matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：

( o2 }, y' Z% ^, m, o% l1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
0 M; W" i: ~3 k2 F, C0 F2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
- T$ \9 b' E7 Y3 c, V3.(D)：(A) 的对角矩阵。
& n% L! j, @/ s1 Y- X) [4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
' ~& y/ |, d- g& ~. X6 U$ F3 F0 N5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
; n3 H7 {6 F/ `: e5 N! p  p- y  K! |7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
% p. R# l) }) R: _" B) n( P8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
. {5 T, X. W& g' |7 l4 B9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
* s$ y: }$ z5 q! e5 w2 |3 D11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];# y8 P: v/ t; M6 ^8 Y* G
   
2. b=[2,-1,-1,2]';
   & M5 ?; I/ Y5 J% a6 X$ k7 j/ O
3. n=length(b);' ^3 _8 m3 ~/ _
   
4. w=10;
   ( c4 r4 G8 A, y* c/ d- h
5. D=diag(diag(A));; Q4 L5 Y. X: z. Z$ E
   
6. CL=-triu(A,1);& @' _: R) ]  l1 i, U; \
   
7. CLZ=CL';
   2 \0 z1 k2 T& V
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));& d8 M/ `3 s\" _; k7 o3 H\" Q
   
9. M=L*L';
   ) b! w/ Y+ D: K- B
10. C=inv(D)*CL;\" Q! O+ R+ b8 n3 ?3 o$ k
    
11. u=[2,3,4,5]';
    : O9 o0 t+ X! D6 u* k  R
12. g=inv(L)*b;
    6 K, n% x: N2 ~2 f  j\" o2 e' |
13. B=inv(L)*A*inv(L)';$ L\" G2 k$ D& F' y
    
14. v=L'*u;4 k0 W& S1 Z: W/ I) s
    
15. rw=g-B*v;
    $ H7 I2 a: v1 _+ M1 ^; @& z* q
16. r=L*rw;5 {/ m. I& u6 n6 L8 i7 H8 @' q6 J
    
17. p=inv(M)*r;' f$ e4 I* A9 f! P) n; l* k! k
    
18. z=p;
    ) \% r# E. [- R) @$ V4 r6 o* _
19. q=A*p;
    8 w: V( x2 {# G( \) R, X
20. for i=1:50
    ; o/ S& X! d* J! T( ^: g
21.     af=r'*z/(p'*q);
    7 @5 L  w4 R3 `) e
22.     u=u+af*p6 l$ q: L' L: r
    
23.     r1=r-af*q;; N1 Y4 I; D+ f: O
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
      K8 ]' [& ?4 `, Q
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    9 w6 c3 V/ U3 }/ D. v
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    - k. }- b: e+ Z! @- M: O
27.     p=z1+bt*p;/ S3 ~' u6 w3 Z$ F7 s3 K
    
28.     q=A*p;' {2 R( t# R$ U& z0 W9 w  g& _
    
29. end
    & C: F, i9 h* [1 h
30.   % Boundary condition.1 M- Z6 \9 n7 d1 t3 l( X
    
31. % zw(:,1) = 0;( x- g- e+ q% a' R
    
32.   %zw(:,n) = 0;/ U+ Y/ f$ J$ J7 r3 a5 P1 p& T) N# K
    
33.   %z(:,1) = 0;  B0 k! c2 F+ e! E
    
34.   %z(:,n) = 0;
    4 z5 r$ x7 ?5 L, M
35.   %for i=2:10
    * E3 A* o  P+ a$ E
36.    %   for j=2:10
    9 {- ]2 `- \( [6 T2 A/ W
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

。
% F6 B( R- }9 c0 F! r
- ^2 d( \! d( f' v