9 Q$ ^4 z9 T
1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
4 w6 c" I5 O( Y, z( w1 G5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
* v, V4 [* _. a, a& Y6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
! \  C) S' P0 v! E& h$ a: t7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
$ H4 [& K. ^1 v; A7 ~2 y8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
0 N$ R3 M" a0 N" z9 `10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
* u& q& P8 q  r9 y, e4 \: G! X1 E11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];' L) m+ e\" z7 g; l\" `1 R, O
   
2. b=[2,-1,-1,2]';5 B2 L8 u: b1 I  o5 _
   
3. n=length(b);: X' A) @: X: ~% U$ i
   
4. w=10;. U+ |9 J: L' Z! a8 c5 `  a
   
5. D=diag(diag(A));
   . S' h# q* h; ]2 v
6. CL=-triu(A,1);
   % j& G, G  l: s# ~( b
7. CLZ=CL';1 n6 w2 u9 O, h0 }
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));* u2 ~9 I) b1 z
   
9. M=L*L';- E: T& r% Q$ S+ n
   
10. C=inv(D)*CL;2 V/ A  ]; x0 x8 \# k/ r
    
11. u=[2,3,4,5]';
    1 p\" V( n: S$ G( O1 C4 n
12. g=inv(L)*b;+ v. f  \. k/ g5 @: ^
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    / K+ y, E/ F2 j( F2 |: _+ {
14. v=L'*u;
    ' X* z( ^0 A  t* D4 F
15. rw=g-B*v;
    $ ]  \! b1 X# q) c\" |0 E# O
16. r=L*rw;- d: r6 r- O+ O2 t) L6 a
    
17. p=inv(M)*r;
    : {$ x4 K$ N% @$ M% g, Z& [3 V
18. z=p;
    2 V, Q# q6 T$ r, o/ n
19. q=A*p;  e; {# p( f; T' q
    
20. for i=1:50
    7 o, B9 V* U: J3 d# `9 P) A- s. V3 y
21.     af=r'*z/(p'*q);
    ! D6 j1 g+ l7 V, y8 d  h7 e* c
22.     u=u+af*p
    , l* H% @$ G* t9 D% t
23.     r1=r-af*q;4 _9 i: Z& r5 E, n2 [) |
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);8 l8 i\" l$ c4 O0 u' [3 j
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;4 y% g6 y2 H+ N' p' m
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);% g5 K$ k8 M# ]0 `, i
    
27.     p=z1+bt*p;; A' h6 o, V7 c0 b& y$ b
    
28.     q=A*p;! o0 v  [; j+ C7 W! k+ F
    
29. end5 @, O1 m/ Y3 H7 n
    
30.   % Boundary condition.
    ( p+ N$ A$ L( e
31. % zw(:,1) = 0;% o4 i: n0 P$ l, K7 s8 R' ]/ a
    
32.   %zw(:,n) = 0;( p9 S/ [3 b7 P) u  e6 V
    
33.   %z(:,1) = 0;
    % h; j' q  l6 e8 S: r5 M& B: n
34.   %z(:,n) = 0;
    * w$ {. H) C( `) p
35.   %for i=2:10
    \" p3 A\" K- G, }/ {/ k+ l; H& x
36.    %   for j=2:10
    2 S+ d( N+ P2 H# T3 ^4 J
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

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