隐式差分法来解热传导方程

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这段代码使用了隐式差分法来解热传导方程，并与精确解进行比较。以下是对代码的解释：

" g6 v+ H3 `5 I7 \5 m' J8 N1.初始化：

   a = 0;
6 S0 [7 r2 @( i3 f   b = 1;
0 v7 ~. w1 Z( I" u4 C: j   m = 10; % 空间划分
* E6 U) G2 j  ]9 X' r. E3 O* f- I   T = 0.5; % 最终时间
) L: H, b9 Q9 n# w. b3 ]* ~; v4 N   N = 50; % 时间划分
) r. m! l  o! J" |, d   af = 1; % 松弛因子
7 ~( B6 s) J) S   f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
- D- M! f2 I0 j% ~& c   h = (b - a) / m;
   k = T / N;
  \# e, N  c& p0 o, |/ W   lmd = af^2 * k / h^2;
8 y) g. w/ ?$ j, n5 J: A! F; w, U   x = linspace(a, b, m+1);
   x = x(2:m);
. M1 y  Y- _6 L1 }8 V! ^   i = 1:m-1;
; P* t# \& m( R2 @( C4 Y/ r: P) V7 U5 k   u = f(i.*h); % 初始时刻的温度分布
5 V, X' ?5 `* E- K! \" ]* M
6 }1 h5 U: e6 D4 n+ x* J在这一部分，初始化了问题的各个参数，包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。

2.隐式差分法求解：

   for j = 1:N
       t = j * k;
& g' g( q8 [. M* n  ?8 _( k       u = trisys(-lmd * ones(m-2,1), 1 + 2*lmd * ones(m-1,1), -lmd * ones(m-2,1), u);
   end

' H: S0 f3 T3 r! J7 k这一部分使用了隐式差分法，通过求解三对角线系统 trisys 来更新温度分布 u。隐式方法具有稳定性，适用于热传导等偏微分方程问题。
, n  i# ~& M5 \- Z1 d+ j; U, q7 k
3.计算精确解和误差：
. p1 @/ I: l. ~: m
   true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);
   error = abs(u - true);
   re = [x', u', true', error'];
; a( X! R& Y8 L; M
' {, h" A& f; Y在最后，计算了精确解 true，并计算了数值解与精确解之间的误差。
, N' r& W1 F8 W) B, k9 W+ F
2 [7 S/ p$ m9 ^7 v+ A4.输出结果：

   re

最后，输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
这段代码主要用于演示隐式差分法在热传导方程问题中的应用，并通过输出结果进行验证。


# R  |; |% X" w  j% \, d7 y