Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
以下是Kruskal算法的简要概述：

1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
' ]  T9 ^; p8 |/ y3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
) ?& w" W3 P' ^4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:
   : H4 @8 f9 @7 N! m# u& ~, I+ P  A
2. 
   ; u' a9 d# Q; m# H% i0 c5 t% B
3.     def __init__(self, vertices):! ~0 T* E# Z9 c
   
4. ; h; w- Q& A3 l8 ]/ x, V
   
5.         self.V = vertices* j, s  d9 e5 O6 _
   
6. ) r\" D9 f+ s$ Z- B3 W
   
7.         self.graph = []
   7 D! c, j) p8 J0 X
8. 
     L6 \5 j4 |\" v5 E$ b
9. 
   \" u7 f+ m/ e% {7 C- }
10. 
    . ^* f% T: Z6 ]+ F5 ^/ l. g
11.     def add_edge(self, u, v, w):8 Z! Y- {9 _! f1 F. O
    
12. ; ?+ F/ `7 k0 [0 g2 Q9 y\" \7 }
    
13.         self.graph.append([u, v, w])& C$ n( ?% W! E% d+ Z! Z
    
14. ! ]1 ?8 r- z# `8 M5 d, ?
    
15. 
      e  |6 b- W7 e\" K
16. 2 \- i' N6 ?' a' u: z0 I* Y
    
17.     def find(self, parent, i):
    1 k7 P( A! T- o8 T0 h5 k! m* ^3 {
18. 
    * B' s9 j' f; p6 m% W9 S: ~
19.         if parent[i] == i:8 A) X! h3 Z3 @9 B) l
    
20. 
    / j, h; F1 K  @5 f  V* N7 S  u  H' Q
21.             return i; B( E+ ]2 I4 M\" h0 w8 p* x' ]
    
22. 
    6 V\" W5 L: w2 v+ Z  l' L
23.         return self.find(parent, parent[i])
    + ?5 E) _* s( k8 S  j, E/ @
24. 
    3 v% j\" E0 T7 ~1 C; A2 j. ~- U
25. 8 z) p, Q: P+ T& X5 b
    
26. $ R. J. f: ^4 F7 X7 s8 j
    
27.     def union(self, parent, rank, x, y):1 L* {- t% @' S: J# Y+ ~
    
28. - g* u- v  F- b0 L6 }; S. \( X
    
29.         x_root = self.find(parent, x)7 a* v- d# b  u, `. Z* j
    
30. : A  a* U+ {; H) j\" h
    
31.         y_root = self.find(parent, y)) q) v5 R' L. L4 {. s
    
32. 9 P! b\" h  @' r! f  {
    
33. 
    9 f% T, u# @  X/ |4 M$ y$ Q8 D
34. 
    ) u) W! _0 \* k( d/ R# y
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:6 [% N( C, G1 \7 [6 Z2 |\" W7 _
    
36. ( @5 ]$ _& e- X
    
37.             parent[x_root] = y_root
    9 u1 D) T  E  l& i% z! ^: v0 m
38. 
    4 l: [) z\" m3 W1 T. v3 {5 s4 ]
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:
    ' j$ {& F( Y8 \' N+ u
40. 
    / K# t' H. X& \
41.             parent[y_root] = x_root
    * }  h4 {& h\" c5 |7 [, A* a
42. ) Y% `! v# X- {
    
43.         else:$ Y% Q% Z\" u3 q
    
44. 5 q7 o' g& x8 g) q- w3 p$ S8 Z+ c
    
45.             parent[y_root] = x_root, N. M: \/ b9 ?8 ^- @! j: d7 r
    
46.   |9 A; b5 z5 z$ t2 [4 F4 v' ~1 ~! r
    
47.             rank[x_root] += 1
    5 p0 }6 X\" B* z  p3 [
48. 
    * Y& i( X1 o% D; d- l7 P0 T
49. 7 Y/ x$ S6 y8 p5 D\" j- n* x
    
50. 
    # O: N' j\" o& T\" G1 |
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    2 Y7 W/ s( _/ e* n6 x2 Q
52. 1 G0 Q' I) ?) Z& X
    
53.         result = []3 l4 S. _, M; T\" c, w4 L) z) c
    
54. 
    ( h  w3 x5 |; ~4 |- w3 D7 G( E
55.         i, e = 0, 0
    4 o* U, ?3 `- r$ S3 l
56. 
      b, B1 u4 c- T) @/ P8 ?' C
57. 
    - g+ Z0 b; j0 f  C; j& c& a
58. 
    . [7 [5 \6 ~! _' h. d9 @1 u) x
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])
    3 m: r\" M% O1 d. T% x, D* Q% |$ q
60. + L$ U; |& {# t$ h
    
61.         parent = []
    7 P% S5 }: C) Z
62. 0 c3 d% z  J; \( N
    
63.         rank = []
      |! i/ ?8 `( y; ?
64. ' z2 X# V9 M! T# M5 A) l/ J
    
65. 5 v! v' U\" J  ^! d9 {
    
66. 
    6 s: Y% f' c9 T* K5 ~5 u4 Z+ ?
67.         for node in range(self.V):
    & {; D7 w% n# f4 K* f( V
68. 
    \" v6 d4 B, f  {3 F
69.             parent.append(node)
    ' N6 z. d( K* q! M! f3 h) _
70. # v& J$ e# M7 C! H+ T+ q
    
71.             rank.append(0)
    5 [. I0 G* X7 N\" N3 v) x\" ]; l/ B; Q
72. . l! |( i9 o: C% b) ~
    
73. 
    2 Z, y3 J0 l2 C' Q/ }& `
74. 
    3 T4 G+ }, o6 {* k; [
75.         while e < self.V - 1:1 r0 \! A8 n+ c/ \! j
    
76. ; J! d! j: I+ }& s2 R) \
    
77.             u, v, w = self.graph[i]
    & T3 n( ^; P3 L# L\" j6 n
78. 
    - G/ {1 Y% B8 j* g, v8 G% f  ^( ~
79.             i += 1
    # K+ ?, Y5 k3 x& ~
80. & U0 x+ @& x4 H' ]! ]) V3 b4 i) u- S
    
81.             x = self.find(parent, u)4 S/ n  u! v* n% W+ l, l. e
    
82. - p$ o5 u2 F' A2 D9 ?0 E
    
83.             y = self.find(parent, v)* ?0 W' }, s7 H6 {0 V/ }- Z3 A
    
84. 
    8 q2 |% c6 U7 D  y/ s; u5 {
85. / H) G5 K# p9 b( o
    
86. & p* @* G0 B. f' E) w# q# X$ g
    
87.             if x != y:
    $ I- ^$ T' M  V
88. 
    6 k9 v9 O\" h1 D5 E
89.                 e += 17 p\" @2 O) k: m
    
90. 
    5 U\" p0 R+ C\" Z! t
91.                 result.append([u, v, w])! C' ?! ^: b1 J\" }  t1 B+ g
    
92. & H$ w1 I: b% K% W\" c/ A\" @
    
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    ; _2 ?5 S2 P* H
94. 
    3 Q' b0 d% Z7 x/ o/ ^, z. m1 J/ L
95. 0 g8 B8 R\" a* s% |% x
    
96. 
    \" g0 ^; K3 X( w4 ^+ v
97.         return result! D0 L+ b\" T\" \. V: g/ n/ L
    
98. 
    $ L9 c- K2 V  n. @4 l( p4 ^1 A
99. 
    2 l3 o3 N6 ^& ]6 \/ I' l
100. 0 f( ]+ U2 |2 i7 N
     
101. g = Graph(4)
     & m8 G9 b7 k* ]& h
102. 
     ! {6 v* O# g) ^- R
103. g.add_edge(0, 1, 10)
     . N/ f  t- K+ ?+ d; y  r\" ], ~  u
104. 
     7 B0 w- Y7 Y+ e. b* n; o
105. g.add_edge(0, 2, 6)
     0 n! q. d3 }/ l( Y
106. 1 {( ^4 L/ l+ w& s. l. }4 C
     
107. g.add_edge(0, 3, 5)8 ^8 Y- W' A5 q
     
108. 4 d  U) V; L6 v
     
109. g.add_edge(1, 3, 15); O7 i; c  ?' |& w8 H# c2 G1 x
     
110. , L3 g1 E1 X1 U) Z8 W
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)
     8 H, d2 g; x( z3 |0 R, U
112. 
     8 a+ M# y' N\" y6 J, q1 s. ?
113. 
       l5 p  x8 A) c\" ?8 L9 t9 H
114. 
     ( [. t+ a# e) E4 F$ V1 n8 [6 `
115. print("最小生成树的边:")
     4 F% `0 l% p0 e+ [\" s
116. 
     2 \! L. Y\" B/ I+ Z
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
3 ^2 I/ C3 J& C  b