Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：

2 G1 l) g. P  {; R* v: j& ~1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));( a( M% F* a- h
   
2. 
   \" f* \: N0 ?  w: Y\" w
3.    for i = 2:n/ ^9 G* C\" T\" b# K  R& `7 Z1 G4 x
   
4. 8 L& L# x! f6 p& ~8 L
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);- @7 t( J0 z\" t( N3 p
   
6. 
   ; u/ s' B+ H* M- [
7.    end  `' c; P  V- `8 |' x* f$ e
   
8. * ?5 F3 }7 R3 @$ a$ L' H
   
9. 
   4 h$ e8 c- j- O: G5 v* ]
10. , ^( e8 `1 `- G
    
11.    for j = 2:n
    4 h5 q+ h2 ?4 m6 l& ?
12. 
    - @7 v% p% a- J\" r
13.        sum1 = 0;
    5 f( Z$ |: Z' D' x
14. 
    + p$ M( ]; g) v4 W9 l
15.        for k = 1:j-1% ^  C  f9 {  k* n) e
    
16. 4 W' p\" B! ^  `& k* G$ h! p8 T2 Y2 B& P, Q
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    7 E% L' t\" K$ }7 D' P
18. 7 p4 R4 ]& d3 L1 q* ^! v! U5 L
    
19.        end% s$ y& y3 n+ l# I7 y: K' X
    
20. 6 N2 Z8 W2 y+ w' t: l! a
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    4 q  S$ x5 `  H6 k2 d7 V/ z
22. 
    * @0 m4 C& ?! `! s: ~' P7 n: A8 x
23. ) j1 ~\" h  n( j1 k+ o! L4 J
    
24. 
    . J8 o+ }1 u+ B$ Q) |% ?! F; a
25.        for i = j+1:n
    0 `% {! ]& N$ g3 J  y
26.   L) d2 v) m- \2 }: Y4 v
    
27.            sum2 = 0;5 o6 s# _1 E5 l, O! v( o6 i
    
28. 
    7 z. }; a* }# f* l
29.            for k = 1:j-15 n4 w8 K/ s4 K4 G' B/ ^
    
30. + w! e# R7 F  i( U3 ]/ Y
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    ' G6 V2 {* F  N& h3 N* e2 X# f, G
32. 
    7 Z. C( z+ Y, }6 b  y/ y% h% ~# u4 s
33.            end
    , M/ I# C& m+ D* S. N3 g
34. \" d& Y( I! S4 A3 \. R9 l
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    * S; a, S' L* n. V; g! O
36. % {- o% F- T! C: f
    
37.        end\" u0 l; a4 S2 G0 R
    
38. 1 N* }+ ]- G4 s# R- S; J
    
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。

3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);3 p\" `. G4 O; W+ g3 x
   
2. 
   $ `! v: Q* L\" u
3.    for i = 2:n
   / U+ Z6 Y7 J& ?6 b- S
4. 
   1 H/ h' `0 Z\" @
5.        sum3 = 0;
   \" t+ z3 S- L& h: r; t
6. 7 w  n) {3 l6 d
   
7.        for k = 1:i-16 z: p2 B7 z* I- `
   
8. 3 [% Q) `# V, e9 y6 K6 r
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   1 n. [/ }) S3 [4 W) J
10. 
    1 F, D/ f0 ]2 [3 _, Y
11.        end
    % b1 w0 C( c5 ~4 W- @
12. * J7 `2 J6 C6 L* H) [% G
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);6 F! q+ k2 L/ i: d6 v5 g: t
    
14. 0 Z/ C2 k# D7 \& C5 U2 c: ~9 I8 q
    
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   3 X; G/ H$ p1 A8 s) p
2. 8 I/ j  y' E/ U+ j, }* j
   
3.    for i = n-1:-1:18 ^+ G, g: \7 y% Z# c
   
4.   _3 g+ y: l) J) M
   
5.        sum4 = 0;
   . @: Q4 m* p+ L& _
6. 
   # P1 G6 s4 [) \) Y7 S6 G
7.        for k = i+1:n
   , t4 R8 ]; C$ D8 n
8. 
   0 C! Y\" ~7 C7 d\" l
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);7 V9 {9 Z- M# K
   
10. 9 M5 Z3 M/ @  O1 \! m) B& h
    
11.        end7 @: I) m% s+ R/ p6 c) W7 |3 X8 c
    
12. 4 c8 Q, T& _; l( x
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    1 x, i7 `2 o2 S' M
14. 1 o8 ^0 A8 k) A3 s  C  m, @
    
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：

1 S( |( _2 E- C# Z/ [- J) G5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));0 Z. A5 i' {1 J3 V
   
2. 
   0 l' d, j\" h# N1 o
3.    for i = 2:n8 U1 Q8 h4 P8 w# R% w
   
4. 
   . c7 n7 ?1 z# y0 |+ g, e4 Q/ k
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);2 V- i- e, X4 n% ]
   
6. 
   8 q4 Q( }9 G6 U8 @1 p( A
7.    end5 x( S1 P) g. k\" a2 q; ?
   
8. 
   6 C$ s+ V3 `+ J) K2 R4 ?2 ~  N
9. : d2 r/ w, Y! |5 U
   
10. 
    ) O5 D2 ]* k  C' t: E# D
11.    for j = 2:n
    ' d# J3 ~8 m4 D/ Q/ ~6 z7 r, x
12. & F4 q$ r\" t& U9 E
    
13.        sum1 = 0;# y$ J  e8 U0 V& Q
    
14. 
    - y, [6 n3 y, ]) |+ b( D0 P: ]
15.        for k = 1:j-1
    5 v% [) V! h5 U
16. 
    0 |3 Z; `) T( a3 i( G; S& R
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);+ [9 _; e5 K0 ]9 o
    
18. 0 _; w6 w+ I% x* O\" Q1 F
    
19.        end3 m) |  B5 W2 P
    
20. 6 M0 @$ A% V+ f# J- B1 Y& S
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    ; ]8 D- ?$ L* W! f. y
22. ) Y5 E& e, u' d/ K- n; F
    
23. 
    9 m# c* Q1 E8 q8 z! K$ q$ `# V
24. / N) H5 I0 p+ ~* z2 Q7 {: a
    
25.        for i = j+1:n$ L* U1 c' E4 W
    
26. 
    \" J, p5 R5 a; }; s3 X# G2 u
27.            sum2 = 0;) B9 x. x: N' {3 s! P- K, p7 D
    
28. 
    ) h9 K- b& t) W
29.            for k = 1:j-15 P! n6 u: ?, o2 [
    
30. 
    * P5 ?& p\" m/ Q! D0 b
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    3 ]  j\" K- a! e7 }
32. 
    ( r; U5 u, z4 n! ?6 I
33.            end. p9 ]# A' y\" R$ X; f) T\" ?
    
34. . L' a+ i' B7 d0 T9 `; F/ Q
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    8 D4 e, M7 }  m\" }0 d; `3 Y
36. 2 `. l# l1 c' l9 d: @7 M
    
37.        end' y2 z# \; z( ]  O: p2 s0 p) D, J
    
38. 
    1 n) C. y- S5 \0 N/ A9 M7 K
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
7 s9 o% N6 p$ Z. ~$ {
6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);
   * \- I3 z8 Q4 N0 T! i- A
2. 
   , D. f. O! w7 A# S4 @
3.    for i = 2:n! @% s% j% `5 q/ E- W( {
   
4. , v) v! Z0 F: \7 c6 {4 |7 J0 D
   
5.        sum3 = 0;
   4 j( I  E7 a1 u2 J0 _' w
6. * ^$ Y: J  A3 e+ _$ {1 ~8 u# d
   
7.        for k = 1:i-1
   9 ]6 q. E5 m4 v  G* _
8. 
   ; H8 D4 C3 @. W; W7 i
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);- }* j\" ?5 _5 P
   
10. , `7 [4 Z3 r3 h2 j- ^+ e
    
11.        end
    ; Z8 I; \# R8 {
12. 
    : L# U) ]/ _( s0 I3 A: O9 n5 w
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    - {+ m# }, q. o7 Y; ~, d
14. 3 f* G$ G\" R; F% a. n0 m; r) O$ b# r
    
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。

7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);! k* f; Z2 }2 E
   
2. ; A/ E' a4 s\" S* e
   
3.    for i = n-1:-1:1
   9 \$ J# P9 J0 r2 W9 F! X7 p
4. 
   7 R/ U( z2 ~. a
5.        sum4 = 0;
   3 m- }/ ^6 V8 M. l2 [! W) O* y\" u
6. 
   8 o  F3 Z( t3 S- p; t8 X* K
7.        for k = i+1:n8 ]8 d+ N7 q% _
   
8. 
   * S2 J: u' r% U+ J$ R( _# h
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   1 W, h  F6 e1 `& F2 T0 y1 e
10. ) R( r$ g3 S7 U, Z
    
11.        end, ]! i7 I! M% i8 G\" p* a( K& y% I4 N! Z& ~
    
12. 
    * `  e/ a% p* G& I, f
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);: ~& Q/ n! w7 ?0 x2 u' p) b& |
    
14. 
    \" i- L+ Y. S6 z& W
15.    end\" T) p$ v\" ^2 }6 y1 u! w8 r
    
16. 
    1 ?# p: y0 i) m

复制代码

在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
' D0 i. G; [. `7 ^! c. _总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。

- r4 n+ B& a9 V, G4 K( i

, `0 d: ~: [* `& X7 u* S& c