matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
/ |) @% f! w% d5 |3 E以下是代码的一些关键部分的解释：
  v8 U1 z& y3 b& I% C( P
1 }# j8 w3 _; D7 E1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
6 M9 @% Z+ H8 L8 H2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3 N/ h+ [3 B. N3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
1 y- m$ c4 v0 b/ Y7 n! G4 Y5 A8 W5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
& W1 q+ P) }4 A; _2 w11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];3 c& S2 T# u! z4 r  S  O! j( u
   
2. b=[2,-1,-1,2]';6 @& `' j$ H9 h
   
3. n=length(b);! k8 U6 _) ^8 W+ A6 j' ~
   
4. w=10;
   5 ^6 t4 G9 \5 Z6 P' |
5. D=diag(diag(A));
   ) U) F: {% z2 m. T- e, A) x/ ?
6. CL=-triu(A,1);
   ! u/ X/ v' Z. H% Y- ]2 Z% o
7. CLZ=CL';! o' |& _) }% w/ l& ]: f
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));& u4 [- w: V, t0 V
   
9. M=L*L';
   ( P5 u# t# C% F: J9 g6 w0 O( O
10. C=inv(D)*CL;
    # D2 x) A# H* b) m1 q2 O6 d: ?) }9 _
11. u=[2,3,4,5]';
    3 l- U6 }8 P( M! W! |; r
12. g=inv(L)*b;  B1 y* G3 ]  Y4 u
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    9 N' H$ q9 H% ?$ v\" H/ [
14. v=L'*u;
    0 I7 \2 z$ q8 h' L$ v# H; S5 @3 x
15. rw=g-B*v;
    , V* c/ J9 r  M7 Q8 F; N( Q2 J
16. r=L*rw;3 W( {+ [- t9 s2 N0 I
    
17. p=inv(M)*r;
    ( Q2 u\" U7 l+ y4 l8 q
18. z=p;
    + l: ]& p3 y8 X5 v
19. q=A*p;; i! B( F% ^$ M+ G' n% T* ^
    
20. for i=1:50$ ^+ Z  y0 y6 O\" X% F
    
21.     af=r'*z/(p'*q);2 \( [6 l, j  i& e) N) w
    
22.     u=u+af*p; b8 e( r6 r/ |; e# x3 K2 {
    
23.     r1=r-af*q;; S& f; _3 R/ n5 `. l+ h1 x
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);( y# ?/ o  P  u8 D6 o% g* S. u
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;; g0 x\" Y5 ^+ s. o
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);6 X. `* J8 R9 b2 Q3 K
    
27.     p=z1+bt*p;
    4 z0 ^2 {2 j0 V* d
28.     q=A*p;; d; i% [8 T% Z- ^
    
29. end
    ) V, S! `! D0 g8 \! ^: T
30.   % Boundary condition.' c8 ]8 `$ T3 g! }6 S- L+ U) H) f) X
    
31. % zw(:,1) = 0;) F: F0 e' U! q% E5 o
    
32.   %zw(:,n) = 0;1 e- e. a$ j5 Z/ v. M0 w
    
33.   %z(:,1) = 0;
    % j, [+ d% f$ q  S0 s1 ]
34.   %z(:,n) = 0;. Q( I1 b. ~, U. i
    
35.   %for i=2:10
    6 B( q0 g  z( x( E- o; u
36.    %   for j=2:10
    3 |/ d; o; ?' H/ ]( }% G+ ^
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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7 u' N1 R; C& R9 X$ d$ J
0 c0 t  W# }. h' M
. m& Y: M/ e2 R/ N% Q' L% w/ N