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matlab实现解决空间上的温度分布

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发表于 2023-12-30 19:57 |只看该作者 |倒序浏览

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这段 MATLAB 代码实现了一个求解一维热传导方程的显式差分方法。该方程描述了空间上的温度分布随时间的演变。
以下是代码的主要部分解释：

1.a 和 b：空间区域的起始和结束点。
2.m：空间网格的数量。
3.T：模拟的总时间。
4.N：时间步数。
5.af：空间步长和时间步长的比率。
6.f：表示初始条件的匿名函数，这里是 (f(x) = \sin(\pi x))。
7.h 和 k：空间和时间步长。
8.lmd：数值参数，与差分方程中的空间和时间步长有关。
9.x：在区间 ([a, b]) 上生成的空间网格点。
10.初始化向量 u，用于存储每个空间点在不同时间步的温度。
11.使用初始条件 (f(x)) 给 u 赋初值。
12.空间差分的系数 l 和 v 的初始化。
13.时间步进循环，其中使用显式差分方法更新空间网格上的温度分布。
14.计算真实解 true，这是通过解析解公式 (e^{-\pi^2 T} \sin(\pi x)) 计算得到的。
15.计算数值解与真实解之间的误差，并将结果打印输出。

这段代码的目的是模拟热传导问题，并比较数值解与解析解之间的差异。输出包含每个空间点的位置 (x)，数值解 u，真实解 true 以及它们之间的误差。

close all;1 w: R0 ^, }8 `& z+ w4 k
clear all;2 W+ q7 V\" T, a) \3 y+ O6 r W
a=0;b=1;m=10;T=0.5;N=50;af=1;
, W1 V\" L9 ~6 ]4 p
f=inline('sin(pi*x)','x');
@$ j# v5 h1 x* d! I6 j- W+ W+ R
h=(b-a)/m;
k=T/N;\" y. Q% Z' u* O' y
lmd=af^2*k/h^2;
' W) ?/ ^7 W/ J: i
x=linspace(a,b,m+1);3 V: x' V; |9 J9 s8 S# Z
x=x(2:m+1);- H: _. Q% @ b- [! O6 n
u(m)=0;
- f6 S( b4 U+ f. a, p) Y, S
for i=1:m-1
' w+ u6 C x& G0 C j4 `( r
u(i)=f(i*h);
, p\" Y7 _7 U: s+ K6 P4 R0 }: I+ r5 Z
end8 S9 @! h9 k1 w5 X5 h! u Q2 r
l(1)=1+lmd;
: q. e2 c, w- ~& ?$ O9 a
v(1)=-lmd/(2*l(1));' f. U, O, ^, }1 \1 d5 d0 k
for i=2:m-28 V5 T% x5 T7 D6 d% X
l(i)=1+lmd+lmd*v(i-1)/2;
: ]/ h- e4 m. h3 _4 A
v(i)=-lmd/(2*l(i));
- `\" e; S3 D& R0 }# v1 z, l, d
end
7 B1 R# W' [, n! ~
l(m-1)=1+lmd+lmd*v(m-2)/2;
' T5 H\" X c' [4 _' J4 ^
for j=1:N
/ F( y& t$ _. f' l
t=j*k;* P8 Z. k; S5 O* u
z(1)=[(1-lmd)*u(1)+lmd*u(2)/2]/l(1);: G; X# i' [ ~6 r2 S' q
for i=2:m-1
4 ]+ ?5 a( A- O4 ]' M% j& p
z(i)=((1-lmd)*u(i)+lmd*(u(i+1)+u(i-1)+z(i-1))/2)/l(i);
! n6 C9 ^% t3 N& S. D4 D! a
end% Z1 n1 v* S% r: F8 L\" P8 j
u(m-1)=z(m-1);
* E# R: g! c# o5 u' {& }/ W1 ]
for i=m-2:-1:1
% G# C8 q8 V; b& o7 J
u(i)=z(i)-v(i)*u(i+1);
8 }0 N\" Y) _& K& l
end. r( n% B% k+ l( P! R! s- [
end\" C: d5 J' _) T, u/ s
true=exp(-pi^2*T).*sin(pi*x);
7 [6 o3 S i1 t' \& c\" R
error=abs(u'-true');
: A. ]. P( n! C$ X. d
re=[x' u' true' error]3 B8 d i* |, D( c5 |0 T2 ?
! q5 j8 K! ]0 W
9 q9 g* W+ g9 y$ v1 ~2 M