Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
8 C4 X9 i6 L- o2 A2 L) O4 B以下是Kruskal算法的简要概述：
& P/ ?& X7 }+ R6 L
1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
$ ]5 s: L2 |; R2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
1 U% j, a+ r7 v( u# _: T# a- k3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
5 c8 B1 `+ G6 Z; l6 Z4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
7 I, s! l) W( ?9 a2 o6 u3 v
. g; V: n; z# t& o以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:
   $ V& X+ H8 W( f4 J% s& J
2. ' x4 Y& j9 N- W+ ~3 E1 V
   
3.     def __init__(self, vertices):+ W\" i/ a% V2 R& p2 x& @# S) T
   
4. 
   1 ^* T: \) U# K: H$ B! c
5.         self.V = vertices& P% n6 v) Q3 q$ e. d( ]: w
   
6. 
   : ^3 d) W) A5 j4 \) j5 V7 l
7.         self.graph = []
   3 w1 ~5 Q4 v, f# g
8. 
   & Y! `+ `3 e/ `3 n& `
9. 
   & c6 `7 d1 Y8 v8 Z/ o
10. 
    + _( D: u% P( H2 t8 [& U
11.     def add_edge(self, u, v, w):5 v+ _# R6 e\" J6 w# T. z# l
    
12. : e5 {* s# z7 M! u% ?1 j4 v7 P7 z
    
13.         self.graph.append([u, v, w])
    ) T$ m! d# \1 ^9 K4 Q4 a
14. 
    ; T# f/ O5 ~7 c( a1 S# N4 L  M
15. 0 a% T& Y+ W( {
    
16. 9 l; K, j. F* I, R\" M5 e7 |9 J
    
17.     def find(self, parent, i):7 Q) s/ q: E# a+ g
    
18. 9 r. t+ H- z! J2 A; T0 _
    
19.         if parent[i] == i:
    . X+ J1 E, m' I  N, R) A( m8 W
20. 
    & H: I% E* z& f& o( f
21.             return i
    / G# S8 W% L) s7 G. f0 ]/ o# e/ D  o
22. 
    , [5 t) E6 h5 z$ e4 I# H) O  W
23.         return self.find(parent, parent[i])
    1 o' u4 [( W) e) L9 d5 |1 U- n
24. 
    8 {, ^9 z$ y7 C& c
25. 
    4 _. y6 g( K/ y
26. 9 r  C! v) `2 n  T
    
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    8 S+ H: O0 [$ l+ _\" ?/ }
28. 2 i% X. D' s0 y* G) B8 K5 ~
    
29.         x_root = self.find(parent, x)$ _) a1 B7 l# O6 a9 M1 j
    
30.   V2 d5 E; m: L: d\" z
    
31.         y_root = self.find(parent, y)
    : C5 v  ?& U/ v/ n/ ^1 u
32. ! r( p8 r% m4 m* x2 h% x1 i( k- o
    
33. 
    2 j' M; e% T: W. K
34. 
    ! B4 B' ]/ c+ N! `) N: y+ o
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:
    - g' g. A- I( C+ j+ w) P
36. 
    6 \4 V8 g% U$ b6 K- f
37.             parent[x_root] = y_root\" q  w\" S: \# D: D2 g* k
    
38. 
    6 Y3 o, k# |6 w1 ]; p* k\" a
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:& x3 x. b# R\" r7 o\" E
    
40. 
    ' \0 y* c& c% ^4 [
41.             parent[y_root] = x_root$ I& {: A4 Y3 _
    
42.   t$ d. W1 |2 B7 d+ @
    
43.         else:% J% k# ^7 ~1 G! d- K
    
44.   G, D, O5 O( S, [) j
    
45.             parent[y_root] = x_root7 R; Z, X\" t; d' s, T0 d: Z8 P8 B( U
    
46. 
    9 @' D) f\" s. W% x3 l! D6 H$ Z; {) W
47.             rank[x_root] += 1
    ( E% h. }/ y  \/ d- f1 _
48. 
    6 K8 d. p7 W* I8 [3 V1 A9 A: n
49. 
    \" |2 g. F* A\" F7 d6 f6 @) d% e
50. 
    ( N5 w. \8 r6 s5 Q5 r  |
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    \" N, y3 r8 W# i  V
52. 
    / Q+ `; B' f' t* ^1 y' @+ u0 C$ w
53.         result = []) _4 _4 G$ L5 r: F1 _: t6 |  Z
    
54. 
    : {, x- U\" I3 a/ V+ f3 C  y
55.         i, e = 0, 0; c# P6 K( J) X
    
56. 
    \" i' O) `. f6 _( P  @  j
57. 5 I0 v3 i( J- b, e7 b3 S
    
58.   V- v* O8 L' F9 t+ s* A6 h* e; Q
    
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2]). |# Y9 f/ k\" B6 g+ L) x/ u! R
    
60. : O% o0 e( _4 ?) J, a* a% G
    
61.         parent = []
    - u0 N9 ]6 }2 Q, J7 S
62. 
    7 K& b4 t* Q$ a% Z/ G5 }
63.         rank = []
    4 i* f* L, a, f4 F% ]
64.   [- C* n9 p( O4 i$ J  E
    
65. . |0 }) Q1 Q0 B% ~8 I
    
66. 
    5 d\" v# r. p4 s
67.         for node in range(self.V):+ C% a1 ^) o% C! Q1 F5 d9 Y. N& [
    
68. 
    % a& O' n1 w  I1 |4 C, |8 n
69.             parent.append(node)
    - |1 ]0 H4 Q, R& g  B8 h' o6 I
70. % P* v! o) Q# _1 a
    
71.             rank.append(0)
    ' L  ]' L  L6 W! N
72. 0 L9 p- |# U/ N
    
73. \" G0 q/ H4 G0 Z: Y3 P
    
74. 9 J6 F2 `* i' ~& U7 b
    
75.         while e < self.V - 1:, L0 p. K9 I# r' i8 ~. \/ D
    
76. 
    + N* g) h9 P% ^' R% r/ s9 T3 V4 s# f/ O
77.             u, v, w = self.graph[i]
    5 X4 G& G3 N' R
78. 
    ! D* O5 j4 I$ M, W8 w4 |
79.             i += 1
    8 I\" ]& q9 j2 g; `9 k- I; g
80. . O! ^7 Q2 w) O# d# Z
    
81.             x = self.find(parent, u)
    * q. [5 Y/ G2 }5 g
82. 
    ; h4 x% I( K: Z# H4 a
83.             y = self.find(parent, v)
    4 ?6 E, d\" q( A9 J+ K, s1 r
84. % R8 _3 s, o6 `6 J# p8 X1 [
    
85. 
    \" @. Z3 R1 [. e1 x& q: Z\" r% e
86. ) u5 }( n: L' F$ U
    
87.             if x != y:- p% e+ {' f! L+ H/ B
    
88. 
    8 |, W: K, a  H- P. B+ }! E! a
89.                 e += 1
    , ~) c2 e( d  ], B  Q3 R  A
90. 
    / h, }4 _6 C2 j5 v. ~! {' o
91.                 result.append([u, v, w])3 l2 N, ~  T# |- F5 M
    
92. . O8 m, o1 ?- Y/ B. h* _2 Z% y8 P
    
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    . o) z# k- D6 U\" L% J6 f& L
94. 
    ) [0 Z; h! e: F& O- D
95. $ b2 m! ?/ Z, D; V2 ?
    
96. 8 {: b& u. ~/ ?; K& x2 X
    
97.         return result
    - @$ j: {+ @: q
98. / z7 f0 U1 B. [  I. V. h# a
    
99. 
    ! L+ o$ C! F5 {+ P\" Q. F0 y
100. 2 e7 J( I& w6 }# g# P
     
101. g = Graph(4)5 |, W1 M8 ?\" C# e2 L
     
102. 
     $ Z7 {' U  |+ e  X7 B5 ?8 v5 H
103. g.add_edge(0, 1, 10)
     ( Z  ^! Q) f5 z# W
104. 
     1 z- [\" w3 ?$ `2 ~! U
105. g.add_edge(0, 2, 6)  V. T9 z: l, T7 ?1 G8 [3 N& {8 G6 v
     
106. 
     5 O* c9 H5 I7 S7 O% ?' y0 u$ x
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     : c' a, F3 o% |6 ~7 `6 z9 ^
108. 
     2 {8 [7 C/ I$ H  f* ^) Z# V! b
109. g.add_edge(1, 3, 15)
     4 Z\" j! H\" [+ y4 T1 r6 ^  b
110. 
     / t3 T6 W3 u# X- z* N9 H, {% V
111. g.add_edge(2, 3, 4)
     & F: H7 u5 p' g! ~( N
112. 
     : }. p/ E3 M' i# V) q
113. 0 [4 C% w% w) Z, `1 [; N' ^. ]
     
114. - A* f- A  \9 b6 \# @# L  O
     
115. print("最小生成树的边:")
     2 x& E1 |7 B  p8 h
116. / D1 Y, c$ m: A5 p6 j4 W% w4 m
     
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。

) v6 F+ n; [/ Y# h  Y5 T
/ e* ~2 d7 f9 q# h' R/ R