割平面法

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## 割平面法

/ \" w# s( {* n. ^+ g5 H割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。它通过不断地添加新的约束条件（割平面）来逐步逼近整数最优解。
& F, Z- U( I( |1 [
**步骤:**

! ]" X7 n( n" @1. **求解线性松弛问题:** 将整数规划问题中的整数约束条件放松，得到一个线性规划问题，并求解其最优解。
2. **判断整数解:** 如果线性松弛问题的最优解已经是整数解，则该解也是整数规划问题的最优解。
3. **添加割平面:** 如果线性松弛问题的最优解不是整数解，则需要添加一个割平面，将当前最优解排除，并迫使算法寻找新的整数解。
5 n$ Y7 g  B7 a1 X4. **更新线性松弛问题:** 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
5. **重复步骤 2-4:** 直到找到整数最优解。
  o* g6 Q5 E/ t8 _4 T' d- k
( m3 k$ D9 f2 S: y4 O- K( S, X8 k**割平面的构造:**
5 H( H* o5 b5 B. b
0 H, P  U$ S3 q9 W0 T% f割平面的构造方法有很多，常用的方法包括：
) x8 h4 ^: K$ O- q3 ^  c+ F9 |% c4 g
/ ~  U) a3 G: G+ {9 m, y; ^- **Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的最优解的非整数分量，构造一个割平面，将当前最优解排除。
7 Q. N9 `& z" Q6 W/ n1 A" Y  r- **Chvátal-Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的约束条件，构造一个割平面，将当前最优解排除。
) V8 r9 P& I! w, D9 B9 Y
. i: `6 y$ n5 g) u**示例:**

2 ^0 S! F3 g# r# \* s**问题:**

) ]7 \4 p, q1 S& B6 a0 x# _5 u```
最大化 Z = 3x1 + 2x2
( Y" ^( ]6 L8 v  M; o' z+ z约束条件:
x1 + x2 <= 4
2x1 + x2 <= 6
x1, x2 >= 0
x1, x2 为整数
2 r. k" U" }5 [" R6 E0 U```
! i7 v. s$ ?' S8 m# m3 C
**步骤:**

: n1 x: Y3 ~+ Q1. **求解线性松弛问题:**
    - 线性松弛问题的最优解为 x1 = 2, x2 = 2, Z = 10。

2. **判断整数解:**
. N3 v1 O" u/ U8 i6 Z    - 最优解不是整数解。
9 E3 g0 V& c7 x8 |$ M
  S  J" q/ ]) n! Z  ~" e( F3. **添加割平面:**
    - 使用 Gomory 割平面方法，构造割平面: x1 + x2 <= 3。

4. **更新线性松弛问题:**
    - 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
    - 新的线性松弛问题的最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。
& }1 T5 o& K! ]) n/ w
) Q. [3 e0 w: @! e* Q8 d5. **重复步骤 2-4:**
3 \0 t' {1 g8 G    - 最优解仍然不是整数解，需要继续添加割平面。
3 h. R2 F$ C' l9 ~. p2 ?; ~    - 最终找到整数最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。
  z  l$ t' E+ G# \0 G/ G
**总结:**
7 u6 l$ D- J& w
割平面法是一种有效求解整数规划问题的算法，它通过不断地添加割平面来逼近整数最优解。但是，割平面法的计算量可能很大，尤其对于大型问题，需要使用计算机程序来进行求解。
' ~5 o6 c/ [3 [# ^8 f

3 R2 c5 X1 _& z9 b* o, e7 Z


' N3 T3 b+ J1 v/ M4 P8 y, T1 W