matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
+ X) ]# `$ I# S' d3 {以下是代码的一些关键部分的解释：

! q0 R! o' ^* x( S1 c9 ^; O1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
0 n7 ?( C8 K8 L$ o  ?% |1 |2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
& d4 q" @' I  l, S6 F* [2 y4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
& n+ q( q  N& ^8 M! Y5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
4 e) J  d" L7 I+ P7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
   0 |! q# W2 X\" d8 ]8 F\" h  y0 a% U
2. b=[2,-1,-1,2]';
   4 c% d- i& \6 A. b; m& e
3. n=length(b);8 H  ]5 @6 c- C* N* v. V
   
4. w=10;
   - S$ @$ R8 a! s0 u) `5 ^; e  u
5. D=diag(diag(A));\" w  f# W\" D, T# o9 y' |\" p8 u
   
6. CL=-triu(A,1);
     j* W& I$ D# _3 F; m) L; s/ W
7. CLZ=CL';, G7 X8 H. |& d, Y' j  m
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   * w; K- c) v; Q; Q
9. M=L*L';9 W+ n7 p) z2 Q% N
   
10. C=inv(D)*CL;6 W0 F2 I  ^: @
    
11. u=[2,3,4,5]';% F# n$ E& q+ c$ G4 {$ B
    
12. g=inv(L)*b;' L\" W' L$ w\" U
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';# c: o2 e+ n) f( f
    
14. v=L'*u;
      Z/ ^  s' t0 L& ^
15. rw=g-B*v;# t! \! O' U  R& o
    
16. r=L*rw;
    . U3 N- C+ y5 P
17. p=inv(M)*r;0 s! H' T; _  H. u. W& V1 [# N
    
18. z=p;) v* A7 T( n2 r4 {/ d! V
    
19. q=A*p;+ Q% _/ O+ ~' S\" T( X$ `  Q& S
    
20. for i=1:501 L* C$ ?* ]  ~; l
    
21.     af=r'*z/(p'*q);' d+ ?\" v9 {# |! p: l& h
    
22.     u=u+af*p
    ( f9 _) L) _# R
23.     r1=r-af*q;1 M8 h. N7 m# C- t' Y4 ]$ u
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    4 G' S3 L: C0 M2 X4 ]' s/ h7 g
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    ) Q( o9 |. {( g4 Z
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    ; S: j$ ~0 W1 q/ ~) @
27.     p=z1+bt*p;
    3 E6 q$ p3 [% @7 }: a$ u
28.     q=A*p;% y9 N! e: Z/ l* p% t
    
29. end
    - Z# v2 @) C2 p\" x
30.   % Boundary condition.% @6 P; S  G0 o) ~
    
31. % zw(:,1) = 0;9 \+ M, U9 `7 L# r( u& ^' q% _
    
32.   %zw(:,n) = 0;- l4 k8 S. p* l, X% f- Q. ?
    
33.   %z(:,1) = 0;
    * T5 ^, ^/ o8 r8 U$ K0 m, E
34.   %z(:,n) = 0;
    + C' _4 ~! ~# m- K& N( Y
35.   %for i=2:10
    $ x3 T+ {- u+ Y
36.    %   for j=2:10* W2 k5 H0 q& G( Z0 k
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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9 B! L( M7 \% I