matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：

1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
9 ]* w, N9 |- y/ H$ L3 y# z* g6 z4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
9 r; h# \3 r$ f2 ^. T4 G1 x6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
! v. X# n" t9 }+ O6 s9 _3 t- j8 r7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
- m2 g# y8 l. U, \( d9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
   + V\" E$ P4 A- V, N4 m/ [6 L( d& n
2. b=[2,-1,-1,2]';
   9 X7 ?3 R, \6 R. V6 V
3. n=length(b);* d$ ?5 e6 R% @\" H2 \% r
   
4. w=10;
   0 P6 ~: O+ b2 U. ^/ G% P# S: j
5. D=diag(diag(A));4 N  f' A+ Z3 S( ~* {3 G5 z
   
6. CL=-triu(A,1);
   3 E( K% z: j: [$ M% P
7. CLZ=CL';
   9 k' A8 ]- g$ D1 P8 ^, k
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));: V3 N( ?2 Q8 F( y( |1 |
   
9. M=L*L';
   $ v: W( C/ v# E' x\" M/ w1 ]2 h
10. C=inv(D)*CL;$ q* |+ o/ a$ Z; u
    
11. u=[2,3,4,5]';- S/ G: _  V9 _* k! _9 ?+ w\" S$ |: x
    
12. g=inv(L)*b;
    2 |% T+ D! A1 b# g+ I$ p1 b
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    % k, b& U6 X* d8 _7 B
14. v=L'*u;\" E\" p- N5 Q* B8 T) k6 Z  y
    
15. rw=g-B*v;
    9 [; k  _% V2 I+ `5 O5 a. e
16. r=L*rw;
    ( _2 K) n5 }* Y6 R( Y
17. p=inv(M)*r;% X\" s# m7 g; \; K  Y% y* q) _
    
18. z=p;/ S# B0 B. Y1 N: a$ P, n& k\" P
    
19. q=A*p;
    6 M- b4 Z+ i! \3 ~
20. for i=1:50$ @. h! K, B- J\" K/ t  X9 u\" {- y: v
    
21.     af=r'*z/(p'*q);
    - D: o$ J% g; {+ Z' f( y
22.     u=u+af*p6 Q. k$ \\" h\" O5 F' `. R
    
23.     r1=r-af*q;$ l6 m2 R% R6 U1 Z8 z( V7 Q9 ^
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);2 C+ O5 h, r0 }4 `& R* g$ k
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;; s  L* I! X; g
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);' ~; l+ r- @) o& I& Y/ _
    
27.     p=z1+bt*p;
    % s3 l6 p2 Q7 W! D5 L7 ^0 G
28.     q=A*p;- R5 b) d8 e3 R. @8 d2 Q
    
29. end# E# Q* ~5 P  `1 i4 A0 W
    
30.   % Boundary condition.2 P/ m2 t5 n: G
    
31. % zw(:,1) = 0;, N* j' @& W  D3 _) f* _% ]
    
32.   %zw(:,n) = 0;\" X# [\" A' R# U/ _4 j
    
33.   %z(:,1) = 0;$ K  d7 i! c& p  I) Z3 }2 ?
    
34.   %z(:,n) = 0;
    ; x; [# I3 F& W* x
35.   %for i=2:10
    6 W6 B- h# c6 P) i' N' t) y$ C. m$ E
36.    %   for j=2:10
    3 h8 G: t/ p7 k( R1 \
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

。

# g/ s$ {2 |# G1 [7 O, b( o! Q