Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
; W$ @0 y0 a2 _( j" v- h以下是Kruskal算法的简要概述：

1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
9 V$ q! i- {( v, o, x3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
# O7 ]% q1 D  s" J% [* {5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

) E6 f, S# V& S以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:+ i# |6 s' V5 F; X. D
   
2. 
   - f0 R7 c; K\" Y# l$ K$ I: O; \
3.     def __init__(self, vertices):
   + `- g4 a0 g1 |\" j) d
4. 
   7 D, G5 T$ G0 h3 m  _' s4 f
5.         self.V = vertices
   \" Z4 h7 [4 ?8 n. L% v; |4 d% X
6. 8 X1 T/ X, ^4 |; K1 |
   
7.         self.graph = []
   # h: p0 O' m! M/ W. [
8. ' Y9 }1 ~4 @1 R! L4 u) r. A- u, P. n5 k
   
9. , {2 l( V! }9 W, @8 y
   
10. 
    ; N/ @+ ^/ y  @  C8 {5 ~
11.     def add_edge(self, u, v, w):* B2 R3 |# Z( |) U8 X
    
12. 
    ( X1 H; ~3 E* o3 p# f4 C
13.         self.graph.append([u, v, w])* m5 D7 X9 Y, _
    
14. 
      U% i- ?  e\" k, y) i1 Z
15. ) Q* g$ L: n, x6 Q. {* _
    
16. 
      ?' J- y: v. X* o' A* [
17.     def find(self, parent, i):8 B$ E1 A( H( d
    
18.   P6 M\" r) V; }' U2 S+ k
    
19.         if parent[i] == i:
    : L* P. M; F4 r- Y6 ~7 X% M
20. 
    5 e9 m  m1 v2 m1 J2 B% V) e\" q
21.             return i
    ( g6 P/ T: c, H/ i# V
22. 
    % a6 F$ _9 O$ U
23.         return self.find(parent, parent[i])
    - K5 j+ p% V: c6 V0 @8 U+ d
24. 1 y; y. t+ k, N! l, k% h
    
25. 
    + w  [6 d4 Q: x+ u$ K$ _
26. 
    # r: k, X, Z9 L) k5 T& U) j
27.     def union(self, parent, rank, x, y):/ K$ F9 E# q7 G; n5 V5 _0 F
    
28. 
    & @! A# v% g$ H7 p7 j  u
29.         x_root = self.find(parent, x)
    : U6 F, D! d. |! [/ P1 u
30. 
    - o7 ?/ w* o# O2 }
31.         y_root = self.find(parent, y)
    3 F6 L+ `, J\" }
32. 
    ; c# S& A. J* x' r7 X& D1 r
33. 
    1 {! h! y# h/ \& p\" y# L  S! Y2 N
34. 9 t! A* l6 i! q2 m. t
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:3 c/ U  ?5 O\" R& A
    
36. 
    * [3 h. e& P* a% d
37.             parent[x_root] = y_root
      I1 X+ L; i4 f4 N( U: I
38. 
    ) s. d$ Q3 A7 i3 l5 O3 h. u
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:2 g/ M0 |\" W5 J, K% ?
    
40. 
    / _( ]! y/ q9 z6 d0 t* ]/ h$ _
41.             parent[y_root] = x_root- |, e. M; i  _\" |
    
42. 
    % {# n) l. e! G; U% n9 C) e
43.         else:8 r/ A7 w: t  [* @) j6 P
    
44. * s  X1 A/ j- I4 ]+ z  a
    
45.             parent[y_root] = x_root! Z2 Q8 r) Y6 M: P
    
46. 
    4 T' d( o: c6 H4 z6 ~
47.             rank[x_root] += 1: h4 b# ~8 Z! B0 z' p1 Q) d
    
48. 4 q\" g\" L* f) r, B8 ?
    
49. 8 \3 _/ H; U& N5 ^/ E9 o$ Q0 D
    
50. , K! {: l8 R1 B2 h4 A1 h. x- ~3 j2 a+ K
    
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):3 q2 p; p, S  b6 S, ^! q
    
52. ' k2 K6 p: Q* J' g8 j% g
    
53.         result = []
    ' K4 |8 c/ g1 k& [9 l; }- y! W
54. 
    & x' v  @4 a+ ^4 s4 }6 G
55.         i, e = 0, 0
      k' M3 C2 F6 |; O5 Z+ s
56. 
    * b- R( B6 v' w\" r( e
57. 
    * T8 b8 }; S0 n9 _  n5 L
58. \" t1 {' ~9 _6 s6 ]3 m, D
    
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])
    ; J\" L( q$ I  s6 ?/ Q2 a0 Z0 J3 m/ W
60. 
    2 d) l0 T& o; i) C
61.         parent = []
    7 p7 J$ T9 K7 M8 m
62. 6 b) _1 k$ G  w7 ?; U! y) M
    
63.         rank = []1 m! i- G. m. E+ x
    
64. 
    & M8 D; W0 u! X6 K) p# p- {5 s- d
65. 0 m3 ?& C2 I\" X
    
66. 
    5 R2 S5 r! F9 O, |4 I
67.         for node in range(self.V):8 d. ^: |* U& ?. M  ~' K
    
68. $ r8 K; {8 ?\" r, R/ @+ C+ G
    
69.             parent.append(node)! `& C2 p; z( D
    
70. 
    . I, W& b8 y: z\" Y, ^. ]; L
71.             rank.append(0)( L0 v3 T* s: ]+ X* c! I0 B
    
72. , ]  m9 k& K3 O7 C
    
73. 
    9 p9 Q2 l( M! l. o( F! |
74. 
    3 v\" ?+ ^) l* h/ r+ B: M# r9 p7 ]0 [
75.         while e < self.V - 1:
    5 E5 k+ t8 ^6 j5 L0 z7 t9 V+ K
76. 
    8 d  _2 {1 ]3 n) s* H4 O% {3 x
77.             u, v, w = self.graph[i]' r9 L$ e9 G, r
    
78. 
    9 o- S! ^3 O) r/ I
79.             i += 1
    2 H# h) P\" H) ~5 j# s' i) r$ k
80. : J4 T+ e2 l2 t$ d
    
81.             x = self.find(parent, u)
    2 e1 Y8 h  y7 F1 g2 Y- ~
82. - T9 C9 Y1 z) H1 B, A7 Z! {8 U$ R
    
83.             y = self.find(parent, v)( ]5 M; A7 v; f
    
84. $ `+ m: P# D$ w- o9 o$ ~0 @
    
85. 9 ^. x$ N/ \+ }\" \: d
    
86. + c9 E! ]1 e) j5 H; y2 G0 R
    
87.             if x != y:
    ( v+ N) [7 _) k$ h  r/ z6 o
88. 
    ) q7 O0 S4 U; u
89.                 e += 1
    - A/ ^- w2 N4 q, k
90. 
    $ A# G5 a6 V$ ~& ?
91.                 result.append([u, v, w])
    * C! s0 R5 W8 l# F\" b+ J
92. ' [# d- j9 O+ H- ^( e
    
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    7 r; d# F3 c* A6 o8 U
94. ! g. f& y3 @, r( B; V( G
    
95. $ t# N. S9 P8 [  p9 P: a
    
96. 3 v9 f( A# n- a7 p! O
    
97.         return result9 `7 J( x( [7 q$ {' t2 ^/ N2 ~% S
    
98. + D7 a4 r* C& i; |. \: H  _9 D
    
99. / I0 b$ ]+ h4 ?# G
    
100. 
     - k- @  e* n& a\" k
101. g = Graph(4)
     : }- _) H# C. A
102. 
     3 d4 [, d: e; z, X6 f# N7 V
103. g.add_edge(0, 1, 10)  y( r: h8 h8 o2 z4 L# e
     
104. 6 ?( D. U9 d& N; \8 P2 U8 L3 y# o( Y
     
105. g.add_edge(0, 2, 6)$ e2 k1 f2 s- q\" o
     
106. 
     * A; S8 U5 ]3 e
107. g.add_edge(0, 3, 5)- d8 j7 N& ]/ Y& N
     
108. ) Y- V6 J3 b  b* ?& c
     
109. g.add_edge(1, 3, 15)
     % e; {: H8 @1 F; X7 j* U8 S
110. 6 L: n3 w, ^# Y0 H
     
111. g.add_edge(2, 3, 4), V; T: e  e8 }+ R  ], }7 E6 _4 y
     
112. * [+ s1 r; K1 ^1 @3 V& I\" F! Y
     
113. 
       R3 x1 C/ B* p5 I
114. + q3 e! v* n; G' M/ i. R
     
115. print("最小生成树的边:")
     + S& a4 y5 Z! m( _0 b\" b\" _
116. 
     0 |6 y+ Z9 t& m% K2 M7 j% \
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
1 `% y1 K1 T4 A! \0 _
( }: j4 a% T- m4 l* R: G