割平面法

2744557306

## 割平面法

割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。它通过不断地添加新的约束条件（割平面）来逐步逼近整数最优解。
2 f$ Y+ ]0 |8 j1 \7 w5 F
**步骤:**

* _; {' x: ~3 t! ~4 M" [! p  I1. **求解线性松弛问题:** 将整数规划问题中的整数约束条件放松，得到一个线性规划问题，并求解其最优解。
2. **判断整数解:** 如果线性松弛问题的最优解已经是整数解，则该解也是整数规划问题的最优解。
3. **添加割平面:** 如果线性松弛问题的最优解不是整数解，则需要添加一个割平面，将当前最优解排除，并迫使算法寻找新的整数解。
& ~; ]6 Z! u+ e5 U  [+ F1 I$ a4. **更新线性松弛问题:** 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
5. **重复步骤 2-4:** 直到找到整数最优解。

. @  ^- c+ ^! A* G. ~/ S% C**割平面的构造:**

: U; \/ W2 Z, o3 w; n割平面的构造方法有很多，常用的方法包括：

- **Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的最优解的非整数分量，构造一个割平面，将当前最优解排除。
; ~' A. G* ^- o: I8 F. S7 l7 o- **Chvátal-Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的约束条件，构造一个割平面，将当前最优解排除。
+ t, \. A6 Y( x6 }* N% B6 o
+ z0 b# b/ S) |$ J, X8 `**示例:**
8 v2 w5 h' h& d8 u; \( k
1 k' _+ ~- X9 G2 ^**问题:**

```
最大化 Z = 3x1 + 2x2
( O0 t, J" C/ c, u2 @+ @* Q) o6 t约束条件:
x1 + x2 <= 4
2x1 + x2 <= 6
x1, x2 >= 0
3 S. X" e8 O, U6 ^! U9 y  t, sx1, x2 为整数
# o; r/ [8 A# x1 L" L( V3 T, O& G: n```

**步骤:**

1. **求解线性松弛问题:**
    - 线性松弛问题的最优解为 x1 = 2, x2 = 2, Z = 10。

2. **判断整数解:**
8 `4 y% \% t6 O8 P# |3 V    - 最优解不是整数解。
0 `8 K: o2 Z1 y3 z, o+ D
3. **添加割平面:**
; i% U+ u# u- c0 ?7 e    - 使用 Gomory 割平面方法，构造割平面: x1 + x2 <= 3。
" r* [' ^6 R2 W0 j4 F
4 ]: ]& ^0 N" o4. **更新线性松弛问题:**
    - 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
: X% Q, \) B! \0 |    - 新的线性松弛问题的最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。
+ ^5 m' A, J. J7 J1 p6 |" ]' c
5. **重复步骤 2-4:**
    - 最优解仍然不是整数解，需要继续添加割平面。
$ B. Z, W- `' J# {- V5 ?    - 最终找到整数最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。
5 l5 p. v, X- l8 F
**总结:**
6 P' @) ]: }7 j/ }& a) `
割平面法是一种有效求解整数规划问题的算法，它通过不断地添加割平面来逼近整数最优解。但是，割平面法的计算量可能很大，尤其对于大型问题，需要使用计算机程序来进行求解。


8 z" [* U! y# Z% R


1 K8 t; r2 X" K- N; |2 Q