Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
以下是Kruskal算法的简要概述：
- r, l$ s- S$ m/ U$ v" g
( q) Y: w( n* S" z2 c3 z% J1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
9 n  c) m! u. |% n( p$ p! e5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

$ c" k/ a; ^( P9 F( h- n" \以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:
   # O5 M9 ^+ \3 r3 x4 Y
2. 
   0 k$ H+ A# w8 ^2 @$ G
3.     def __init__(self, vertices):0 x: d# w# w4 _! `# i
   
4. 
   % X8 p% B\" {6 F4 U8 e0 ?
5.         self.V = vertices
   ' x2 r% n$ T2 u0 P. f
6. ) @: y. x+ g/ c; `1 x7 T
   
7.         self.graph = []
   , V2 V; A; ^$ R% }3 L
8. 
   + J/ U; L( Z+ ]  ~5 E/ N
9. 
   ) t, y  A% p! s
10. 
    \" V! s) X: h7 w* h/ i
11.     def add_edge(self, u, v, w):
    $ E& U5 }$ a6 I
12. 
    : I; d# C: ]5 i8 U, V5 P
13.         self.graph.append([u, v, w]): q% s2 |, K4 d: [& ^
    
14. 
    ; q; n+ B  ~' {4 w) e( n$ B\" |/ T
15. 
    4 `) y0 Q4 P5 p8 I' C, B' ?6 H9 M# j
16. # n$ O& l7 G) s0 L/ c/ q
    
17.     def find(self, parent, i):4 @0 T  F$ c% w' k
    
18. 6 Y& o9 h0 p9 N7 K' H\" d
    
19.         if parent[i] == i:
    9 G0 V8 D7 R; h/ O
20. 1 N' k. e4 v3 F1 A\" g3 a
    
21.             return i
    2 l! ?: I. f* a) j+ m- a& l
22. 
    ! n8 y, @9 `; s5 {
23.         return self.find(parent, parent[i])
    / p+ k9 y) C5 O
24. 
    5 t  l; m* L% Z9 E0 C! j1 C* Y9 g
25. 
    1 G# Y% F# ~: `$ k: L$ I
26. ' h' V) `2 C! m
    
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    ; U0 g7 K/ p# r7 B& ]2 ~
28. 
    ( U- P& h) ^' R9 S
29.         x_root = self.find(parent, x)$ N+ f& k% H\" z
    
30. 1 w- ]! g6 t+ }1 g/ C+ l2 g
    
31.         y_root = self.find(parent, y)
    1 [7 ]1 i9 M; h8 L8 t
32. 1 B5 Y\" @. e/ ^& R1 x
    
33. 
    % Y) T$ X, ], {2 y, o1 F5 E
34. 
    8 {% `5 o3 ?$ B6 L' ^* M
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:% ]% G. x# T) d
    
36. 
    # ?\" j6 Y/ p+ H1 B4 V7 ]4 Q8 ^
37.             parent[x_root] = y_root& i1 a( ^3 w# _* P3 c
    
38. ; Q( B( `\" O' |, b\" S& r: L. [
    
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:
    + E' K  x4 j7 I0 S. d' S
40. 
    $ H0 |2 H' j- a  q' ~\" ~- b1 Q4 M; ^
41.             parent[y_root] = x_root
    8 F) Z7 Z3 v$ V* {1 ~9 p
42. 1 c9 D0 q. |/ M# U
    
43.         else:% M( S% S- P$ v7 s( G5 z
    
44. 
    ( K( x, ~9 q( m) N& p/ U# \3 K; @) i
45.             parent[y_root] = x_root
    0 Z% z# s# G. L6 j
46. 
    5 \* z6 Z% _0 F4 g7 K
47.             rank[x_root] += 1
    1 p* L4 r; V5 x
48. 
    , R1 y4 }. [! v5 i4 U
49. \" q. d% i1 u/ v; t7 j3 |
    
50. ) T, U1 L5 d1 l- l
    
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):. l2 u* }  c( K  o\" t' z: X
    
52. 6 w8 R- o- C+ ~! }0 I
    
53.         result = []7 K5 ?# x- W  R
    
54. ' @6 j1 U+ G! ]8 b
    
55.         i, e = 0, 0
    ) G2 B4 h2 S* }+ l+ \' {1 K) W, B
56. 
    2 m( ~5 s+ T3 Q\" R+ k
57. 
    6 x3 @; S$ [6 k, u8 n  h( Q7 J
58. 
    \" Q2 d9 k+ X2 }6 B+ A
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])/ W. d! [( ?5 P- u
    
60. : L7 O/ A7 S  z) P1 k
    
61.         parent = []5 c5 Z0 O% l/ @, W. N
    
62. 
    0 T$ r6 q8 o4 [' I* Q9 ?
63.         rank = []) w3 f- g\" w8 F3 |. ]  q
    
64. ; k# N( K1 @& E% c9 P5 m1 \
    
65. 0 q7 g# z/ ~5 v) \: q- L, u9 Y
    
66. 
    1 R\" G+ ^4 C) w% E8 e
67.         for node in range(self.V):
    % R+ @! ~0 f; X# w: K7 ]
68. 
    % D, ^: K/ \) @4 a; ?0 s( m' r
69.             parent.append(node)
    / G$ i3 ]/ \  Q9 N6 X- z: D6 L
70. 
    9 z2 l+ e7 `2 f. |/ }2 ]' t% v
71.             rank.append(0)
    / _  |5 k' {* _( F6 a7 A8 T  `
72. 1 t: j% P* x; ?) P8 J- ?& |* V; }5 j
    
73. 
      C) q$ T' S) E
74. 4 k9 ~2 P\" y  h, {1 J
    
75.         while e < self.V - 1:
    - S5 |# m& X# X# D: n
76. 
    1 Z  O. k\" g, [4 m( v3 B
77.             u, v, w = self.graph[i]
    5 g, _0 b5 ~% e
78. 6 ^$ ~\" c6 N8 ]0 i) U1 X8 c
    
79.             i += 1
    4 M: }9 K& d- _9 @
80. - }5 I- L' B' l& v( Y: T
    
81.             x = self.find(parent, u)0 I$ y, Q  B5 p
    
82. ; Y' m( N6 f, B. B; v: q, K. u2 s
    
83.             y = self.find(parent, v)0 [( i0 `, V2 X& H7 l
    
84. $ I/ d& n9 d  ?' U+ g8 D
    
85. ! q9 f' p/ l\" k1 j* i( p8 I
    
86.   g' r2 j' [8 t  t% R$ y
    
87.             if x != y:
    8 N' u9 |' S3 A7 ^, ?) s' M( R8 r) ~# N3 q
88. 
    ' m4 }* f$ q\" W. R9 v( }% w
89.                 e += 1+ l  z. b0 [$ C- t. c1 b
    
90. ! y( V& N; a; U5 F% i$ d& l
    
91.                 result.append([u, v, w])
    . j& c: R/ L, t# C4 o
92. 
    4 Q1 p9 Z* s\" T! V0 c0 C
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    ; T  d) y/ M  ?3 t% o% L
94. 
    # Q( g5 t. g6 |/ u( h1 S0 ]7 J9 G
95. - Q# r/ b) Z: j, e- I) R4 U
    
96. 
    ' ~; L& V$ b1 Q& _+ j% ?
97.         return result
    2 j* Z/ }* _1 J6 ^7 k7 j4 b
98. 
    4 ]; C4 l9 n' C5 e/ d6 ]. D
99. 
    1 f- q+ @& O- o
100. 7 _! D* ?- |+ V6 G8 n6 A
     
101. g = Graph(4)
     , b8 \, x1 b! q
102. 
     ' K! b& k: n$ x3 ]
103. g.add_edge(0, 1, 10), b  u$ P; J\" J# b( ?6 v
     
104. 
     ) N3 J) H3 p' }. \/ I, h; W
105. g.add_edge(0, 2, 6)& R: S8 g4 |  ~
     
106. 
     ' x+ W# L( k$ U1 W\" ?\" E
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     8 ^0 w0 H* l- J6 |8 ]' E* J
108. ; A& D; B8 y3 f1 Q8 W- @; u
     
109. g.add_edge(1, 3, 15)
     . _/ I0 U, a( q' {' G# N3 `
110. 4 d# H  M2 s1 A( l3 N; S* z: q
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)
     7 \0 o& Y. [5 R! n: c
112. 5 K; G) ]$ ]/ N: h7 m
     
113. 
     * j4 ?9 T\" s# f: F2 z( g& J1 B7 F1 o+ i
114. 3 A4 f0 B1 I% y  R8 S  H
     
115. print("最小生成树的边:")
     6 {& r9 b\" o$ r9 d8 n* Q\" O. _
116. 
     1 ]) c7 }5 U! n9 k) X
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
3 E& H+ l' f& q0 D