Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：
; Q7 o: E! S* r3 K( \  o! m& g
1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
* n$ m5 i4 ?1 i& D6 L2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));; h4 X; w6 @4 c- M
   
2. 
   ; ^. v4 z- y1 R9 i! y$ [2 K$ B
3.    for i = 2:n
   . |9 k+ `' ^\" s: D0 t/ j5 U2 A
4. 2 w! y+ E& b% h) t. Q
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);$ b: I' Y; M: _
   
6. : G, J! T2 R  A! i3 t* C1 c- K4 M
   
7.    end
   ( P5 @\" ]* P% p( S\" \. N9 k
8. 3 K) s( x2 B4 g+ _! m
   
9. 9 D) L$ t3 z$ e- I4 C( \
   
10. \" |% c; o6 }9 \5 A7 @
    
11.    for j = 2:n
    \" U' i! \, o, i, ~3 l, |4 }
12. : t3 f. ]! e0 S' }' }5 A
    
13.        sum1 = 0;
    * f\" ~( P5 P( _) A
14. 
    : a; e# E7 _$ H9 T
15.        for k = 1:j-17 p( g& A7 |: K$ q: G: V5 e# c* P* ~$ ?
    
16. 
    # r) R7 ]+ g- l+ {3 X; t
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);$ Y* h9 [- z% B) {& d
    
18. 
    . v9 k. S\" c8 w$ _5 h) @' X2 j
19.        end
      P' e1 l3 H8 G# ?! y5 J+ ]
20. & D( o) n5 j4 C5 P% @
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    % Q% @9 E# `7 j$ C# N1 i
22. 7 T5 ^0 V4 j4 t9 G! n* q, z
    
23. 
    ; A( N% `; j. T
24. 
    & A\" X; n/ c, i2 b8 M; f
25.        for i = j+1:n
    , R0 h- g\" G- O
26. 4 G* d7 E, }5 g5 D! ~2 X4 h8 f
    
27.            sum2 = 0;+ B. Z* M. F% n+ U, G
    
28. ( Q6 P4 g+ ]+ b! P' Y9 ]1 o
    
29.            for k = 1:j-1
    5 h( i! V/ s\" v$ U1 m
30. 
    ; W( ~* O' U% j* ?, u# S: R: L2 `
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    * M- B\" J( w$ G' J& o
32. 
    9 _\" h' a7 L3 }  v! {8 `8 n
33.            end
    : U5 R/ ~9 J& k8 m\" L5 X7 j6 j
34. 
    * B! U# x2 Y1 g; _2 U& P
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    9 J  Q\" Z, O' G3 W
36. 
    7 D4 I3 K( r0 i: @1 M$ n
37.        end
    2 x; z/ {0 B  U1 h% H& o/ {
38. 
      g3 Z2 }# g+ V2 U' V
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。

3 B4 K1 Z: m: Q0 d3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);
   + y) t5 i# U8 P  Z: H) ?3 ~
2.   M4 j0 f# q8 ?8 x, _
   
3.    for i = 2:n. G$ L1 e+ W5 W' j9 t
   
4. 4 n, a3 M: n6 f; x& r# t
   
5.        sum3 = 0;
   + k/ |, y/ r0 e: _/ B0 P
6. 
   9 m+ ~) N, i+ t6 D( b1 q3 h# m
7.        for k = 1:i-1
   5 }) Y. N* c& W1 I3 w7 P+ p
8.   Q* h3 y\" B. ]8 l: Q' X
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   0 a+ i! t* i( g/ \! g7 N
10. 
    + u- o5 f# c& Y3 s& d
11.        end
    ; L! B; d- k7 _7 P' S8 d
12. 
    / e\" o# |& G( V# e* J
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    5 `0 e: r! N/ a! t5 X% |
14. 
    0 j! S) b- @# |# [9 u# ^6 n
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);6 x% A% R7 E8 U, T$ J
   
2. 
   ' g2 _7 B0 l7 b\" _  R+ E! \
3.    for i = n-1:-1:15 L' \& \% R3 q. `. i
   
4. 
   3 L% J& a: R2 R- l6 s0 g6 q
5.        sum4 = 0;1 \+ j% l8 X# m% |* ^$ q6 p% M
   
6. 
   ' p5 R9 h0 x- X: Y8 k1 p
7.        for k = i+1:n\" N4 i9 R- g* ]1 V2 E: L. Y( d- B3 N
   
8. * O* C5 ?2 U) h- t( P0 h\" `5 o
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   % R5 v8 S4 N. r% U, I* e9 J
10. 
    1 }2 X: h4 s3 \: u* |/ X, e
11.        end; R* p* s$ ~# R4 F* c+ U
    
12. 
    # y0 i  y4 `2 p% L# w3 j
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    \" w1 _4 D* J; A( F& [3 B& C\" I
14. - q/ c0 C) T0 Q0 u
    
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：

5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   , u- I! N' j5 P2 t+ D
2. 
   ( J7 B, z, C( d4 g$ {/ S
3.    for i = 2:n% x/ x) Y: |! B7 z% \( f
   
4. 
   2 m$ S$ f9 I7 h/ L
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   , O: @3 G( k+ o& y: n. ~  m3 \9 L$ ^% Z8 k
6. ) H( g\" y5 _. _7 U
   
7.    end
   3 B( q4 r0 ~$ I! S) M\" ^
8. 
   * \( B+ B$ n( r* T9 u1 O  e7 k7 l
9. 
   . y) [' h) N& _1 r  R+ e/ |$ J
10. 
    - b( L7 {4 X/ l  J) b/ |
11.    for j = 2:n
    & D; W  u\" T& i$ z2 I8 D! C
12. 7 B; ]1 d. M# `0 ~  b$ Z/ N
    
13.        sum1 = 0;
    ; A8 C3 b\" ?; T; T* u7 T9 a
14. 
    ; q/ ~6 d- R5 ]' |\" L
15.        for k = 1:j-1
    4 Y/ {1 y: X/ c0 B8 k+ R: T4 U0 g& G
16. 
    6 z- }- O1 t# i# W1 Z
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    * E3 H. `; k\" j7 X
18. 
    / U8 }6 L+ d$ T* M. j
19.        end/ a! Z0 l' I6 `' e
    
20. 8 T/ z. u9 t; q7 V+ f# s2 i
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);$ q! S. g* A3 u6 h6 _4 `/ n- R
    
22. 
    ) m  \6 M& P* D' A\" }\" j
23. 1 ?0 I( }& y- Q  I\" I( d
    
24. 
    + ]3 h7 `# f' }5 h
25.        for i = j+1:n
    & d& W) P/ c\" E* ^: q% N' J
26. 
    & w( T5 U3 @8 Q: v7 `+ a. n
27.            sum2 = 0;
    : L- g! I6 L\" d% I# z4 i\" P
28. 
    5 u8 ]' x( I: h0 V% i' d: V) @6 s
29.            for k = 1:j-1
    \" a, z- I7 A* @7 ?
30. 
    5 X\" n/ x# r8 s3 a$ M; C9 e
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);  p2 h; m; M. O( [2 t% }\" v; @- \! F0 d2 V
    
32. 6 |( s! E\" W/ _6 m& u' W4 O/ K6 _/ D
    
33.            end# o. W4 i2 f& X
    
34. + M0 Y5 N) k  s5 ~$ L' P
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    8 j' G) K$ A& |6 x# X
36. ( }8 w$ D. ?9 j/ z\" a
    
37.        end
    + X' D1 [! J( b) U\" ~
38. 3 y. f, V6 M4 a( E
    
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
& t; W2 `0 C+ w$ }
% p2 C) x" }; M; i* H' E8 h. y6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);9 N9 m6 n' C\" |. d' [
   
2. 
   # V# M8 M5 e; n\" l* C
3.    for i = 2:n
   ) u5 J6 d  _# R  z+ j. Z
4. 
   1 I# ?( {5 e, \9 o2 c
5.        sum3 = 0;
   ( J4 ]- `( D/ u. g; m  ]
6. 1 s! f) P* X$ @& u% P
   
7.        for k = 1:i-1% k/ W$ o7 B. q$ i! W* H
   
8. . W$ a; |% [- [, m
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);3 z\" j) L. n# Y: H
   
10. 
    8 }' @# X. g' z* O' @/ e& E( E4 ?
11.        end
    3 j$ p7 |2 i0 {, S! S# f5 I
12. ) K% j/ Q# K3 t
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    & G  K2 S8 T$ U) ?# g
14. $ T7 S7 t: t- w/ f. ]
    
15.    end

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在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。
5 s; @9 Q& _/ M; g& L6 D' J
) Y7 z. h% W  l  q, i  T7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);3 d+ j\" v$ u+ }- e: {/ z
   
2. 
   * \& H4 N\" d1 C' R: b
3.    for i = n-1:-1:1/ f+ o: R. [) ?+ s0 t6 C  X
   
4. 
   9 L- o' L\" n# I: f# N3 j1 s
5.        sum4 = 0;
   % |0 G' \1 D0 Z; J
6. 
   + N5 t+ ^# p1 X1 F, y# U
7.        for k = i+1:n3 Q; t5 s\" o+ D0 z1 w
   
8. : F, _\" i' V5 ]9 {2 f. ~& q: |' r
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
     |' ~0 _* `4 W: P' E# @
10. 1 q5 i1 g- s' y& C5 w6 \' B6 J( ?
    
11.        end; g7 a: s: C3 `8 n\" ?5 C& i+ W
    
12. 6 |( b- v$ B9 ], Z; p  ~2 W( f6 ^
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);# B9 g1 J7 r8 C: c8 E, ?+ z8 p& S
    
14. + A, U% C- r7 ^; H# `6 d* [$ r
    
15.    end. p% c3 D- F- [/ Q  r
    
16. 
    & }1 q$ {4 }. r9 Z

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在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
: ~2 \% l0 I; ?/ C! ~0 T总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。
& x/ e% W+ R* E. L5 e6 c% D# e