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matlab 比较两种不同顺序的积分结果

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发表于 2024-8-27 09:59 |只看该作者 |倒序浏览
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  1. syms x y z; f0=-4*z*exp(-x^2*y-z^2)*(cos(x^2*y)-10*cos(x^2*y)*y*x^2+.../ v1 X) q+ L( Z\" V\" h6 v0 a
  2.     4*sin(x^2*y)*x^4*y^2+4*cos(x^2*y)*x^4*y^2-sin(x^2*y));, ]/ O3 {7 a+ S7 Z
  3. f1=int(f0,z); f1=int(f1,y); f1=int(f1,x); f1=simple(int(f1,x))4 Q% B2 G; H; i1 G- a

  4. : a5 ]8 ]( U0 u$ v' @$ u0 \4 b
  5. f2=int(f0,z); f2=int(f2,x); f2=int(f2,x); f2=simple(int(f2,y))
    ) k3 ^4 q. a7 n- @6 S8 k

  6. ! Q\" o1 o' \% X
  7. simple(f1-f2)
复制代码
这段 MATLAB 代码涉及到符号积分的计算,并比较两种不同顺序的积分结果。以下是每一步的详细解释:2 e' x3 u! @! e7 Y$ B3 I

, n. v3 W0 T9 E. U: I' V+ g### 代码解释
6 O- g& h  j7 N
9 l# P) |6 l% R& D! q, l( [: G; S1. **定义符号变量**:  A6 D! S' Y7 e$ H) ^. C, B
   ```matlab% z3 X! K8 {* ^  u' ~
   syms x y z;
( \. I4 q" z4 E! |0 D   ```. R7 D4 a8 m' Q: g+ Z7 c0 A) A9 s
   - 使用 `syms` 命令定义符号变量 `x`、`y` 和 `z`,以便于进行符号计算和建立数学表达式。' X$ i! U/ y# E
" t/ t$ _0 j# S" Z: s
2. **定义函数 f0**:2 m+ _+ K: C8 ^1 v7 s2 `1 M5 Y
   ```matlab7 `# F) y5 ]+ [! u) y7 i; K( ~- N
   f0 = -4*z*exp(-x^2*y - z^2) * (cos(x^2*y) - 10*cos(x^2*y)*y*x^2 + ...
' V& k$ ~) R" C9 o0 h- ^       4*sin(x^2*y)*x^4*y^2 + 4*cos(x^2*y)*x^4*y^2 - sin(x^2*y));
: r+ u" E' A4 Q- g5 X   ```
+ |) {1 O* o& X- \   - 这里定义了一个复杂的函数 \( f_0 \),它是以 `x`、`y` 和 `z` 为变量的复合函数。这个函数包含了指数函数、三角函数以及多项式的组合。
9 c2 F7 n3 f$ `7 Z( e3 m6 y: z* Y) u, O5 ^  `
3. **计算积分 f1**:9 v3 P% Y" L5 G  r
   ```matlab: V" E& X% `& w: Q7 A' ~$ s
   f1 = int(f0, z);  % 对 f0 进行 z 积分
6 [% N, N3 I! d8 J  X! K& h5 O% O   f1 = int(f1, y);  % 对 f1 进行 y 积分7 m9 \* P+ S) c* q( g4 _7 N# m
   f1 = int(f1, x);  % 对 f1 进行 x 积分' ^" N% L9 O3 X% h# q" X6 o
   f1 = simple(int(f1, x));  % 对 f1 进行一次 x 积分并简化
  [; I; M& E& ~, l0 g9 o5 w" t  O   ```1 j8 U. v5 n3 S2 d
   - 第一行计算 \( f_0 \) 关于 `z` 的不定积分,得到 \( f_1 \)。9 ]. m( f; _5 a6 m9 S5 d5 }
   - 第二行计算 \( f_1 \) 关于 `y` 的不定积分,又得到一个新的表达式。
- e  N2 K' {8 D/ `+ G/ {% F   - 第三行将该表达式关于 `x` 积分,再次得到一个新的表达式。  A3 u% x  ^- h
   - 最后,进行第二次关于 `x` 的积分,并使用 `simple` 函数简化表达式。
( V" W/ m2 f5 a1 ^: a4 `5 i
  P+ ~' {' F+ X4. **计算积分 f2**:: u& z6 I" s2 [$ B6 W4 ~0 {$ c. j
   ```matlab
# B3 f9 S! A( ^. A! c   f2 = int(f0, z);  % 对 f0 进行 z 积分
7 @! I8 y( W3 J2 t3 x' o0 d   f2 = int(f2, x);  % 对 f2 进行 x 积分
2 h: Z9 x6 [; f/ E9 h9 O9 q' ~   f2 = int(f2, x);  % 再次对 f2 进行 x 积分
  [9 ?1 x- J7 |: P   f2 = simple(int(f2, y));  % 对 f2 进行 y 积分并简化+ t% [1 |7 s) w" f$ r- G+ i) [0 d
   ```
! T* v& |! {- s% y2 P9 j, A- t! i   - 类似于之前的过程,这里对 \( f_0 \) 先进行 `z` 积分,然后是 `x` 的两次积分,最后对 `y` 的积分,并简化结果。
( \) H# l% U$ K0 C- U, u
, N. |* N, t( t: D- T5. **比较两个积分结果**:7 _- K) F$ R: j+ o
   ```matlab) {% l- p/ ~- |5 B( p
   simple(f1 - f2);
7 z# k$ R6 S' F   ```
# B) U3 }: q* L# y) d2 `   - 这行代码计算 \( f_1 \) 和 \( f_2 \) 的差,并使用 `simple` 函数来简化结果。
/ k) J0 v( N6 e! J5 v5 E1 P   - 目的是验证两种积分顺序下的结果是否相同。若结果为零,则两种积分结果相等。" S6 g' J* |/ r# q! k  z  M

6 J2 J  E9 P0 O- f- F3 s* R" z' l### 知识点总结
! P/ f& ], c7 Q4 U, N/ s- o* A
4 v0 l8 ?3 n$ A1 w% W1 l; o
9 @) f# K. G8 C, s* k- Q8 L7 r- |' O; D7 N7 S
2. **不定积分**:
4 }  I/ O' G, \0 y$ W& R4 \9 H   - 这里使用 `int` 函数计算不定积分,非常适合处理多变数和复杂函数。
1 ~0 R4 |) h! q; G! X
. _1 t; _% C" m! S. a; z% ~3. **数学中瑞士顺序定理**:
* w" r' F/ a" d. h. f: L   - 计算多重积分时,通常可以改变积分的顺序而得到相同的结果(在某些条件下)。在这种情况下,检查 \( f_1 \) 和 \( f_2 \) 是否相等,可以理解为在积分过程中应用了这个理论。
" L# L! O6 c5 S. A; n+ F" K) l: V3 _% j% k. s
4. **函数简化**:6 m. L9 B6 k/ Z" f
   - `simple` 函数用于简化复杂的数学表达式,使输出更加可读。这在结果比较和进一步分析中非常有用。
& {! q7 q5 ?. p* E
& A, J/ l) ~) c# z' m; L2 _. |3 U### 结论1 @/ L8 E, o! \2 n. C

* X' a& f3 E7 |* y7 T! [  J整段代码展示了如何在 MATLAB 中进行多重积分的计算和比较,分析了积分顺序对于最终结果的影响。通过使用符号计算和多重积分,取得的结果能够帮助我们深入理解多变量函数的行为特征,这在数学、物理和工程等领域是非常重要的。/ o1 ~, x6 S' }2 y' s+ N

# U! f4 z0 Z2 ?5 g6 ~. b2 b, \6 J  U1 P! S' l! F$ U

& D2 O* |* h5 a: l' c

examp3_15.m

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