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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 2 r; {% L' g! A2 q2 w2 ]/ N0 Y
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度
9 w: z5 l5 `9 J+ D2 E
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
' _, ]) I G% S0 \
for i = 1:n
0 V5 ^) u! z. N* J% o ?: @; f
for j = 1:n 0 t+ ~+ ]2 `* S$ r# h# P6 Y
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) ; E% X! s\" h. ^$ a6 E\" ?- i8 b' a
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); . X( P( x$ c$ ~( S0 i' Z
end
, y# A0 Q+ z5 T$ S. V' t7 I% Z
end ' w _0 P, ?% g
end
' d1 @7 l3 {1 I/ K) B\" Y( e
m = m + 1; 5 I7 {\" i; w& m& i
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
! Q8 f\" l. O: q; C; Y! @/ B
k = 1; 1 F; G6 `) W& }. r0 D' y2 U
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中 5 g% e& c* s) O2 @# w% [
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
- ~8 E0 P9 k) B5 k ?
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 ! ?! [2 u! E* M& }1 u
for i = 1:n
4 B- i/ A% O6 ~# U
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
! w+ H, D& _+ L6 R2 w: {
if V(1, i) == U(k1, i)
( P7 ?! S* v6 u9 a/ C7 t8 B1 V7 x% C
P1(k + 1) = i;
$ J) M. w( ?% D4 _8 h4 R' s7 j8 _2 t
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
7 @4 n, c& x6 k- |
k = k + 1;
d: N) h% h6 h, p
end . ^3 Z' i& m# H) y$ f! @ T
end ' O3 n! O\" p# g S) l6 B
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。' W* }( V* }* S# C# b% f

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; 8 ?% O0 m, |% W' E! U
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
8 f0 T K+ ?3 g8 i
for j = length(wrow):-1:1 2 i& E6 d# y6 s
P(k) = P1(wrow(j));
- J7 A3 K, ]9 R4 Z7 n
k = k + 1;
5 m! ]0 R, K0 s
end 2 Y5 j8 |9 J; ~; ?$ `\" l- _8 b. N
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。( N$ S3 {9 `$ j: S- x

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]