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matlab 比较两种不同顺序的积分结果

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发表于 2024-8-27 09:59 |只看该作者 |倒序浏览

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syms x y z; f0=-4*z*exp(-x^2*y-z^2)*(cos(x^2*y)-10*cos(x^2*y)*y*x^2+...( G+ _- W' @# D) b: t; V3 W
4*sin(x^2*y)*x^4*y^2+4*cos(x^2*y)*x^4*y^2-sin(x^2*y));4 C( N2 ]3 Y( h; S: G
f1=int(f0,z); f1=int(f1,y); f1=int(f1,x); f1=simple(int(f1,x))
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f2=int(f0,z); f2=int(f2,x); f2=int(f2,x); f2=simple(int(f2,y))
4 z( O2 Z6 U\" S) u. V0 p' v
$ Z# k d, i4 W) x a6 |
simple(f1-f2)

复制代码

这段 MATLAB 代码涉及到符号积分的计算，并比较两种不同顺序的积分结果。以下是每一步的详细解释：

### 代码解释

1. **定义符号变量**：
```matlab
syms x y z;
```
- 使用 `syms` 命令定义符号变量 `x`、`y` 和 `z`，以便于进行符号计算和建立数学表达式。

2. **定义函数 f0**：
```matlab
f0 = -4*z*exp(-x^2*y - z^2) * (cos(x^2*y) - 10*cos(x^2*y)*y*x^2 + ...
   4*sin(x^2*y)*x^4*y^2 + 4*cos(x^2*y)*x^4*y^2 - sin(x^2*y));
```
- 这里定义了一个复杂的函数 $ f_0 $，它是以 `x`、`y` 和 `z` 为变量的复合函数。这个函数包含了指数函数、三角函数以及多项式的组合。

3. **计算积分 f1**：
```matlab
f1 = int(f0, z);  % 对 f0 进行 z 积分
f1 = int(f1, y);  % 对 f1 进行 y 积分
f1 = int(f1, x);  % 对 f1 进行 x 积分
f1 = simple(int(f1, x));  % 对 f1 进行一次 x 积分并简化
```
- 第一行计算 $ f_0 $ 关于 `z` 的不定积分，得到 $ f_1 $。
- 第二行计算 $ f_1 $ 关于 `y` 的不定积分，又得到一个新的表达式。
- 第三行将该表达式关于 `x` 积分，再次得到一个新的表达式。
- 最后，进行第二次关于 `x` 的积分，并使用 `simple` 函数简化表达式。

4. **计算积分 f2**：
```matlab
f2 = int(f0, z);  % 对 f0 进行 z 积分
f2 = int(f2, x);  % 对 f2 进行 x 积分
f2 = int(f2, x);  % 再次对 f2 进行 x 积分
f2 = simple(int(f2, y));  % 对 f2 进行 y 积分并简化
```
- 类似于之前的过程，这里对 $ f_0 $ 先进行 `z` 积分，然后是 `x` 的两次积分，最后对 `y` 的积分，并简化结果。

5. **比较两个积分结果**：
```matlab
simple(f1 - f2);
```
- 这行代码计算 $ f_1 $ 和 $ f_2 $ 的差，并使用 `simple` 函数来简化结果。
- 目的是验证两种积分顺序下的结果是否相同。若结果为零，则两种积分结果相等。

### 知识点总结

2. **不定积分**：
- 这里使用 `int` 函数计算不定积分，非常适合处理多变数和复杂函数。

3. **数学中瑞士顺序定理**：
- 计算多重积分时，通常可以改变积分的顺序而得到相同的结果（在某些条件下）。在这种情况下，检查 $ f_1 $ 和 $ f_2 $ 是否相等，可以理解为在积分过程中应用了这个理论。

4. **函数简化**：
- `simple` 函数用于简化复杂的数学表达式，使输出更加可读。这在结果比较和进一步分析中非常有用。

### 结论

整段代码展示了如何在 MATLAB 中进行多重积分的计算和比较，分析了积分顺序对于最终结果的影响。通过使用符号计算和多重积分，取得的结果能够帮助我们深入理解多变量函数的行为特征，这在数学、物理和工程等领域是非常重要的。