割平面法

2744557306

## 割平面法

割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。它通过不断地添加新的约束条件（割平面）来逐步逼近整数最优解。
0 _% M! X  M7 ?* `
, L! O  i: M5 P+ p' W4 F**步骤:**

/ {$ ?' i4 l; d. v5 I% e1. **求解线性松弛问题:** 将整数规划问题中的整数约束条件放松，得到一个线性规划问题，并求解其最优解。
: @9 W  b  i8 L2. **判断整数解:** 如果线性松弛问题的最优解已经是整数解，则该解也是整数规划问题的最优解。
3. **添加割平面:** 如果线性松弛问题的最优解不是整数解，则需要添加一个割平面，将当前最优解排除，并迫使算法寻找新的整数解。
4. **更新线性松弛问题:** 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
5. **重复步骤 2-4:** 直到找到整数最优解。

8 G; ^0 C5 M( y  p* t**割平面的构造:**

/ j, A1 i! I0 X0 W) d8 g2 U6 y割平面的构造方法有很多，常用的方法包括：
1 u: L1 s4 |( X( u
- **Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的最优解的非整数分量，构造一个割平面，将当前最优解排除。
- **Chvátal-Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的约束条件，构造一个割平面，将当前最优解排除。

! i: `& n* I0 f' [# M8 V**示例:**
( E. e5 z5 {' U* I
; d  a& L) @  h( m3 B**问题:**

```
最大化 Z = 3x1 + 2x2
约束条件:
x1 + x2 <= 4
, l/ b' H6 o& A9 V% m$ J) C4 h" r2x1 + x2 <= 6
: k  c, O. O: h& _4 u" ]8 Qx1, x2 >= 0
x1, x2 为整数
: b0 m% h3 a3 u0 m```
, q( l; |8 q% Y& }, j
**步骤:**
. |, C) ?2 k9 X: O1 ]  e4 H& L. H
& S& ?; ]* [) d" H; F1. **求解线性松弛问题:**
    - 线性松弛问题的最优解为 x1 = 2, x2 = 2, Z = 10。
6 z) m; i  w3 Z6 y3 m3 {
: E3 n- _) ~/ D  U" A" Y2. **判断整数解:**
" {0 H" X, ~8 U1 u    - 最优解不是整数解。
" y) S2 A/ H, s$ \2 L+ Y/ c1 w
3. **添加割平面:**
4 T+ A# q1 ~3 }. T; h. m3 m( o    - 使用 Gomory 割平面方法，构造割平面: x1 + x2 <= 3。

4. **更新线性松弛问题:**
    - 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
    - 新的线性松弛问题的最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。

6 w# U. V( G# c  e* q% X! D5. **重复步骤 2-4:**
    - 最优解仍然不是整数解，需要继续添加割平面。
    - 最终找到整数最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。

**总结:**
4 y( _8 T! J: r8 L, x
割平面法是一种有效求解整数规划问题的算法，它通过不断地添加割平面来逼近整数最优解。但是，割平面法的计算量可能很大，尤其对于大型问题，需要使用计算机程序来进行求解。


7 @- `$ ^/ k- C* G) D8 q0 W

9 B0 r7 ~* K2 h# ^9 f) P3 \2 e
. h8 W  L  t' G" i9 q