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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 ( [6 X' ^. P6 u7 [$ J/ C
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 # k6 `$ T( @- _2 o+ z; {; c
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n @! u. Q6 P4 a) Y
for i = 1:n
- e% S% G. c: X4 D
for j = 1:n 3 Q/ M5 E; k- o- z; `
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
2 B\" b, F: [\" _) h
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); 6 p# h4 Z. U1 N
end . W% |9 _0 ?7 W' Y+ Q! ?
end - @* s. ]/ F- @+ |, F\" x
end . |7 ^) Z( F( T- y$ L3 n1 \! {
m = m + 1;
6 m4 a9 i y; j- e# ^, R0 V1 A
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
k = 1; 7 w$ c5 K( @& }2 a+ ]; T1 ~
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
) K+ n0 ]1 l4 d! u. b! Q {) A# c
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
& G1 c7 P6 L+ g4 a
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
7 _) Q\" G f. F
for i = 1:n ' O( \8 n! s L5 y9 n
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); ! _( z; X3 w: v8 @9 w( @2 U- h
if V(1, i) == U(k1, i)
' U! p8 o+ [; {\" r
P1(k + 1) = i; + Y3 M; K* z- @1 z I0 F
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
: g8 W5 {1 r5 t) W: ?+ e/ t
k = k + 1;
' O [4 i0 S% _5 F: L+ Q
end & q# O, L+ i% G# c1 G
end : }8 x6 F\" Y( T5 r S) {/ a
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
: ~$ O1 b! A+ G4 s' |! T5 j/ H

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; 1 ?3 n3 Q& s3 [\" t\" D1 z
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 ' \8 ]- v$ C( a0 q* f2 G9 x
for j = length(wrow):-1:1 \" `$ n6 y& @) d. ?7 Z
P(k) = P1(wrow(j));
( s: J\" o4 A\" o( Q\" @2 R5 Z
k = k + 1; 8 K8 H1 e% Y8 Y\" [9 B3 d. n1 i1 W
end % ]1 I9 y* z ~\" G8 e X* }
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
# Q) W1 w* l5 E5 T4 r

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]