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隐式差分法来解热传导方程

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发表于 2023-12-31 16:44 |只看该作者 |倒序浏览
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这段代码使用了隐式差分法来解热传导方程,并与精确解进行比较。以下是对代码的解释:
4 q% B% O' j' k( l
+ L2 I) V1 v0 ~. d8 X1.初始化:1 j/ {/ q0 c0 |# k2 n; h6 n

( t9 J; i& j9 W   a = 0;8 V1 K0 Z) c; h8 E* j
   b = 1;
# g2 w- A3 V# i0 b3 h" L. Z   m = 10; % 空间划分  x2 U7 U& K% p+ ]2 l4 \" D
   T = 0.5; % 最终时间0 F# B  Q( [+ s: q  q
   N = 50; % 时间划分# k/ ?$ f8 t: O6 q
   af = 1; % 松弛因子4 W: ~; r/ e- F+ U
   f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
6 S3 Q1 `0 L# N/ k   h = (b - a) / m;
9 G1 ~: I+ _7 {- G6 V, W   k = T / N;
# [# N* b8 h: [, Y9 Q9 p  L   lmd = af^2 * k / h^2;
2 R; q$ {) S) A. R   x = linspace(a, b, m+1);
4 G2 z5 C. Q! R2 B2 [, x5 o( o2 z3 T   x = x(2:m);
: [- E9 R) i( Z+ N7 Q: Z% q; B& Z   i = 1:m-1;
5 L8 s! t( ^! C   u = f(i.*h); % 初始时刻的温度分布
, Q5 c" b7 c' `. x6 c7 }9 s
7 p0 n. f% I) J! R在这一部分,初始化了问题的各个参数,包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。
/ O+ @( N: [. s. G  D5 J, a
  A; r) H7 h5 F5 S% P" a2.隐式差分法求解:8 }) q" T, v. }. _

3 X0 t+ h1 E7 _   for j = 1:N
0 [# w" E6 G* d# k" c; e0 _8 A       t = j * k;
2 \, r$ W- Q8 j3 @& C       u = trisys(-lmd * ones(m-2,1), 1 + 2*lmd * ones(m-1,1), -lmd * ones(m-2,1), u);
% X2 H3 J# W9 r7 S) o) H. ]   end
/ [% ^! u9 H; p( j% P- U$ \' D: U1 S% }
这一部分使用了隐式差分法,通过求解三对角线系统 trisys 来更新温度分布 u。隐式方法具有稳定性,适用于热传导等偏微分方程问题。
. J1 Q" ^: i/ G3 l
6 L6 Z0 q6 w: i; n# G: k3.计算精确解和误差:
" ]* G' T: H: a8 g" |0 B: o4 v' a
! g. H5 X* d) i! D6 v' M  F   true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);1 m( C8 H: e4 f- Q3 W2 j! a
   error = abs(u - true);" x8 {+ ]+ }8 ], v
   re = [x', u', true', error'];
' h0 X% O/ w: }2 W# U( C9 }& d! f7 P; g% X" j. }
在最后,计算了精确解 true,并计算了数值解与精确解之间的误差。
2 r) P; ^7 l, Y- Y; y9 _& {* Y' ?7 Q6 ?( b
4.输出结果:( D  {- D$ k8 o! |
1 W/ Q, h$ U' e' E% ~+ K' m
   re
, ~! t6 p0 B8 n# B# I6 P
; R7 a" Q" d4 L& T; p最后,输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
: I- L$ c+ o  P$ z4 _2 \3 `7 ^这段代码主要用于演示隐式差分法在热传导方程问题中的应用,并通过输出结果进行验证。# C. N) T8 O! B: ^" F
; P: v4 W8 g. M) j3 M+ S

& q1 D, ?( C% z/ j1 e1 \2 H
zan
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