matlab实现解决空间上的温度分布

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这段 MATLAB 代码实现了一个求解一维热传导方程的显式差分方法。该方程描述了空间上的温度分布随时间的演变。
3 j# h2 ~: V# e7 k1 G以下是代码的主要部分解释：
. ]8 f3 S! ]$ O& X* R
: \; p% M1 {3 h7 m1.a 和 b：空间区域的起始和结束点。
0 Q4 s2 _  r6 F2.m：空间网格的数量。
$ |  D6 y, k) U) j3.T：模拟的总时间。
4.N：时间步数。
) u" t( x0 o% g2 v* s* G6 C5.af：空间步长和时间步长的比率。
$ u  l2 ^* x' _$ |6.f：表示初始条件的匿名函数，这里是 (f(x) = \sin(\pi x))。
4 T: @) b4 [# f7.h 和 k：空间和时间步长。
/ m, H- I8 W3 _$ }4 g4 s0 l4 d8.lmd：数值参数，与差分方程中的空间和时间步长有关。
9.x：在区间 ([a, b]) 上生成的空间网格点。
- J. ~/ ]; p6 A$ j2 s6 d5 L; H10.初始化向量 u，用于存储每个空间点在不同时间步的温度。
11.使用初始条件 (f(x)) 给 u 赋初值。
12.空间差分的系数 l 和 v 的初始化。
13.时间步进循环，其中使用显式差分方法更新空间网格上的温度分布。
14.计算真实解 true，这是通过解析解公式 (e^{-\pi^2 T} \sin(\pi x)) 计算得到的。
  I# ~9 O0 b0 R. u1 f15.计算数值解与真实解之间的误差，并将结果打印输出。
. e/ ]2 O" G8 P8 d% ^
这段代码的目的是模拟热传导问题，并比较数值解与解析解之间的差异。输出包含每个空间点的位置 (x)，数值解 u，真实解 true 以及它们之间的误差。

1. close all;6 q\" D! V+ P, J) K( E5 a& O, k6 z' a
   
2. clear all;
   8 J% C1 v+ I7 u! J) h! u
3. a=0;b=1;m=10;T=0.5;N=50;af=1;& C( p\" C$ q! C& D4 a9 D5 x
   
4. f=inline('sin(pi*x)','x');/ z0 M9 P/ n; U/ J. q: w
   
5. h=(b-a)/m;
   $ u5 g; h- e7 P4 a8 {3 E6 w
6. k=T/N;4 W- G9 \\" s4 e8 Q, N* {
   
7. lmd=af^2*k/h^2;+ j9 ?* H, T0 K2 M0 r- |9 U
   
8. x=linspace(a,b,m+1);
   $ P9 D4 |# o2 s4 T: I
9. x=x(2:m+1);
   2 ?! u4 h% P7 W+ X, f
10. u(m)=0;
    4 {$ v5 N( O& C) d\" @$ h
11. for i=1:m-11 P: |# W4 ]( }* a! K- ^6 j
    
12.     u(i)=f(i*h);. B! w: k6 Z% M6 Z6 x4 l3 M( A
    
13. end
      D+ ]% |. `, w/ k. L4 I! S. R
14. l(1)=1+lmd;% ~7 ~' a2 v% s- ^
    
15. v(1)=-lmd/(2*l(1));# f. d5 n1 E; k
    
16. for i=2:m-2) y# C4 C) c3 N, ~2 p0 ~0 A\" i6 w3 d
    
17.     l(i)=1+lmd+lmd*v(i-1)/2;: t4 i: N% s. ?5 P: ]- Q* k
    
18.     v(i)=-lmd/(2*l(i));
    ( x, {% ^& K. `! P  u' ?) d
19. end, I, o! e7 Q. y: G
    
20. l(m-1)=1+lmd+lmd*v(m-2)/2;
    - h; v2 a$ D' B\" k
21. for j=1:N' `3 Z& l! b7 D* V0 V
    
22.     t=j*k;: W1 v7 |7 q& _7 h' ~\" X  y0 [6 F
    
23.     z(1)=[(1-lmd)*u(1)+lmd*u(2)/2]/l(1);
    : o6 N9 o( L3 n\" q8 N' T
24.     for i=2:m-1
    # j5 R% a8 |! i/ A1 H: b, \( @
25.         z(i)=((1-lmd)*u(i)+lmd*(u(i+1)+u(i-1)+z(i-1))/2)/l(i);/ P( b: O: `% I3 S8 V$ K
    
26.     end
    7 u  y4 W3 s7 E0 Z9 ~, W  F
27.     u(m-1)=z(m-1);
    # I$ i; p) z' Z9 w; A
28.     for i=m-2:-1:1' I+ I- i3 o; g! g8 T4 Q7 N
    
29.         u(i)=z(i)-v(i)*u(i+1);5 _3 H% R. S9 M/ f
    
30.     end' T- l5 L7 v- }  S
    
31. end
    \" l; n7 m0 C& N& {
32. true=exp(-pi^2*T).*sin(pi*x);
    / {6 {8 ~% I) O6 @* g2 R; q
33. error=abs(u'-true');6 E+ J: z7 h* ]9 L
    
34. re=[x'     u'      true'        error]\" C, T) o7 z9 l2 i8 L. b8 t
    
35. 
    # X7 j! ?9 c\" U: A' V7 S6 ]\" T7 R
36.         9 v! R0 F& O5 }0 E
    

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