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隐式差分法来解热传导方程

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发表于 2023-12-31 16:44 |只看该作者 |倒序浏览
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这段代码使用了隐式差分法来解热传导方程,并与精确解进行比较。以下是对代码的解释:1 X2 c: Y9 i; U6 V3 J
0 H" F/ j( o2 s; }: |, b
1.初始化:
' P$ D  n; o7 U8 Q4 @1 M7 K8 u& U" P
   a = 0;
+ g$ m/ F3 u. }6 J# F" Z   b = 1;
( g7 Y" H5 w6 M5 ]4 s1 i   m = 10; % 空间划分' i, F1 m- n% j$ g6 Y( `# l' I
   T = 0.5; % 最终时间- [. W/ U2 k8 B& k) A. a
   N = 50; % 时间划分
4 r, L2 a2 U9 N) z9 E   af = 1; % 松弛因子6 f- W- y# A% ?
   f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
; ?# M0 Q/ j" z   h = (b - a) / m;
) ]2 L. X3 |" a  u4 X, v5 G1 ]   k = T / N;
3 L  E2 E$ W4 C7 @6 \6 M. f8 b# ~7 X8 W   lmd = af^2 * k / h^2;% M9 Z+ `& g* s1 h
   x = linspace(a, b, m+1);/ C& f/ U' e: T3 X
   x = x(2:m);' g3 D0 w, G4 J& a! e# H) m
   i = 1:m-1;  _2 B5 k$ z$ ]; f5 p  \! I/ d/ O% M
   u = f(i.*h); % 初始时刻的温度分布5 f7 L. p# b0 X

! `3 c' A1 |' I; h在这一部分,初始化了问题的各个参数,包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。) F' v) q3 {, {  a, C+ v
) Q/ L8 a1 P6 K0 N
2.隐式差分法求解:% _& g7 Q" U( R$ y7 O2 r

8 g! A7 ~* H4 c$ x   for j = 1:N
) `0 y$ g, A. Y  j+ H/ V! F. s9 M       t = j * k;) N9 l6 W/ F, y" F/ o7 r1 y
       u = trisys(-lmd * ones(m-2,1), 1 + 2*lmd * ones(m-1,1), -lmd * ones(m-2,1), u);8 h  A0 x, W% E5 c+ {. Z  F
   end& g9 \% s1 W! Q- D9 _
9 m1 O: }% g: o: ]% g. C( D
这一部分使用了隐式差分法,通过求解三对角线系统 trisys 来更新温度分布 u。隐式方法具有稳定性,适用于热传导等偏微分方程问题。0 p6 n7 Q, V& L+ \

' G/ X& B% |' u6 v  h* C3.计算精确解和误差:
- s8 D" H5 `5 ~& h( f0 i: u2 h: y( X2 k1 M  T  l. ^) e
   true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);. ]8 Y9 Y: C9 u6 g! J5 Y
   error = abs(u - true);& Y  K8 I! J  [
   re = [x', u', true', error'];  k' t$ W; s! r& c  [

/ g7 W7 U2 x6 Y, f7 |在最后,计算了精确解 true,并计算了数值解与精确解之间的误差。5 {, |% }& N9 n* u5 u+ J
* R# D6 O; i6 o8 F' y5 ]# ?
4.输出结果:
' t6 X! k" k$ m
+ ^" D$ T2 [% x: ]% L9 }   re
0 q# |: G" m2 x$ g/ P; |" W/ e# r- d. ?$ c! d3 \9 a' \
最后,输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
& T" N6 E" o3 x( _这段代码主要用于演示隐式差分法在热传导方程问题中的应用,并通过输出结果进行验证。9 v0 u" ~8 S7 \+ l+ D6 b' ^

' m6 ?* P, n- Z3 m" T
4 r6 F2 W; P9 L* L. ?) L
zan
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