Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：
% n9 C% ~- J- D$ S! @. I$ T
) Z8 m, j& G$ L9 i2 p1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   7 b$ b# U3 t$ k% Q5 k% ^5 s, u
2. & ^/ I\" T4 G8 V* I$ S/ z5 O% z
   
3.    for i = 2:n) z1 Q6 L) ~! f( ^; c/ Z0 M2 A. u
   
4. 
   : q  T. n# L( v
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   - S( j/ }8 a+ d2 q4 o
6. 
   ; X9 d' b( L# P  L) F
7.    end. P% {/ k' `4 k! Y\" {$ Z* w/ f
   
8. . V0 }2 k) S8 s# e' S* K+ i# g2 F
   
9. 
   \" z6 ^, s\" K2 O! x
10. 
    \" G# g0 @  g# ?( K  G$ b8 ?
11.    for j = 2:n% @  y  u1 ^- |' Q
    
12. 
    $ C0 f! ^; a0 ]4 d0 a: C/ j& Z$ F
13.        sum1 = 0;
    2 U7 }& Y# y4 L7 I+ T7 p
14. 
    2 S! `5 }6 R  V3 @
15.        for k = 1:j-1. V+ _  T; Q7 `. T. I$ z8 M: w: X- f
    
16. 1 ~2 D& @! a3 {% ~2 L& l
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
      m( U4 ~\" d- l) F$ [\" Z
18. , L% |- S! U# g+ Q0 a0 H6 h: s! @
    
19.        end8 }# V) J- q9 O; `& k
    
20. $ T: g9 t' E/ w: o- c
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);+ X$ b. o0 h8 f6 }
    
22. 
    % ^; C8 D( v+ t2 \) M
23. 
    : U3 |5 V. K( F) H
24. / p3 K; y1 z1 d
    
25.        for i = j+1:n
    ' p% ?8 s% s1 M/ _( e8 P
26. 
    1 [  |( ^* u! @) F, q\" B
27.            sum2 = 0;
    ( u% h. Q- U# _* H1 R' ~# t  G
28. 
    * k2 h\" z6 H2 E* a1 \6 D4 t
29.            for k = 1:j-1
    ; O- B/ R; ^- p) X& v# W2 O
30. 
    ( A+ e\" e* J8 |( n% n5 |
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    7 P/ T4 e  s# P; ^- V
32. 
    3 o5 C) d7 J- o* E$ a4 h
33.            end
    1 ^0 x: Y\" _1 T/ B
34. 0 V. S9 {) b8 E* g3 e% ^4 p- y
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);/ W9 X: A4 s* R) Y5 Q
    
36. 0 z/ n, x/ G% z3 }\" |9 q
    
37.        end
    & f7 J- v' [3 V8 }
38. 
      X: G% l' b' H, ~2 C6 [
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
8 l/ F1 V6 Q- u6 g  |, c& c
- b# C. K& n: I% e3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);# \# V* W; w7 u, S. ?5 @; v: y& {0 V
   
2. $ C* `+ A* \/ g\" r7 B8 ?7 @
   
3.    for i = 2:n- w9 r7 U% S$ l/ a% S0 }# g
   
4. 5 x6 G8 ?. Z( T4 l7 V3 O. u, y5 `
   
5.        sum3 = 0;
     g% B. K\" D( B& l8 e! _
6. ; F# L7 N+ t4 ~8 e; V
   
7.        for k = 1:i-1
   * }3 m) R7 ~& R: J. Y
8. + B+ z& k: o6 C8 M. q, ]( N6 r, @* N* _
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   1 o5 f8 P- F7 ~2 x' }9 l
10. : W6 K! N! a9 R1 ?
    
11.        end
    0 {1 j; K! u% c! T8 b1 H5 ~, l( S
12. 
    5 w4 _# Y& q5 F2 f
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);) |9 H$ F6 b, n% D' m$ P
    
14. 
    : u+ |+ e# f6 b& h7 W
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);6 K. `, j  j  ^; \0 E# N3 ]
   
2. 
   ' }3 A6 l/ d  ]
3.    for i = n-1:-1:1& l' W7 ~; W3 U9 n4 ?) I
   
4.   V# n+ [( J# ?6 T' S- y
   
5.        sum4 = 0;
   4 z+ O3 t/ [8 W' ?% O2 @; O
6. 3 Q+ O8 |7 T\" _0 ~/ M2 w; ]
   
7.        for k = i+1:n8 T$ [\" r0 k5 J; a% M- j
   
8. * ^) _. ~* f2 m- {0 T5 D; O+ ]! ]
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   * D' z% K) M+ V% N* K0 S; T
10. ) {% ^\" K7 m! S
    
11.        end! X! r; q* g5 g
    
12. 9 l5 ?4 |9 M' s+ _  _: x
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);% v: k. y* X, \. T7 w  K
    
14. 
    ' w1 e( x2 G\" }- t6 l* S
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
  I- p/ @, h) v. p) J4 p- I/ b
5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   # v3 z! B7 L. f5 a
2. 4 u9 m9 s9 a9 p
   
3.    for i = 2:n
   & X7 u/ E, d4 L
4. ) @* p  X% p; W0 f4 ?( D8 @* R+ U$ ?
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   2 y  D# B4 Q9 X0 D/ O8 L
6. ; c* {$ k; H# F- o8 p* J
   
7.    end% }% m3 n$ V! g3 t% B
   
8. 
   / F- f1 V) j7 D$ Y% r
9. 
   6 H1 ~* W, @4 v
10. 7 h# u9 ?, [. ~! M) \3 o8 N, t0 Q
    
11.    for j = 2:n
    $ Q! W& T2 M5 u/ e5 N, N
12. \" [6 W! }7 C8 f6 a* R
    
13.        sum1 = 0;
    5 A8 [5 B* G' {$ J2 b; I
14. 
    8 [! @: I1 I4 G
15.        for k = 1:j-1' |* a( @- ?# g2 Z\" o
    
16. : ^3 z& j) C7 n+ N: V
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);  d( h8 L' T- h1 {) ~, J  d' N
    
18. / @5 o  r0 S- F+ D
    
19.        end; R' U\" A5 ?7 Q! U5 C1 ]- q/ r
    
20. 
    ' X7 }( N  E% Y9 e\" J  g
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);. I. ~\" M\" [; F& x2 Z7 I
    
22. 
    - T& L. a' F% R/ W& q
23. 3 L! T3 ?4 d& }\" ]' E# \% t# x) c; O
    
24. - b) ~! _; h' X( `! _3 |* m
    
25.        for i = j+1:n. X, D- m/ n! `/ [. N6 y/ k7 ^\" d* B
    
26. 
    / ^4 D, E. }* ]# L2 f; i8 c+ f
27.            sum2 = 0;
    : F% r) f' t$ A
28. 5 V( Q9 ?. {( v: j5 @, L
    
29.            for k = 1:j-14 p6 W, A5 e( L: \% h6 Q
    
30. 
    8 C7 T, m( Z0 A( a7 |
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    \" _+ s' J& h% L- [- ]2 _
32. & Y5 [; j; H6 H/ u& W; B5 r) W& X
    
33.            end
    + ^. ]8 l8 F/ w6 n6 m, Z
34. 
    % Y( ]9 H\" {\" _$ a
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    ! x% p8 |$ h) a, T- P
36. 2 ^5 A) q/ @1 u( }/ ^; y
    
37.        end
    0 t5 u) [\" z# f\" t- Y\" F
38. 0 i( u+ [$ Z& i3 J
    
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
! E% ]& J: B9 x, }6 l  Z: I
- q4 A* g( {! o* ?; D8 E6 v" d6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);5 @7 K# v/ U, G3 `
   
2. 7 Z# k8 K) d# l$ Y  @+ d
   
3.    for i = 2:n
   * z8 s0 j9 V9 Q9 w2 g4 k7 n# @9 Z( L
4. 
   4 ~, V2 V0 O* u! j/ k\" E+ _
5.        sum3 = 0;\" i& I/ k: W: ?6 r0 |( T( |' m
   
6. 7 y9 p2 c: a4 N# U9 t
   
7.        for k = 1:i-1
   ( P+ ]0 x$ k  r+ B! ~
8. 
   6 {7 y5 f1 x1 P
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   7 l* F. v  o1 r$ o# n) Z
10. 
    1 B\" Z* ~\" S- U\" N% n
11.        end7 F( f7 d# B, c9 G3 y
    
12. 
    , e6 A5 o. r) k\" f, T
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    : l# W' ]# \+ D4 w. n% D+ w
14. ' Z/ |1 s# H5 L# g( B
    
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。

8 c* M# Q9 i) `. G6 p7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);2 V) Z' F, ]! w
   
2. 
   4 C, S4 u/ j- i$ b  P# Q
3.    for i = n-1:-1:1
   + ~\" L' |/ p+ L% ]9 o
4. 9 c7 e. a0 `. m& v; f5 {
   
5.        sum4 = 0;
   \" ~% c5 i1 I2 b& [- c
6. 
   ( s2 v: I9 Q+ s
7.        for k = i+1:n$ H1 _0 x) o/ p
   
8. 0 N0 e# R/ H( F  d& X
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);* T$ i& ]' b* \
   
10. & a/ ?; W* k\" d& n* b. L; ~' J
    
11.        end$ u' j0 N( Y. U9 B/ A\" a
    
12. / o' ^0 M( |/ a5 s! v8 U) [
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);) b0 K8 s0 x3 X
    
14. 
    : T$ U\" _: F( e$ S% l' `  ~! M7 `
15.    end
    9 w; k* Y- U# |# l) D9 y
16. ( ~  |( p/ g4 u* `
    

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在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。

' B* a/ B9 e- ]0 X/ t
! h9 N  u/ [2 u
* h( N# r# p# {6 \3 {6 |# D