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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
( L* l4 _; D& o6 x5 H9 I/ W
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 5 i' G' t- c5 Y5 F1 S Y
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n 7 A# S9 ]% ~' _
for i = 1:n - ?* s, K) a' ^' f8 D\" @
for j = 1:n
7 Z3 q% [6 j7 C) b+ ~- k
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
. `) g& T# {) _
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
% i! W7 K+ Q3 S* Y; W
end 9 N! H1 m- b* Z& g
end
$ v0 }) q/ f* g# D9 P { G
end ! m0 |$ N' n: c* v1 h/ a, S M+ q8 w
m = m + 1; ! T0 K0 M+ k& n/ o, W
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); ) W2 U3 K* ? E% N) y5 m6 d2 i# Q$ p% M
k = 1;
7 @0 u) s; p1 Q8 \\" t! P
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中 6 d$ M) M4 N$ x( B/ E
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 4 T7 b' E7 S5 Q# d2 L
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 6 \6 _* K! I$ r g2 Y1 o0 x& y
for i = 1:n 2 d1 l _( k& `
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
2 I8 k( A, b) k1 F$ O* J L9 m9 _# }
if V(1, i) == U(k1, i) % Q9 K. `9 R' d' G
P1(k + 1) = i;
! v; T2 k2 h* S: I- ~& q3 N. H
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
/ o* H( s3 v) t8 |( w* Q
k = k + 1; 4 v D+ _2 k1 Z6 n0 J, m2 F
end 7 `1 `2 s8 {+ E7 d5 Q5 V
end
3 @$ H. k+ U0 ~. t: {
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。9 ~0 P3 ^& U- A0 w( I: x! v# b' ^( x4 Q

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
1 ?6 N+ u5 h% O; W; I
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 J1 c8 ~# q$ M. S
for j = length(wrow):-1:1
5 C% I9 a5 f7 c0 g
P(k) = P1(wrow(j)); & H3 f) T4 V% c\" C1 G/ U4 J$ c0 K
k = k + 1;
. m- q1 D% v3 q$ b; v+ r) q
end ' q* Y {( O\" H2 [) T( m& X9 t
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
: W# D6 J$ Z; `; q3 P- R

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]