matlab实现解决空间上的温度分布

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这段 MATLAB 代码实现了一个求解一维热传导方程的显式差分方法。该方程描述了空间上的温度分布随时间的演变。
以下是代码的主要部分解释：
1 ~1 H5 N! M. B" x% ]
8 t+ s1 ?" k, n% Q; c1.a 和 b：空间区域的起始和结束点。
2.m：空间网格的数量。
3.T：模拟的总时间。
4.N：时间步数。
5.af：空间步长和时间步长的比率。
8 A& L; D  B! v" B6 M- z6.f：表示初始条件的匿名函数，这里是 (f(x) = \sin(\pi x))。
7.h 和 k：空间和时间步长。
8.lmd：数值参数，与差分方程中的空间和时间步长有关。
9.x：在区间 ([a, b]) 上生成的空间网格点。
7 p+ V  s& U  p! r  N3 L10.初始化向量 u，用于存储每个空间点在不同时间步的温度。
11.使用初始条件 (f(x)) 给 u 赋初值。
& _7 {* R( d" J" x12.空间差分的系数 l 和 v 的初始化。
13.时间步进循环，其中使用显式差分方法更新空间网格上的温度分布。
& T  e! m) y" L14.计算真实解 true，这是通过解析解公式 (e^{-\pi^2 T} \sin(\pi x)) 计算得到的。
15.计算数值解与真实解之间的误差，并将结果打印输出。

这段代码的目的是模拟热传导问题，并比较数值解与解析解之间的差异。输出包含每个空间点的位置 (x)，数值解 u，真实解 true 以及它们之间的误差。

1. close all;
   1 m# }7 i! q8 q: O$ J! j
2. clear all;0 C' ~  _; R( u5 |
   
3. a=0;b=1;m=10;T=0.5;N=50;af=1;, C5 W- Q& O8 {7 k* U* M2 J. O
   
4. f=inline('sin(pi*x)','x');
   ' t3 r( K* B5 Q; I, E5 p
5. h=(b-a)/m;
     J6 l$ u/ o: m: h* i; W
6. k=T/N;
   , h! [# T0 c# t1 F6 h8 u8 s, z- l
7. lmd=af^2*k/h^2;/ m0 ?& A\" U/ L2 m7 T% D$ ~5 e
   
8. x=linspace(a,b,m+1);. R% B5 {9 h8 X6 g8 `/ t
   
9. x=x(2:m+1);/ p9 O\" r/ S) o) t& w0 c
   
10. u(m)=0;
    : I1 C2 d5 S8 @) }7 @0 c+ Z( C9 I
11. for i=1:m-1$ b, W$ h& W! ~$ D
    
12.     u(i)=f(i*h);
    ) v( |4 E3 I# P
13. end
    + }, B6 y- Q' y8 R/ H9 b- @\" I* S
14. l(1)=1+lmd;
    1 O6 `/ f+ L4 D  a: }7 V3 Z% y2 Q
15. v(1)=-lmd/(2*l(1));/ W4 j2 a& n- E! g+ \# `* L% I
    
16. for i=2:m-2
    $ r\" G+ R7 |0 {1 ?7 q0 m5 X& H
17.     l(i)=1+lmd+lmd*v(i-1)/2;) x8 }  C2 \0 i\" U+ c9 J5 W
    
18.     v(i)=-lmd/(2*l(i));
    0 Y0 U2 P: P2 Z; S. o2 b( k; E
19. end+ @8 C* e2 t; S\" n) T, l
    
20. l(m-1)=1+lmd+lmd*v(m-2)/2;
    * h# X0 l6 z! p
21. for j=1:N: v\" a5 c6 F\" Z. O. X) u
    
22.     t=j*k;6 g/ l( S% [  O2 A
    
23.     z(1)=[(1-lmd)*u(1)+lmd*u(2)/2]/l(1);
    9 b8 x5 h$ V0 Y2 b% u; O( q
24.     for i=2:m-1
      ]\" S1 [\" h, h7 u8 [3 d! r) u
25.         z(i)=((1-lmd)*u(i)+lmd*(u(i+1)+u(i-1)+z(i-1))/2)/l(i);# U0 z/ d0 d: S' s( ~
    
26.     end) D7 @9 }/ {. F) y, S* }, K: x' _
    
27.     u(m-1)=z(m-1);3 K* R- W1 M# E& ~* O* e
    
28.     for i=m-2:-1:1- v' f, c: [8 p/ i2 o* U' J
    
29.         u(i)=z(i)-v(i)*u(i+1);( e+ r  }* @- P& \
    
30.     end+ N) B7 I; z4 q6 W4 c( _; E
    
31. end! j2 g2 h- J0 }
    
32. true=exp(-pi^2*T).*sin(pi*x);/ G, k) z( D\" u3 `, B* ]5 i
    
33. error=abs(u'-true');
    2 W' P+ u, x1 v8 I' g$ z$ }\" v
34. re=[x'     u'      true'        error]
    ) ~( Y. U; l* r! n4 i9 f& P
35. 8 y  x( }- E1 j! ?% B6 ~  W
    
36.         
    3 [( x% w  E, C4 U

复制代码

0 z' y; |' c. v& R' U, k+ h