割平面法

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## 割平面法

割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。它通过不断地添加新的约束条件（割平面）来逐步逼近整数最优解。
0 Y" C: S4 W7 D* I7 `
**步骤:**

. R; P  i* C6 y1. **求解线性松弛问题:** 将整数规划问题中的整数约束条件放松，得到一个线性规划问题，并求解其最优解。
$ H" M" m6 A' E, [: c! Y' ~% [2. **判断整数解:** 如果线性松弛问题的最优解已经是整数解，则该解也是整数规划问题的最优解。
3. **添加割平面:** 如果线性松弛问题的最优解不是整数解，则需要添加一个割平面，将当前最优解排除，并迫使算法寻找新的整数解。
4. **更新线性松弛问题:** 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
4 l0 r' r, d- E( B! e6 g5. **重复步骤 2-4:** 直到找到整数最优解。

**割平面的构造:**
: v  k  i/ ]0 _, |! A
% v+ M% |. L% I割平面的构造方法有很多，常用的方法包括：

& o+ I% z9 n- K- r) _# m. h- **Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的最优解的非整数分量，构造一个割平面，将当前最优解排除。
9 _* T" P0 e! r8 s7 j- **Chvátal-Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的约束条件，构造一个割平面，将当前最优解排除。
# K- @3 t$ c. J- w% s
**示例:**
) n/ U- O3 \9 e4 e! [
**问题:**
9 Z( r. G6 Q3 s! J# V& A8 l
3 I1 Y( ], A, b: z5 ?```
最大化 Z = 3x1 + 2x2
: B" O- ~7 {9 `, D+ c约束条件:
x1 + x2 <= 4
' c3 z! X0 j4 [; |2x1 + x2 <= 6
4 N$ f( b9 S  c' Lx1, x2 >= 0
x1, x2 为整数
" I: f3 ]8 [% T% P) s) i$ E8 p```
6 D4 B) l% A+ G& e' W' b
  i& E2 A% i! k1 f# R7 H4 O7 a**步骤:**
) N- K; R$ T) F3 N; l0 [
1. **求解线性松弛问题:**
: w1 |  ~5 h; d, [: R$ G    - 线性松弛问题的最优解为 x1 = 2, x2 = 2, Z = 10。

/ ^8 K$ l) o4 Z- ?: v1 v9 n- @) z2. **判断整数解:**
0 ]& |& f! ]5 q5 z9 {, @8 l7 L    - 最优解不是整数解。

/ O: p0 Y+ h. P" k. ]1 G6 P3. **添加割平面:**
6 V1 G' d# v* P: ^- r# N    - 使用 Gomory 割平面方法，构造割平面: x1 + x2 <= 3。
) j- q; ?8 w: u. c" r
, T% Q( |# S2 |1 i4. **更新线性松弛问题:**
) M8 N. c9 Z0 i+ ]4 ?+ [    - 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
    - 新的线性松弛问题的最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。
: I. m- ^, z( d. n9 v  G
0 Q$ ?) V$ X% e* G: K6 V5 G. r5. **重复步骤 2-4:**
    - 最优解仍然不是整数解，需要继续添加割平面。
    - 最终找到整数最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。

9 Z# d' K. x# q**总结:**

割平面法是一种有效求解整数规划问题的算法，它通过不断地添加割平面来逼近整数最优解。但是，割平面法的计算量可能很大，尤其对于大型问题，需要使用计算机程序来进行求解。
. R, X0 ]# `7 S- Q/ i# S7 z# w1 ]
4 {+ k$ I: O7 n



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