Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：

1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
8 F" F& |2 N2 i2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
     k3 I' W7 a1 \5 I% k! M
2. 
   9 ]) |9 s- d4 x) [
3.    for i = 2:n- q: J5 c- b' y$ ^6 b! N+ I
   
4. # ^( C, v; o. e
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   ! E! B) w* j; g8 n# E
6. 
   + ?. n2 j3 I* \1 K8 S0 a4 M3 _
7.    end% m& m4 E. {3 m5 e
   
8. 
   6 c5 V: q: O8 F1 L' J% a
9. + x. W, f6 p( E+ z8 W. T* X. c
   
10. 
    # O/ X- n6 W- U
11.    for j = 2:n
    8 Z* N5 D\" ^4 b. ~/ y) W  Z
12. 3 G* I0 W: w! T2 t, B( f/ l. I0 V
    
13.        sum1 = 0;' H: j. z0 X1 L
    
14. 
    : [( T+ z& g+ l- ]4 `. g8 g
15.        for k = 1:j-1; u, r9 F# s# Q
    
16. 
    . x. X. |0 V+ j! R- g' O9 q6 O
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    & c' g( M3 ?5 Z8 N
18. 
    9 W) `( d, q; f) C
19.        end. z( d1 G& s5 m/ a8 D# |
    
20. : T2 x# [8 i. c9 g; E/ D
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);- i4 D- R% \/ x7 u\" R
    
22. 
    : D+ d\" P. _1 P! Q, I
23. 0 R7 y* U9 v& I' ~* ^* ~' a! x% ]
    
24. 
    ( Z% z/ M( F) G. a
25.        for i = j+1:n
    6 l2 P6 R3 o$ @3 ?( h. z& v9 @
26. - ]. L1 O( C9 i4 F' m' g: D\" j
    
27.            sum2 = 0;
    ' Y6 L( L/ Q3 a2 o( A9 u# b7 H
28. 8 ]! @# C3 N3 o) R( f& @
    
29.            for k = 1:j-1
    / q. r9 u+ N( a* f+ }8 E+ t9 X
30. 
    $ X, R: c* Z$ u8 x5 g9 H0 ?. j
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);\" r& z\" I* [0 m\" k
    
32. $ W1 A0 {5 n2 Z
    
33.            end
    * ?& A5 h) @! {7 p' W\" S
34. , V8 w$ a5 K' `' y* j  c2 y
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    % g  l/ u! a' V) Z& q! Y4 Y$ t
36. 
    $ `7 O0 c& e: o5 r
37.        end
    * Q3 ]$ Q8 ]\" L+ Z9 @
38. 
    . p, m0 s; S\" o\" L8 Q
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
+ l, o) }" l5 k- p3 p# W3 A4 D1 a1 [
7 Q, M. G2 [. M+ e  Z3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);! e0 a$ ~2 T# `7 b! F. Q
   
2. 
   ; \4 p/ i% }5 W+ c\" O& A- n
3.    for i = 2:n
   \" W% b, u# s0 X0 Z. f
4. 7 a( k) q& s6 G6 _9 t
   
5.        sum3 = 0;! k) E0 Q3 @  M& a7 M
   
6. 7 W0 n$ u/ |0 O, M0 {+ G
   
7.        for k = 1:i-1. U- f; z2 r6 \# o. G5 M; P
   
8. . K+ G+ h# o, _% o- D$ F
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);5 q' a4 W6 m9 j7 E# S$ Y) N
   
10. 4 v\" \7 d# a! l/ J1 [+ o
    
11.        end3 I. Y0 \) S; P' j
    
12. $ c. \\" l( r, U9 h: [
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    5 U% X\" [5 z% ?5 d& I( Y. y2 }, n
14. 8 K% I1 r( u( M( y3 P; M( {
    
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   4 f* m9 J' X2 v  \% C2 E( B2 v
2. ( ]. R  Y0 P, P& W, ~3 |
   
3.    for i = n-1:-1:1
   : t$ B$ p+ ?. F. }5 ^: F5 Q
4. 
   % F9 M4 F+ Q# h. M
5.        sum4 = 0;
   ; K  W; |, I* q5 H
6. 
   0 |  V( m. J* @7 k. y! J8 J
7.        for k = i+1:n
   1 t% J7 C9 O+ i5 q; e4 f% j( A8 P* b. ?
8. 
   7 c% S. @0 `* @, a\" q/ p. x4 \
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   + }& n2 p: X6 ]* t. ~1 o/ T3 H
10. - I+ c9 x$ q+ a: Z9 e
    
11.        end
      s) |  O9 A4 i
12. 5 V3 \$ {\" M+ e# E  w
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    . N$ r% w/ K+ {% p, h  H) L0 m! l. x
14. 
    ( f+ y* r: Z2 G
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：

% w, G4 ]7 F; O8 h$ C5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   ; \/ }+ z9 G& n  S! k! @
2. 
   9 {  m- u1 @2 C  H
3.    for i = 2:n( [7 v$ X& u& o* _  a
   
4. 
   7 j  M+ s% @+ f; d  W! W4 b
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);( W( e3 O- Z2 ?; [, u, i\" Z
   
6. 
   4 a2 N. |! `- T5 r/ w0 v6 u) ~, G
7.    end
   9 }% [2 s3 J8 ?. k
8. & ~6 Q  A  h' n* N
   
9. $ x( _& \1 A/ J# g: z9 e1 m. }4 L
   
10.   F3 ?/ P5 {3 n. R7 s
    
11.    for j = 2:n( D$ @' T3 u/ f' S
    
12. / f( H, @) z, P: y! M
    
13.        sum1 = 0;2 {& g6 y0 O& F9 q# ]8 E
    
14. 
    4 b, m- S: q: q8 x
15.        for k = 1:j-16 W# g8 ]+ R$ G1 w) R\" N
    
16. 
    ' t. b) W. _1 t
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    2 [) q\" |3 G( P9 S* o( K
18. 
    - B, R0 ?0 S$ X\" q% s
19.        end) B) r# V% z% S  G! D
    
20. * x- O9 ?( g4 L' h( c5 j- N+ ]
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);. l; r7 B% \5 ~+ ~8 i( b# W: X' R\" ?
    
22. 
    * w5 c5 m8 L\" g) R
23. 
    8 p* d4 B4 a3 [$ A/ ]& t1 f1 E, X
24. 
      o3 h- @3 N) ?6 W! C
25.        for i = j+1:n
    . [- i/ l! X1 R3 e. d1 J/ r
26. 
    - b- [3 d! r7 j5 k2 l/ `: P! C
27.            sum2 = 0;
    1 Y6 F0 w- ~0 h- y8 M
28. 
      h0 I8 c2 @/ M1 y\" T9 d/ _4 X! p
29.            for k = 1:j-1
    : I\" w; M& a5 U9 b
30. ( h* ~/ \; k6 B# }% j5 u
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);. }! R4 }; q5 n0 X# Y6 N. e( X
    
32. 
    7 r3 {) Q: e1 l! H# g* N
33.            end
    / D' g. F3 |& I; X
34. 
    , }4 I; |\" b  x( z\" g: W
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);3 s. n4 b+ m2 e/ \/ w; y! ?3 t
    
36. 
    8 {6 V1 ?/ e! f2 \1 S* q
37.        end
    7 Z3 Z2 c' A' o0 I
38. ) c& n0 Q. M% M' [3 {, P. T& l
    
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。

/ s9 I2 I4 U6 c" a; M. O6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);
   3 v7 k( G- L5 |5 }' O( q, Q
2. 
   0 z0 j' a/ k( Z+ B\" F8 A9 [
3.    for i = 2:n
   ! t6 C* X$ w; f3 I! }' Z1 t
4. 
   & l* E* v8 J\" P3 c$ |: L. |
5.        sum3 = 0;) }4 h% H/ ?% F9 B6 F# v' f0 g1 t
   
6. 
   ; o; M+ o# d4 C: S
7.        for k = 1:i-1
   ( q  H0 @. j* x( ]# `( [, a
8. 
   & c\" l5 s9 I4 E7 Q; t' l# O; K
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   ) [* i; A+ g' R. Z
10. ; W4 q5 ]2 h* `1 g3 T1 |
    
11.        end
    7 k, W9 b* j7 G  f
12. & J4 i# ?! a6 ]  l
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);+ y0 w$ T2 Y8 M2 s
    
14. . _5 Z# `/ S! t6 p3 X. r
    
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。

7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);! h& l+ l1 z( O* I
   
2. 
   ( H% f' e( y7 Y- w) e
3.    for i = n-1:-1:1
   / v+ \. F! B2 F) r5 D1 z/ ?8 j! [4 V
4. 
   , @1 L5 E5 K, A# \. r
5.        sum4 = 0;$ Y\" r+ h& f. J# s* I# \- h$ D1 Z' P
   
6. # z1 z0 u( R& X) f2 ?6 g
   
7.        for k = i+1:n+ M  p. }! g( d5 T, F
   
8. 
   6 R# [4 |7 Q\" f- H
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   # [* S8 ?$ g0 Q  [# D6 m
10. - \$ U- A! {\" Y( [3 ]( ^7 B4 Q
    
11.        end
    + }. f+ z! B8 D
12. 
    ' z4 o0 i% N9 _! w3 b6 ?; y
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    + R, X* u6 r0 l+ h
14. 
    1 F, W\" y. ~3 P* P1 h7 A$ l# H
15.    end
    ( Y: k9 w+ W  ]7 d( j/ D( N; q% A
16. 
    7 g$ N& ~' W9 d, D6 _8 b* u

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在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
0 H0 [: L" ]& p总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。
' b' F2 G: t8 @. p. q2 W" l& D' a
% v3 x& w3 C5 _: g1 q
) ~; R( Q. t8 B: o. l8 \' U( B9 U5 Z