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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
+ @\" y, Q8 S0 `$ l
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度
! d& B/ j: B. H* f4 i6 c
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
. q! z( e2 E8 L( T6 u
for i = 1:n
/ A. z a! q; W$ P! _+ y
for j = 1:n
2 \; h) g# |) b& q& W- H
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
* J3 n! R; l( k5 v) r
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); ) I- l3 M8 G3 _! s5 s
end
( c: \4 ~2 b4 ] Q8 g
end 0 j: @\" B. L- Z- W) X# R
end + O3 g* {4 p\" _
m = m + 1; % N# k0 D0 K7 a& W% p T
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); # C0 P2 R\" V) }0 F3 c
k = 1; . e, x. e! l3 m) U+ V; U$ w6 q0 Z
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
: S' ^3 t+ X, A. o) w4 M\" m7 i# R
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
0 O/ x& N! y8 n L* m( u& B
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
1 P; H1 Y- U. |3 ^# R6 p
for i = 1:n ' m) ~0 v x0 E
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); / a) K% n& m$ K5 B* n/ U9 a
if V(1, i) == U(k1, i) 4 U9 U: m, G, B: }$ J
P1(k + 1) = i; 6 U& s1 A( a) D* Z
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 * ?# |$ B% m% Y2 A. y( [
k = k + 1;
9 H! d1 l& S) ~! }2 X: p% t
end 4 z9 e6 `/ j+ U4 G
end , j2 L( N; S+ T: Y+ ], b! j4 m
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。3 u0 R0 J; A3 m6 [3 l

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; # z9 m\" U& \1 e9 i, T9 h% j
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 ; h9 ?7 Q/ T6 \
for j = length(wrow):-1:1
( I! ], w! e$ }1 e M8 F
P(k) = P1(wrow(j)); . E U\" ~2 ^' F/ J9 H& }: }! b
k = k + 1; & w% @% z7 ?+ }) J2 Q* I
end * |* v3 [* u7 w# f
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
2 ^8 Y% F9 l2 c# @/ y) e

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]