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Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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发表于 2024-1-3 09:57 |只看该作者 |倒序浏览

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：

1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
* X$ {) P( y n
. N/ b2 V5 u7 z$ Y' w$ ^
for i = 2:n$ P5 y- K# Q; c4 ?7 M. T6 t. M
) X1 E* j/ K/ q4 }3 o
l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1); e& k3 ?$ U: y3 I7 s# m
# J1 y9 H) Z# q7 M, E- B2 {\" c
end
# F8 |* v\" o; M; a ~
: B* u0 p! f5 g; F. \
7 ^. F' k+ f\" Z
* {\" Y\" u1 f) [ ?
for j = 2:n
' J. p- [3 p( y% q
& S: c3 x& y9 `0 O3 R
sum1 = 0;/ Z7 F) e+ D% y! W. l7 Q4 W
2 m9 n* t* q0 }\" Z5 @
for k = 1:j-1
$ ~! P' M3 M- u1 _6 p! r5 G: H G
5 K* [% ^& z N1 G
sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);* F' v/ L\" [% C3 N6 ^% K! O
6 I# c8 N a5 [- K3 |0 P! X8 x: c
end
, c- s& Y4 C$ G
7 g$ g- Y, X; x+ P/ j+ i# _% ^
l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);# V. |8 o0 g8 c
3 v; \9 j! [& C3 j7 E! F
+ B4 L M3 s5 y1 n$ T; F% Q% m
4 f! ?5 A% D! m+ T
for i = j+1:n( Z* S2 A2 f+ ?& P7 ^7 `( u- ~
$ s4 B0 O: i# \; M, s
sum2 = 0;' f* N2 D, K7 g/ }( \
* E( }3 E1 N& K
for k = 1:j-1# n' U\" y2 V' r& Q; u8 A
0 B& b+ M7 y# h7 L9 l
sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
( C/ ?% [: V9 r) d- N
: ~; e; v2 b# [0 n& R
end
2 A. h4 v3 v& p& e5 ~# I
* a5 W0 Q6 O7 e) u. s
l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);& C: O' [% J+ R/ n Z# V
, G, x, O+ Q: v
end
, ? B\" B1 ?9 p4 l# @, R
' S& P, Y8 ]4 G9 G4 c) _0 Z
end

复制代码

在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。

3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

y(1) = b(1) / l(1, 1);
( p\" t, Y! B- ^0 `- X
8 E0 T7 I- k+ L1 ^4 i) O, f
for i = 2:n
2 Q. z' u$ ^/ w; A
' k& T. I, s* Z; x4 a9 v9 Q5 ]
sum3 = 0;
, I8 {; O* l# Q5 M) {, Y; E) h: Z
' F1 D3 v\" p7 b# q% w; B
for k = 1:i-1
8 }) Z& ~\" C$ k' }
; u6 T# F\" [3 [. C; K
sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
) n) _' d\" Q! f- f. \( S, j. k
8 W& U! Y3 O$ n$ Q! d2 f0 p( Y$ A) i
end* h6 ]# o7 I\" x. S$ q8 Y7 z
: e$ K$ `8 E: P5 B9 Y) J% k
y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
: g7 b( e; y7 C3 F. e- ~% ^7 N4 g l
) g, \, R' K2 T8 `+ \9 s: ]
end

复制代码

4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

x(n) = y(n) / l(n, n);
4 o% m4 X& X/ v* A5 U3 P# d/ o1 o
4 n: @9 k/ d\" t\" @) K
for i = n-1:-1:1
2 ?: ? R) n4 r9 F0 M
) r* X' j0 z2 q
sum4 = 0;\" i# w6 O) P$ b
9 _, ]. J. P& `7 A
for k = i+1:n0 D2 S2 G8 }3 ^5 V5 l6 w' [
\" k7 h3 j# c$ X3 t3 R
sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
- T# u; l. J( z4 @- r
! }- J1 B e9 D/ K9 t
end) s. O: ^% y4 A8 ~6 I
$ C6 G, R0 o. R3 @8 t4 A c
x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
3 \4 s! \7 y& W5 O y
( Z! l3 i% X7 w+ n. h
end

复制代码

这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：

5.Cholesky 分解：