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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
% K4 M5 R8 C3 ~8 {
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度
8 m$ V5 G7 ` W9 T
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
' _7 a5 D0 A/ l9 S) H
for i = 1:n ) b* ]# d- c# o3 \7 O4 w g9 \4 h; F' {
for j = 1:n : `; x7 ?: ^; j: L3 k; e3 \
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
6 t$ k; f* i0 ^* O
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); 7 V6 ?% n3 q6 P3 E5 s( p( }. G\" H
end # {# l\" K! Z: F6 h4 I
end ( R/ I* L* @ I( m
end . \& G! ` d& V: ]4 L9 x
m = m + 1;
$ {1 n+ p2 V2 }7 K
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); 0 e2 [1 i5 |( U4 @3 @
k = 1;
7 G2 W! T3 `8 r9 G! p7 d8 ~1 z+ N
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
. P/ \: g) h: t7 V; t2 I
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 6 y, Y4 V5 ]0 C3 D9 O/ b
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 ( L6 Y& _* ~! i9 D\" ]
for i = 1:n . u- J4 h8 }# J4 ^( |
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
\" I# g8 G' A* a
if V(1, i) == U(k1, i) 1 z# O, Q0 U! V5 c9 c
P1(k + 1) = i; 7 u3 ]1 f$ S! j1 R
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 / \& X# |. g a$ c% f3 A4 [
k = k + 1; 6 q$ w8 ]\" n# H: ~ Z
end
/ q( d9 j& E l+ K& e
end 6 ?* {, v( H7 n
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
7 l0 W; I7 \# w4 ]/ W

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; 6 |\" D) z9 b% U0 X) h
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
$ x4 @9 l# V9 p* p
for j = length(wrow):-1:1 9 X) E, h+ I3 X3 d% S0 } |
P(k) = P1(wrow(j)); + I$ j4 I) O8 M8 K. t
k = k + 1;
$ _2 J% [) X7 [9 H\" L$ L
end
. A\" V5 F' s. W7 g
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。% a1 U# @1 n- s* m k& V1 Z+ N1 B

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]