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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 % Z0 }0 \0 d6 Q) G, E\" Y6 d
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度
) E; ?\" Z/ \) k' B
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n \" _: Y+ z& f, D( b! r
for i = 1:n
* _2 U% d% _: @! a3 V
for j = 1:n
0 V- z+ c, A7 _, E( G
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
2 q& Q d' z! i+ f. o. H
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
. l% g% V5 Q5 e V/ E/ [4 D
end , r% m5 h5 s) z; [- L# [ E
end
0 @3 a\" b& J E1 ]8 s, k
end
: U$ r4 x2 }8 p: t( o& B$ s$ m3 }
m = m + 1; 7 f\" ^6 I4 m( n2 Q; g
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); ! `3 ?% E7 n6 r6 c% B; H6 [& O
k = 1; & [; A! u& T3 X+ X! ]
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中 \" \4 ^5 ?; }' ^; ?
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
, y. _6 d4 X) Y& E1 @8 N+ P% M
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 ' J2 `! o. L# B# I/ N
for i = 1:n
1 l$ x, w+ {* D/ n6 y- M
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
9 T; T' b9 g# K' o+ s
if V(1, i) == U(k1, i)
- R+ T6 u, _9 d1 ~
P1(k + 1) = i; 2 m1 v' s; V\" F k; y
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 ( a/ ]* ^$ N( m5 r* n
k = k + 1; 3 u I( K9 ?# F( B
end
! Q) _; C\" v8 K, I! c8 i
end
5 ` V# s2 z7 {1 a
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。: R8 _# m0 p6 e! N: t

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; 9 H6 A9 k, h' u: ^8 u6 ]
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
2 |, z2 A8 U7 z# P' t% T
for j = length(wrow):-1:1 9 Y5 ?+ Z* ^) s$ M, t: q% i. ^
P(k) = P1(wrow(j)); # }/ U% m2 t& O: j
k = k + 1;
/ n1 i1 N- h9 g- ^
end
* n' c6 K/ f/ f$ H* k: M. O
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
x1 d8 ^ s( G$ \

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]