割平面法

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## 割平面法
0 [( I) k7 x: v3 x
割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。它通过不断地添加新的约束条件（割平面）来逐步逼近整数最优解。
, |0 U* y% L' w! l6 Z# E
**步骤:**
1 f* |6 w4 t% t' j6 B# M" e
! a  H* r$ ]0 T4 A  z0 z: P1. **求解线性松弛问题:** 将整数规划问题中的整数约束条件放松，得到一个线性规划问题，并求解其最优解。
2. **判断整数解:** 如果线性松弛问题的最优解已经是整数解，则该解也是整数规划问题的最优解。
1 T& d% c8 o" Z% y3. **添加割平面:** 如果线性松弛问题的最优解不是整数解，则需要添加一个割平面，将当前最优解排除，并迫使算法寻找新的整数解。
" ?, H5 |: B1 a1 L. @0 d4. **更新线性松弛问题:** 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
& }. c* ]; Q+ ~5. **重复步骤 2-4:** 直到找到整数最优解。

3 t$ q1 D8 `+ ~8 X! S**割平面的构造:**
3 s' A: G: }! P1 I
割平面的构造方法有很多，常用的方法包括：
: x0 T( A9 ^% f: i8 F6 H5 _7 ~* s, _
( b6 n. e/ ~% {5 ]- **Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的最优解的非整数分量，构造一个割平面，将当前最优解排除。
- **Chvátal-Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的约束条件，构造一个割平面，将当前最优解排除。

**示例:**
0 H2 S( u. |% M  d0 J$ _
**问题:**
+ e0 P# ]( C: G  B4 H: p# Y* P% n2 O
0 f6 x* U% W2 G( o```
  c: O0 h$ v' D, H1 T9 r最大化 Z = 3x1 + 2x2
约束条件:
x1 + x2 <= 4
2x1 + x2 <= 6
x1, x2 >= 0
5 H, R" u0 E7 ?* @x1, x2 为整数
& l. O* C+ O& y7 J3 K```

3 d/ V8 p- O" R% b  x! R**步骤:**
% T: y3 F; n3 c  y
/ S8 U  s7 Q& x% w9 y1. **求解线性松弛问题:**
    - 线性松弛问题的最优解为 x1 = 2, x2 = 2, Z = 10。

% R( `0 y3 @6 M, S8 V2. **判断整数解:**
    - 最优解不是整数解。
6 H1 o, `! U; n1 ?4 f! Y3 S
3. **添加割平面:**
# x: `, L6 d. ]5 R    - 使用 Gomory 割平面方法，构造割平面: x1 + x2 <= 3。
& f& d7 i1 T  n4 U
9 ^! y7 U9 V5 s' }  d7 t% @4. **更新线性松弛问题:**
6 q7 s, t0 v' J/ @- S: c4 F    - 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
    - 新的线性松弛问题的最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。

5. **重复步骤 2-4:**
    - 最优解仍然不是整数解，需要继续添加割平面。
    - 最终找到整数最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。
! O/ R" p& k  m* C- k
**总结:**

割平面法是一种有效求解整数规划问题的算法，它通过不断地添加割平面来逼近整数最优解。但是，割平面法的计算量可能很大，尤其对于大型问题，需要使用计算机程序来进行求解。
2 h5 S0 p) k9 u7 F! C- T2 ^
5 M0 \$ ~( f" c% @* i2 s5 Q

+ z, ?1 S  z$ N5 @  Z4 a6 T
4 U; t. }" [! Y$ D( x- x
0 \9 P% L/ V, y