Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
  L! _8 k. P. J# z, ~以下是Kruskal算法的简要概述：

1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
/ d) L# }5 b/ o6 l/ w3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
( L4 A9 d9 z# ^' X4 B5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:5 y) l$ i+ S' K. l% j' a
   
2. 7 S  V- k. h/ Q
   
3.     def __init__(self, vertices):5 ~0 v' m5 R4 Z, {
   
4. , c8 T/ K  `3 ~
   
5.         self.V = vertices
   : {6 j# m8 I% Q8 x* k9 ^
6. 5 B' b) W5 L4 W5 u( u
   
7.         self.graph = []
   8 F! i5 N; i3 f$ @, a
8. % y9 b0 x# P  V* c\" y8 y
   
9. ' Q% K2 B\" j' R$ n$ c
   
10. 
    3 t* {7 j2 P; M8 X2 A
11.     def add_edge(self, u, v, w):  J' a: ^5 q* v+ B1 n
    
12. % m3 ^3 [  `# v
    
13.         self.graph.append([u, v, w])% z0 [& {0 }: n. n  A
    
14. ) m. L0 b9 M  u6 C1 h
    
15. 
    : f! Y0 h% v- ?) C; m3 e
16. 8 i& L, m  N$ E1 t  z
    
17.     def find(self, parent, i):
    - }- A/ E0 e9 w, _7 A1 O. n) z2 b( M6 P
18. 5 s% q. d; A% S- f9 k
    
19.         if parent[i] == i:1 O: i! q. [; Z
    
20. 
    3 O& m1 _- S! l* ?; Z
21.             return i
    + E  R1 H# }/ i8 \' e  o) \+ y: F& E
22. * ]7 n( d& Z% V2 ~7 i( W2 n
    
23.         return self.find(parent, parent[i])
    8 A/ ^; R' r8 T
24. 
    1 o3 W1 V, \- e+ y3 g
25. 0 m+ ^/ j( ~+ z4 r, B4 c# F! J
    
26. 
    , k6 m9 r! ~5 b. Q! b, x; a
27.     def union(self, parent, rank, x, y):- M/ g# a  F4 G* }# B
    
28. 
    8 a8 M4 r3 W  [7 N0 R
29.         x_root = self.find(parent, x)
    : K, {3 K. d& V  E2 Q% B
30. 2 u7 l3 e* }4 g( @: P# B9 x  b( X  E
    
31.         y_root = self.find(parent, y)\" U- R7 l# P- ]0 ^) i6 ^. r
    
32. 
    : h* n8 U. Z) {; D# f- q. S% J
33. 
    / Q) {3 o) S% U2 g* [, h% |
34. ' d/ [2 s+ _2 }
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:
    & l/ d0 u: b8 Z\" V, Z8 E* U
36. 
    ; L8 L/ E/ {' s! h# L$ T1 e
37.             parent[x_root] = y_root# G5 C1 K1 u\" e% u
    
38. 8 j. v; T/ a- S, M1 O
    
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:
    ) z6 P  r& g0 O% l1 o# A4 y
40. 4 B# G/ p1 \: x8 A% i1 U0 |* M; j\" I
    
41.             parent[y_root] = x_root
    ) @1 p- Z\" \: z) X0 s\" d3 m\" v# a
42. 
    / R  U4 a& z2 y6 D  O: G
43.         else:
    ) n7 e6 p! y2 _8 `5 ]$ G* B  K
44. 2 M; d  v5 }( D% \) ^4 K0 x
    
45.             parent[y_root] = x_root
    $ L9 l4 o# Y* [0 f1 ?# n
46. ( C; M9 P/ F: B3 S% z2 y
    
47.             rank[x_root] += 1
    + S) L3 F+ {2 v9 z
48. 
    ) p8 _1 c2 b9 C* C  x
49. 
    2 V4 \' w7 p! {. h
50. 
    8 w! {2 f' I' }2 s; i5 B0 H& X# V$ \
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    # u6 i! i5 ?5 P( ^) F1 w& c
52. / ?5 z2 u9 V7 f
    
53.         result = []
    0 p  T# t. m8 u1 S+ H: W
54. 
    5 u1 `7 E2 g& e. ]
55.         i, e = 0, 0
    1 Q4 d- ^0 @$ C* ?
56. # S( B! O- F% Q, c
    
57. 9 g, U9 s, J6 r( Y7 h
    
58.   X$ y! ]# ]/ j8 {! M7 x; e& N
    
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])7 L  }$ k9 Y0 U. W6 h
    
60. ' F) S) c$ U' r2 W
    
61.         parent = []( {& D6 e( ~9 u3 n. m- f  d$ r* E- W# x
    
62. ! q1 r, v: l! s% {% P
    
63.         rank = []+ A4 S\" a& X; j5 Y  V
    
64. * p5 o8 {/ R  }  A
    
65. 
    ) d6 e- @5 t9 S$ N$ K
66. 
    , I3 g/ `( V9 Q7 z0 N5 k
67.         for node in range(self.V):. K- [# ^2 q) v6 {6 U
    
68. 5 L. F. `) P1 _+ v9 l* p
    
69.             parent.append(node)5 Z6 |# z! Y4 j  v3 [& _0 y6 h
    
70. 3 _9 U5 E, X- k; l
    
71.             rank.append(0)( J7 U: O1 F- d\" J
    
72. - B% W9 p/ z2 [\" o+ c/ f% A
    
73. 
    ; c' b( a7 j4 p: D2 k
74. 
    % i3 w7 Y0 @9 S% q, _
75.         while e < self.V - 1:. H' W% s# V3 `6 _  \
    
76. 
    , Q2 u  @7 K. g9 [) m  i9 g+ z: `
77.             u, v, w = self.graph[i]
    2 f# E3 r- |! a1 y0 w% N
78. & Z: B! t! s  ~: G
    
79.             i += 1
    ) \+ f& Q( P$ R
80. 7 O5 O/ G1 _4 D3 J# e
    
81.             x = self.find(parent, u)1 N4 g5 |% a6 Y! L8 x1 U  d: o0 ~
    
82. 
    - V8 C9 i7 h3 ]\" z7 L' k
83.             y = self.find(parent, v)3 w; c3 ]% S; i/ T0 k5 {( z
    
84. # S- g2 |& X/ I5 S0 C
    
85. 
    \" O- @. x4 C( K% H( c4 `' H
86. 
    * Z6 g) h& T1 s1 ^6 |! f3 k
87.             if x != y:: ^- Z' P9 C6 p0 e; R0 Y
    
88. 
    % a. b$ P9 C/ i# }& J
89.                 e += 1
      s7 {, L+ W$ ?- h  u
90. 
    * E/ X: |; W/ i% I
91.                 result.append([u, v, w])
    ( v' P' m; x! F; t6 Q% j6 Z
92. 6 T0 o# E; k. L\" c
    
93.                 self.union(parent, rank, x, y)4 Z- c; a& E) ?1 R
    
94. 
    . }* O' ^5 p6 v% H( ?! H. V1 L8 B( \
95. 
    : x9 O8 d) Y. _( ?( [
96. ! m0 Z; c\" w- p( Q* |3 r
    
97.         return result
    ' L2 U; X8 s/ O6 j
98. ( k- u- l, a) u# g7 `; p\" g
    
99. 
    0 I\" c/ Z; g6 W+ {2 a8 g
100. 1 h& j( s6 I2 ~  v; @. g* s( u
     
101. g = Graph(4)% J) j5 M5 V8 t
     
102. , w' G. Y6 |- ?) z! ?) w# Y
     
103. g.add_edge(0, 1, 10)) o/ @3 I0 V4 U2 N5 d8 P4 z
     
104. 
     , d7 J2 M: [) _, G. W
105. g.add_edge(0, 2, 6)9 `9 E/ N- s6 L
     
106. ; [, ~( ]* N6 S
     
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     ) V8 {) K& B4 j3 k! X+ ?  K, `
108. % Y, K0 q4 W5 R  d- l
     
109. g.add_edge(1, 3, 15)
     - C% w$ N3 m  n0 c
110. 
     . k. D6 x( \- y: ]9 v
111. g.add_edge(2, 3, 4)5 s7 n( a% @. k0 G8 ~+ P2 K- u! T7 F
     
112. 
     ( q# l, ?6 U. K: L+ R2 Y7 Q. X\" y
113. : C+ W: L: R( Z  r
     
114. 
     3 f- d- |4 y1 v$ B+ z$ A$ x8 S
115. print("最小生成树的边:")! A; ^3 x# k+ Z
     
116. 
     * z7 O\" f. P5 R: c
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
# k- T* L! w, r% u6 V, `2 E0 f
: V  I9 _. e, P1 u
# z  y2 h' g9 _7 s