matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：

6 y0 M1 d  M$ X/ l1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
& q  ?5 }. f" F) q: G/ R0 x6 ]2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6 k" Z! Y( S9 |0 b6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
' N4 Y, ]& R& Z) ?7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
. o$ H  Z  W! N. A; R; h, ^+ k' W& n9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
3 z" Q6 L/ s! |10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
0 ?9 V/ `9 N* k" [8 t11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];6 Z\" [- B4 }2 K1 a\" }1 w
   
2. b=[2,-1,-1,2]';6 r  d( w: I; e7 S: s' s9 g9 r
   
3. n=length(b);+ X8 i  S3 S8 C: W+ o! M+ B, q4 F  F
   
4. w=10;, D5 F& F0 Z' |. v
   
5. D=diag(diag(A));
   ' B2 C3 Q% d! {% i4 l, D, C. i
6. CL=-triu(A,1);
   4 q) {\" G' ~: k
7. CLZ=CL';
   / B8 i' ?9 g; K
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   9 I  v- ~8 B. w: A  T2 ?6 U3 u
9. M=L*L';3 ]( W: |: C. @  S1 |: S\" J6 B
   
10. C=inv(D)*CL;1 Z4 G: k  ^- o: e; i
    
11. u=[2,3,4,5]';
    , p; Z: p! s% |; E\" Q; L6 X& X1 e3 M+ I
12. g=inv(L)*b;3 ]/ r2 J) J! y2 h; J3 X% S4 c
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
      o- i: J  X; u) p2 C5 X* ?, i
14. v=L'*u;
    ! V6 {& E\" S2 J+ k/ [$ O$ H
15. rw=g-B*v;
    ) B4 b  _6 D( t2 ~9 H8 S$ B/ }
16. r=L*rw;
    ' y$ z) m- K6 s5 j0 \5 e) o8 ?
17. p=inv(M)*r;+ D. T$ |7 L( ?; y
    
18. z=p;4 z( n' T1 Q\" H4 p* X6 A/ F
    
19. q=A*p;
    ' \- K& n6 q  E( [  N/ @: s  s0 G
20. for i=1:50/ \. U% a& ?7 e) B( n! _
    
21.     af=r'*z/(p'*q);
    / V$ H( a9 j5 |2 e$ z6 d( c/ r% k
22.     u=u+af*p
    1 e4 l$ Q6 e2 _& {: K
23.     r1=r-af*q;/ o8 r' K. O' A: X5 ~
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);$ ]+ N: W% M7 W( b1 I! w6 V
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    ) Y5 t  N% m! c. ~
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);& O. U0 [. G2 d0 _* L& J
    
27.     p=z1+bt*p;
    1 Q+ m) n; g! Z/ a7 G
28.     q=A*p;& D5 C. `% v, c4 d  ~( M% @
    
29. end
    / n5 s5 q2 r; r+ u% g% {! k% n
30.   % Boundary condition.# ^' \4 M: g- a5 J6 C0 s2 Z
    
31. % zw(:,1) = 0;: Q- d1 J2 ]; ?. r7 Z
    
32.   %zw(:,n) = 0;
    ( d$ F3 w( U: `) h8 N* v2 t
33.   %z(:,1) = 0;2 G, \* v- G2 V! k5 r
    
34.   %z(:,n) = 0;
    ; ~  \8 P: L8 X% g* I  j) T7 Y5 w
35.   %for i=2:10
    9 g) I1 c6 Y' i2 G1 v
36.    %   for j=2:106 q0 Z\" ^, M: e# T  R6 C
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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% K- h1 k: y8 [3 S