隐式差分法来解热传导方程

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发表于 2023-12-31 16:44 |只看该作者 |倒序浏览

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这段代码使用了隐式差分法来解热传导方程，并与精确解进行比较。以下是对代码的解释：

1.初始化：

a = 0;
b = 1;
m = 10; % 空间划分
T = 0.5; % 最终时间
N = 50; % 时间划分
af = 1; % 松弛因子
f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
h = (b - a) / m;
k = T / N;
lmd = af^2 * k / h^2;
x = linspace(a, b, m+1);
x = x(2:m);
i = 1:m-1;
u = f(i.*h); % 初始时刻的温度分布

在这一部分，初始化了问题的各个参数，包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。

2.隐式差分法求解：

for j = 1:N
t = j * k;
u = trisys(-lmd * ones(m-2,1), 1 + 2*lmd * ones(m-1,1), -lmd * ones(m-2,1), u);
end

这一部分使用了隐式差分法，通过求解三对角线系统 trisys 来更新温度分布 u。隐式方法具有稳定性，适用于热传导等偏微分方程问题。

3.计算精确解和误差：

true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);
error = abs(u - true);
re = [x', u', true', error'];

在最后，计算了精确解 true，并计算了数值解与精确解之间的误差。

4.输出结果：

re

最后，输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
这段代码主要用于演示隐式差分法在热传导方程问题中的应用，并通过输出结果进行验证。

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