Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
以下是Kruskal算法的简要概述：
: U) j1 {" |8 z. u
  p2 u: t3 e7 i, c5 D7 B5 C1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4 {$ z  u8 {. p4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
0 P8 r/ Q) h: u* C
以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:% W* v' e+ ]+ Q: `\" r
   
2. ! I0 j, Z/ d( A& e! J; @3 }3 N\" S
   
3.     def __init__(self, vertices):& [! ]& d, P' l8 o
   
4. 3 Q& v+ `6 F& ?7 `+ S' [4 D
   
5.         self.V = vertices
   $ l# }5 Z2 U/ T3 u
6. 
   2 o8 E% N$ `9 l7 m  U8 b0 a: d6 a\" b+ b0 T
7.         self.graph = []
   6 M- l' T, n0 p. G3 V) t9 G2 I
8. 
   ' J9 X7 k. ^\" m. ^3 A* w% ~\" L) W
9. 5 R$ N* z; U# Q% N; {
   
10.   ?! N1 Q8 |- g
    
11.     def add_edge(self, u, v, w):/ K: y' S' g) n8 ?% ?& j/ G
    
12. 
    % M( p) m$ ]( M1 K# v! v
13.         self.graph.append([u, v, w])8 k; I, x0 R8 d( d  ^) R
    
14. % Z2 L; P! B2 o
    
15. 2 ^9 @2 l$ S- P4 t. a
    
16. 
    9 O0 j2 Z/ ]4 i+ _& k# d2 n
17.     def find(self, parent, i):
    % g& C+ Z) x0 B\" e/ M1 s3 }
18.   s2 N: Y, I! B0 x4 {* K9 q
    
19.         if parent[i] == i:5 Z' ?! b% D/ |9 S. A( G0 Z7 t
    
20. 
    \" s0 y, y0 c/ X2 {# F# K7 u; m
21.             return i0 p8 i4 ]1 \* o+ D6 o+ y- W
    
22. ) h! E* f, I( B. q
    
23.         return self.find(parent, parent[i])
    # G* p5 M+ `0 \# m( R
24. 7 H! E9 y- p: c. w* Y2 t
    
25. ( s: @+ [& i; ]) L
    
26. 
      N: d( _' [3 [6 Q
27.     def union(self, parent, rank, x, y):/ @2 B5 D; @/ u- [% T$ c
    
28. . L5 O* {- I) H+ k* [
    
29.         x_root = self.find(parent, x)
    ; s( w4 O/ J2 X( w
30. 
    # }# A: a0 [& X
31.         y_root = self.find(parent, y)5 D* S6 q) J3 @+ D  o, t) w
    
32. 2 A  @) x# f+ Q* A5 t$ R
    
33. 
    6 }2 P/ K* W' I9 t( L  X7 h
34. : }\" y+ y/ x' _7 B% L; c2 h
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:
    & a* h7 k% O* J* {5 i
36. 
    5 q: {  W8 j# ]4 @' X; g
37.             parent[x_root] = y_root. O( w. ~/ i5 c
    
38. 
    - b. q) a\" n6 n* M/ b
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:
    : y: U0 L8 n. R; T. x
40. 2 x+ p# Z+ H7 G6 A
    
41.             parent[y_root] = x_root
    ( I; I& d; Y2 [) D1 H
42. & p) M, b5 p* Y3 r6 O. Q; J
    
43.         else:
    : B( `3 ^: q$ l4 r
44. 
      F. s6 `8 Y6 _: ~
45.             parent[y_root] = x_root+ Y2 [0 E$ C. B5 d
    
46. : v$ l, R( m* L* M4 g
    
47.             rank[x_root] += 1
    9 V  F  E- T; K- x7 b5 z
48. 
    ! E- z. P  z9 C
49. 
    8 \% L7 `) |) V) y4 P
50. 
    9 A3 Q0 q# W; g4 h
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):* F$ L$ M* t7 g% m4 {. U\" z
    
52.   ~5 V2 r1 L) [
    
53.         result = []
    , a. n  a1 Q- K3 ^$ X, S
54.   g2 k7 m+ ?: I4 z
    
55.         i, e = 0, 0# M* d8 F/ y- I4 ^
    
56. 
    ! i* @( {2 W. J  w$ a! B5 K
57. 
    ) B0 M4 N, x7 f) s! V2 D
58. ) O0 u: g: A7 U4 r4 F: V! `
    
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])
    6 |+ e! q3 M0 m- q
60. 4 d( S2 |- Y6 Y2 c/ a( h
    
61.         parent = []3 K1 m3 r0 _# K+ p( A( M
    
62. ) j! L4 x4 t\" b9 D2 }) E
    
63.         rank = []
    % y6 q# Z. [. `- q5 Q8 f1 ]) J
64. 
    % Q3 {3 o* v% ?7 z
65. \" s6 H: |& f6 b8 n( S, y* }
    
66. + \2 F+ f6 _+ p! m2 x* Y\" x5 }
    
67.         for node in range(self.V):
    6 s9 w7 G- [( |8 g, g
68. - _0 D- E. B2 C) Y$ d
    
69.             parent.append(node)5 H\" P# S( s) a* @. D- I- H
    
70. 
    4 }% l; r1 b# ]# p, K3 P8 `
71.             rank.append(0)& z6 O, \\" e# P/ W7 k- R- y7 N  ~- S
    
72. 
    ' g7 N7 a  }0 a9 f
73. 
    8 h( U( K7 V2 c% A0 Y6 z
74. 
    0 j: P, d1 E+ N- @6 l
75.         while e < self.V - 1:! h9 |; _* Y\" K0 a9 w6 y
    
76. ! t/ O! P) Y, y7 E
    
77.             u, v, w = self.graph[i]
    * n% T$ K; X2 j
78. 
    ! ?+ k+ K/ C' y; D
79.             i += 1
    8 C\" R' ]! h\" l% A( i6 E' N( ~
80. 6 ~5 g$ @- ?, U' Y1 m& Z' }2 O! b
    
81.             x = self.find(parent, u)& N1 M8 e1 z7 T4 b+ @
    
82. ! z% \. i1 T. I% \0 M! M
    
83.             y = self.find(parent, v)
    0 t% M1 X: `9 l/ D& q) S4 T
84. 
    \" l& A$ F! N1 i: F
85. 
    & e- X7 S& j2 A& M
86. , Z# ?2 q7 K% C& G! d7 z. V
    
87.             if x != y:
    $ `& [9 w4 j; @0 W$ l
88. ) v. i\" k/ X5 y
    
89.                 e += 11 a) ?7 u& w) L' x
    
90. 
    - D6 W7 F( _0 o7 Z
91.                 result.append([u, v, w])3 Q; r3 y9 g5 ~% ?( n* y
    
92. 
    \" P8 r% _  C/ @6 G7 h
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    5 z! B. T5 v* a: A! G! n9 ]
94. 
    ; `6 O9 A$ n, I5 z: d' Q3 h
95. 
    9 I3 P- w7 S5 F+ w! W& |: b( ^
96. 
    / Q- E; T9 _2 p' F( N- F) a: W
97.         return result
    1 M1 b! A* `' E( y+ s; j
98. 
    , G% T3 u, b7 i$ Y  G
99. 9 e8 b1 [5 W2 Z
    
100. 
     ; Y! v) A8 P* V+ N; D! n8 p9 ]7 ?
101. g = Graph(4): R0 P2 Q! x; h  P. v
     
102. 
     + x2 x  h9 E% e' \, n
103. g.add_edge(0, 1, 10)
     3 d$ r  s  b7 q3 z
104. 
       t/ J. B/ f0 B: m
105. g.add_edge(0, 2, 6)5 b& Q1 \, L+ T\" m; ?/ a& m% o
     
106. 
     / {  a2 d0 E+ _$ J; j7 c
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     + G$ U  C7 X  M6 b
108.   M5 |! V  e. i+ n+ O& {
     
109. g.add_edge(1, 3, 15)2 @! X4 _6 k( P  b
     
110. & P. q+ I. y! X\" i, w# f
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)
     7 d* M: R& V3 N5 g
112. $ a2 [* k$ ^/ C, Z; R  p
     
113. ! K\" [  U. ^& G$ L
     
114. 3 n1 U  E' X8 Q  J5 e
     
115. print("最小生成树的边:")
     ' a3 C% K- k, \5 \4 Q0 W1 L
116. 
     : S% C; E5 C\" R# q
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。

" M8 I1 Z& l  a2 A' o5 E, O