Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：

1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
3 H0 `4 o/ @' ^9 x5 k4 D2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   $ Q8 L$ |6 O5 P* P$ s- p
2. 0 e$ s' J* v\" b\" {' \/ U1 U2 Y
   
3.    for i = 2:n
   2 Q3 B: i5 r( u' d) n* w' n
4. 
   0 K# A5 A* L6 a: C/ m
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   ( B6 O( r! S/ R* ?1 r: j
6. 6 t5 c: x3 V3 w- J4 t# x  \1 A
   
7.    end
   , A7 V# ^* ^; y! W& U- E
8. 7 O$ p% T  t\" f2 @2 n
   
9. 1 i# Y* m; F# R) w8 B1 h/ x: b# j
   
10. 
    ( {1 X% \5 }2 {7 e
11.    for j = 2:n, \3 e3 B& B( `  N, m& X4 k4 l
    
12. 
    - F$ X* Q- [; Y7 b' k) @
13.        sum1 = 0;$ U* V+ E' F1 X, w0 ^' h9 \, I$ }
    
14. 1 `% i: X1 b; |0 r
    
15.        for k = 1:j-1
    ; p, C8 G7 Y; z* ~
16. 
    ( J! Q* F- B0 C& V4 v7 W9 B4 n- V; ~
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);, T) ?0 Y4 I* q0 M
    
18. 
    5 v' Q( x% Q\" q: `* y\" M& q
19.        end
    / d) m& f7 m  n  v' P1 m\" F
20. 
    % S+ n6 @% O1 O: c
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    ' H* F' i2 K\" z
22. 
    6 W6 w1 S* G- T( i, w6 V! ?1 d- K8 W
23. % i+ ?0 @- h/ `7 [! D, B8 g5 d
    
24. 
    % E# _: _, i: r
25.        for i = j+1:n; {$ z  W4 v* W) W
    
26. ' |/ M( U, z: K/ J$ ~1 o7 Y9 `. Y- m
    
27.            sum2 = 0;) A0 _' q/ |( {  M2 V
    
28. 
    . q3 \: {/ y' T
29.            for k = 1:j-1# Z2 R# C9 f5 A5 G4 A( q+ p
    
30. # e, n+ P- Y3 }9 K
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);4 m\" |  s% c9 ~# x1 i+ p
    
32. 
    4 m. H% k- e& t$ }; n3 y7 `
33.            end! p  L1 ]( w5 ^- w\" x' i\" k6 \
    
34. 
    8 {\" y( v9 n  L7 S4 Q/ K8 S: K3 t
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);8 f\" ?3 a# e\" V3 }: k$ }
    
36. 
    ! G' M5 ^  N1 [7 ~( ?
37.        end1 O' H0 j+ d% c9 r
    
38. 
    + L5 }3 p7 G( U5 o: P
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。

. I* E4 r# W: R* `" p$ C3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);* d  Q& B! c/ d' ~: {
   
2. 
   + n1 }+ D  w* Z0 |0 Z6 _* p( a\" Q
3.    for i = 2:n* E9 f- r) I) h! ^
   
4. 6 c, N( n5 ^' [$ [6 B- x
   
5.        sum3 = 0;  z4 h) V! Q8 V9 c+ l* [
   
6. 9 [9 `) x4 o5 D  I: ?
   
7.        for k = 1:i-16 r  @+ `) `2 w1 g* H& z
   
8. 
   ( x, I1 u3 d8 \3 I3 D: X. @3 J7 X
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
     u4 Y6 n' V& j3 O: K6 t
10. 
    : k* O! v6 I# t( i
11.        end9 l7 L8 d4 |# _: s. @  j
    
12. 
    ! V9 V+ q# W7 M- Z8 v
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    1 K2 }/ a# |. O7 l
14. 
    , l8 r0 ^5 E. u# K
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   ; ]1 x, m0 u0 U4 E\" G
2. 
   / L) x3 ?2 b' |7 F$ j2 g% `4 s
3.    for i = n-1:-1:1\" K4 n1 u\" L- [* J' k
   
4. 7 P: G8 z' T3 {
   
5.        sum4 = 0;
   ( R! }* B/ P7 T/ N4 R\" s& C
6. ! P+ E1 ^: H4 n' C- @& E7 ^1 i
   
7.        for k = i+1:n
   1 D$ a5 U/ j5 _  k1 b  F. b
8. 
   ; c* o4 y* q, {1 I
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);6 r3 |. U0 |( f- q% t1 q
   
10. ( Z' I! z, t8 e4 ?
    
11.        end9 j$ k1 t7 |, `4 q* R- s4 T2 U
    
12. 1 k\" v7 w2 B) K2 g
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);6 v: g1 I. E7 [9 W3 A
    
14. 
    \" t7 m' s, }# ?. Q* _& Z
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：

5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));; N/ X6 S# [/ d* B\" D( M8 I) g
   
2. ( S0 J. _1 t  F6 Z6 }. S# n& o
   
3.    for i = 2:n- T3 F6 ~8 u- q9 l3 l0 U
   
4. : z\" K6 ~0 m& w: b# t, ]3 e% L2 v
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   3 z+ C8 y5 l. j* K
6. 
   1 q. S( P; f: A6 W* U( H
7.    end
   7 R7 @$ g6 b) B7 v6 k3 \/ i- Q
8. , a! {: l) @0 S, B% @& D6 w# ]
   
9. $ a+ {3 G0 I8 W/ r$ p
   
10. 
    & O$ e$ l4 }9 @; A+ ^% u
11.    for j = 2:n
    $ \2 K6 L/ H+ P: w9 {
12. 
    $ ?# E9 D+ T4 g8 L5 v
13.        sum1 = 0;
    : g8 B7 A; F( g9 h6 m; J
14. 
    ( H: j  L; z. z2 b) r
15.        for k = 1:j-1
    # k- M1 L( d\" v+ j% i; |9 e
16.   R\" Y, U0 s5 }* D, F
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    0 R7 T, D- x; Q7 J' `7 r
18. 
    3 F  r( R- W% Z  e# s. m' b3 X
19.        end- O, l' I4 l; g- q$ G* Z! e0 j
    
20. 
    ; R4 X8 d2 |2 ^0 f. W; |
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    : G( H( [' b; S
22. * q  t' _% P) J9 ?5 d. |) B, z
    
23. + B2 f* N. u' [2 j& Y$ X
    
24. 
    + Y. H  W# V5 S/ R: i& w
25.        for i = j+1:n1 `2 Z6 ]) F  t
    
26. 
    6 }6 L1 J# G3 G' |
27.            sum2 = 0;) S. I  l. t! V5 f. A; ^) r: V& G
    
28. 7 k5 Z8 D! N& p, _7 H
    
29.            for k = 1:j-1
    % H1 M  @1 m! T2 v
30. 4 r3 u& D\" k$ A% ?
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);3 ]' i: n7 u' u\" r7 r
    
32. ! [$ Q/ d! V) J\" m6 ?/ R% U
    
33.            end/ R' R0 F) Z) W5 m) M8 I- c+ [0 g
    
34. 4 H( U, \; q. H- i  Y
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);# z' Q6 F  ?; `8 |1 u0 h
    
36. : v2 s+ [4 e7 L' t' S) |8 X
    
37.        end0 q* s6 Y% x9 S1 g\" H
    
38. 
    7 G5 O  p* r- K7 s# _
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。

6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);/ Y\" u3 c& i$ Z+ R* ~
   
2.   v  L3 t* t6 M7 Y/ z
   
3.    for i = 2:n
   3 y, {) b% |7 n\" Q2 M: b+ Y
4. 
   & g1 t/ {# V7 ^/ D1 f4 r
5.        sum3 = 0;' R5 e+ V4 l+ n7 @/ k8 ?' O. j. w4 Z
   
6. 
   * ~* x% m( c( b2 A\" h4 ^
7.        for k = 1:i-1' o  y, W1 |8 N7 \; w0 F- i) }# k: t
   
8. 
   ! a* o& |! U! j! J/ h
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   \" S' l2 i( e6 B. J3 l, I
10. ) Q' A7 P& t4 d) [5 ^: ]
    
11.        end
    ; S% U5 |8 V, c* k4 n3 ^  Z% {
12. 
    3 I1 M; m2 H! q
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    ( Y8 _* v2 X$ j* ?$ n9 A/ S
14. ' L) y1 b) p% p1 A/ ]\" y8 E
    
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。

% G8 }1 P( O# u& r7 }2 H7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);# v% s% `% Q* w3 V4 D8 |, [5 k
   
2. 
   ! e% k; H/ a; f; h( X0 {% s
3.    for i = n-1:-1:1
   % c8 Z& ?' _) t9 Q\" Q' @4 a6 e
4. # q: v\" p2 E& k1 v  O  N
   
5.        sum4 = 0;\" l$ d& h& }; H' j4 F
   
6. % d' P: B/ t  h( a7 f- \
   
7.        for k = i+1:n
   . F. M6 y6 V  f7 Q, H) ^8 j
8. 
   3 ^* C1 z; ?* ?9 H; j! E  n
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   / W9 U7 a. `6 C* C. M2 G
10. 
    , b8 Q+ D( C/ c; X9 ^% R$ b& T
11.        end
    ( S' Y: n: B# O6 @# Z
12. 
    , \# U, A, n4 n4 u* w( r
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);( l! ?* s9 b, d  j- M9 A$ ^3 b1 G
    
14. 2 I3 @  P. W: C0 j) X2 E5 ~
    
15.    end
    4 c. p, p0 \9 R/ ~
16. 6 R/ ^/ p, u( B
    

复制代码

在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
/ k* C: I" m; z0 r' u8 [$ k总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。
% M( @6 Q5 i" {: {; x8 {+ p