matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
8 O) B( P( s& W" j2 r+ [以下是代码的一些关键部分的解释：
2 b: m% g) Z/ r) R0 v: ]1 |1 o9 B
& ]6 C! J/ _; R6 v0 j+ `4 T1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
/ @7 n" a9 R1 b( e0 _% O4 c3.(D)：(A) 的对角矩阵。
7 r# x2 G9 j& X- u" L; o4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
4 i8 t) m, Q0 [5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
9 X9 g$ P* C) m: j8 R4 {% I- E6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
" W% q- g4 M% `  u9 v10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
  l  k. D0 g! f3 u- c& C5 U( k11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];2 N3 b4 `6 m$ X6 B( G; d5 ?
   
2. b=[2,-1,-1,2]';/ ^! F+ [9 I5 L1 ?% @2 [
   
3. n=length(b);
   5 Q1 W. i1 j1 x* H7 c
4. w=10;\" z  w7 l3 N! ~6 c* W# A, J' l
   
5. D=diag(diag(A));( s4 b6 l7 \! W! x& z7 F& _! ]& A% @% A
   
6. CL=-triu(A,1);
   , H. z: ~+ F' U4 e! }' N$ W
7. CLZ=CL';& A) a: N2 f& P5 ~/ |! p
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   7 K( Z* Z) p3 Z  \% B- J' U
9. M=L*L';3 D7 s+ H: \5 W/ g4 T: p( v8 [4 F
   
10. C=inv(D)*CL;% V5 w3 l& k) }8 J+ C- \1 t
    
11. u=[2,3,4,5]';( x4 F) r* c: B- L, M
    
12. g=inv(L)*b;9 R# ]: y5 C' N/ O' j) S
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';9 ^- W( o) f4 Q. J
    
14. v=L'*u;
    + t3 K1 W+ [7 `- M
15. rw=g-B*v;
    ' b  J\" U1 I) g
16. r=L*rw;
    ) {1 b3 o4 A\" {5 l* `4 [3 t# r$ y
17. p=inv(M)*r;
    * P\" Q. ^- J2 o& P$ S
18. z=p;
    0 \3 V, r. d' i% S1 I# W% \
19. q=A*p;
    ) ]# d0 C$ c  X) ?2 c- z
20. for i=1:50
    / t: q2 R4 N* _' e
21.     af=r'*z/(p'*q);
    3 X; K5 z: W2 w$ {# x+ k4 m& g
22.     u=u+af*p/ B) H5 ]0 ~  F: _+ B
    
23.     r1=r-af*q;9 v- x& D% s9 [\" L& c
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    4 i* q$ D. b9 z) I9 z) Z) ~, h
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;+ F, X, y/ u3 a# p
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);' Y2 O5 B; a8 Q& Q8 a$ B\" @
    
27.     p=z1+bt*p;2 m3 ?0 a  n: [/ y  j
    
28.     q=A*p;4 N2 n; R* N3 v1 T1 T# `% k# H( s
    
29. end5 p& g3 D, a, N$ n  l8 ~+ ?  h9 }
    
30.   % Boundary condition.
    ) K$ O. p# K$ B6 C
31. % zw(:,1) = 0;2 {; Z+ n* \) s  ^7 n  {
    
32.   %zw(:,n) = 0;5 D1 c# j7 h0 m$ y
    
33.   %z(:,1) = 0;
    , \5 Q# P: G4 F! M8 M4 o: O2 n: v* F
34.   %z(:,n) = 0;
    % K3 H- z7 C3 d- q3 d
35.   %for i=2:10- V% N9 Q/ Q+ o2 r3 b2 n5 o\" r
    
36.    %   for j=2:10
    % M# _% A3 ~: S8 x\" C
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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! O, k& ]  N! H& ^, w1 E0 ]- V

! u. |2 n1 t+ W& w2 C- l