Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：

1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));% n1 F% G6 t\" z- s  S: T0 q
   
2. & `& }, K+ v1 y: h
   
3.    for i = 2:n
   1 P2 A* X! s5 @3 B1 l
4. ! \' L) n4 ~- O9 \\" ?# @- U1 O
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   ) T\" S+ B4 b' B! b5 u1 t) S
6. ) p# ?% l& w' P0 x, L% @
   
7.    end6 C! I1 J7 j4 R9 ~( Z. J+ {0 t8 [
   
8. ! b4 D* y& \$ V1 n6 o\" a0 B/ o/ y
   
9. 
   : @( [0 J, ~& J
10. + W; v9 C# g\" p( W! l
    
11.    for j = 2:n
    . M9 B\" x+ L0 Y9 b+ V) k; v\" D) V
12. 
    - @  V& k, L8 r) o
13.        sum1 = 0;
    , O1 d7 M\" u1 L0 F: i3 i
14. % g4 `3 H$ \* n7 N
    
15.        for k = 1:j-1$ O5 A% u, [4 ~; n6 K! t
    
16. \" _; y2 t4 T: ]7 C0 }: G. ^( M
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    - o# ?7 Y% M9 W. Y7 z
18. , d2 u, ]: h2 m# }
    
19.        end
    # Z: s2 ~\" I- V; \' x
20. 
    $ q& x% b1 I% [; X; r1 [
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    ; k\" c2 `, c3 U, \8 x  m
22. . l) H. G7 g; y5 j7 H: Q
    
23. ) a9 G% K3 J( }6 A5 H1 `
    
24. $ E% I4 N& H/ K2 h. p1 ~
    
25.        for i = j+1:n6 `- o. d* f! b/ y3 |; z
    
26. 
    + N- s9 v$ Q& a
27.            sum2 = 0;
    9 v1 ^  H  R8 W! W9 G
28. 8 Y. ], o! k7 m! e# ]
    
29.            for k = 1:j-14 ?% h( G, A  a$ o4 p
    
30. 
    ; m; L* ~- K$ ?! G, h9 Q2 y
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);$ K( @. a( Z. O1 W
    
32. 
    + z9 o- f3 {$ I
33.            end
    ) z\" p6 o/ R, G& q) e6 l
34. 4 b* W' x/ D1 a2 e
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);1 U- e& e% l; y+ J) e; }
    
36. 
    4 R5 O, d\" P  ?2 J
37.        end
    0 A( ^: Z7 d* U  X% Z6 g# N: {
38.   @9 j6 ]. {2 b+ V, g
    
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。

/ n! i5 d( f5 `  O  r% A3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);! K) o& M! ?% U4 t2 k\" G. T! J
   
2. 
   / T. G8 C7 c4 L( a/ B0 ^
3.    for i = 2:n
   % P8 _8 E. k* R% `* W- \
4. 
   6 I\" @; q0 T; y$ t' K' ]1 i
5.        sum3 = 0;, [( N\" Q# B* R+ ^& J- {! Q
   
6. % s; l) X9 A* z+ @- n; o
   
7.        for k = 1:i-1
   6 t4 C0 y\" r& M) g' V
8. 
   # U+ E  _& ]! P0 ^6 f5 g
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);5 x+ c, y8 H. c
   
10. \" d) n\" Y. F: a6 n6 s
    
11.        end* _: r, k. c) [# Y. Y8 {( {& ]
    
12. 
    3 T3 U; E2 X( t6 X/ j5 Q8 f' {3 R
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    . f) U% T: k7 ?* W- r
14. 
    4 ]& {* D6 u: C8 N: x
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);& h5 h9 B: P+ w2 H7 W; U+ _& V
   
2. * @9 `  o7 D9 n( r1 o1 U$ Z$ G
   
3.    for i = n-1:-1:1& d$ M% R& A2 E' q9 {: r0 K
   
4. ; A: K' s; D* h
   
5.        sum4 = 0;
     _: t' }: U6 C4 Z. s' F
6. 0 x! h% w6 |4 ?  L
   
7.        for k = i+1:n
   / k0 ~) ~  `+ Y6 F% O; `
8. ; z; t8 Z' w4 n1 @. T* y/ P
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);% c$ N2 f9 ]3 A
   
10. 
    1 b  }, ?6 n9 E
11.        end
    8 ], ]* L2 y+ x. y7 e1 e. M! m- b0 B
12. + j3 h; \; i9 _! C  o
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    9 p; c0 W1 L8 p2 T
14. 7 P( C4 e1 v) t0 Q% g
    
15.    end

复制代码

这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
. m2 V+ E( B9 Y& q8 G$ P7 M, P- m
5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));1 _8 @1 J9 _1 ^0 p3 h
   
2. * v' u; y$ X4 z: }
   
3.    for i = 2:n: _& S! p; A0 g* g$ M% M2 E
   
4. ; J9 Q6 g4 P' g  w2 s. l  O! @- J
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);! C! D. G# _& ]8 `' j4 m& r
   
6. ! S4 A: y  ^: G+ w; O- W: \# l( s0 J
   
7.    end
   ; y& [2 K. u* x% d, X. V- a& L! Q6 x
8. \" K\" T$ D\" M- N9 d7 H, d& l
   
9. + C9 s( R+ W7 I% U- }+ a- f$ V' f
   
10. 3 t% @\" g+ O( `/ P, d2 Q% m& D+ |
    
11.    for j = 2:n, f! {  ]: v' B2 ]; B. }8 Z, K: f
    
12. 
    ' k\" E% J0 b( r0 j5 ^! H/ \
13.        sum1 = 0;
    - B: }  l+ K' J2 ^
14. 
      |2 ]+ B+ T% y' l* u6 y
15.        for k = 1:j-1
      |5 e4 ^0 u/ ]: U: L$ i5 Q
16. - U1 \: j- P1 B9 j0 d
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);* J( R; p/ Y2 y; t2 `& b' q& p
    
18. 
    ; X  m3 S2 b6 u4 g
19.        end9 j2 O+ r7 C1 C9 d6 ]4 g) D. l
    
20. 
    0 @) b, x7 T/ c
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);! |' c1 `% O$ {) @5 J6 |& i9 l% D
    
22. , @\" Z% s4 M6 o+ w4 N2 I
    
23. 3 \% N- }3 J# c/ f- k3 e' T4 h
    
24. 
      u  x& `, }# A6 G! ^
25.        for i = j+1:n& Y0 @7 v4 b& q5 b9 f4 o6 \( m
    
26. 
    4 H) u# J7 ?% T, a+ g' z; F
27.            sum2 = 0;' l0 ]. f$ J2 ]* W
    
28. 
    7 D8 l/ R- N3 u( T  W/ K2 Y7 `( e4 W3 g
29.            for k = 1:j-1\" A) L0 ?* p5 m\" ?& e2 e
    
30. 
    6 m3 R4 W. \4 U* i2 b
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);, V0 p: k; u7 g
    
32. 
    + X! ^  U\" v1 B# e  K
33.            end
    + E0 u: g$ E; d  d$ U  y- M; C
34. \" W- k6 g. k5 n( P) t5 _+ S3 U3 g% a: _
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);9 i' E, a5 b7 n5 g
    
36. 8 C3 [  P5 J% R; ?) t
    
37.        end\" L9 S1 H$ b4 Z' r, R
    
38. 5 b$ {, O- n9 p' X, O
    
39.    end

复制代码

在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
8 T3 W5 w) v2 t4 F0 F# ~7 m8 {
6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);4 M9 d5 T7 _- B7 i* i2 B5 j
   
2. 
   - U$ J9 g. J2 `6 C3 D( S+ s' |6 C
3.    for i = 2:n
   0 u! v) M5 L, M0 G6 k  @, F
4. 8 w- y1 C- Y# u  A3 H: i! {
   
5.        sum3 = 0;
   9 r) M3 \# e% r% u
6. 
   ) ~$ U4 P% `) H. x. W( W# D# G
7.        for k = 1:i-19 j- I: @: ?3 `3 f  l\" K; L2 K4 ~
   
8. 
     ]3 t+ ^, x3 R\" L: x2 {1 K
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);$ w: i, j& A% S% d
   
10. , Z- |  I, w9 f2 G  T
    
11.        end: p+ \, L% W- j) ]
    
12. 
    1 K2 j/ n! T, ^1 m% r5 t
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);  w' c( R+ D$ u. d& l! s2 e
    
14. * @0 a9 v* \5 e
    
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。

# h" O+ i+ T1 Q  d7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   & h\" e7 r8 _' K
2. 6 i. i1 N) p  [6 R
   
3.    for i = n-1:-1:1
   2 m' B. i( ~  C4 v1 [2 P4 H
4. 4 D4 d$ G% z! Z/ `3 P* ]. v5 ]
   
5.        sum4 = 0;0 \4 V+ V( H5 u6 t1 H: E
   
6. 9 u/ ^8 y* T2 D- P% K0 U
   
7.        for k = i+1:n
   ( u4 _- n7 z5 s4 B& G# H2 L
8. ! h\" E# y( N' h$ t\" }
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   2 B/ C* z2 ]( o; u# o2 X  |; |. M
10. 
    3 o8 _& k8 U! I! U6 @; C
11.        end
    $ w) b2 }1 ^+ ~+ ~2 t5 G- Z
12. 
    % n* V\" V: N4 _% U
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);  z, x4 M5 Y6 k# ~4 T$ Q
    
14. 
    % t9 U8 Z; F# }& S
15.    end6 j% ^5 X7 _  c1 A( \4 i( ^
    
16. 
    - k1 m) A. X1 }\" |

复制代码

在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。


0 I2 w" s+ s; ]" S, `
" ]* R% U2 O& P: S* {/ ]& B9 r$ _