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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
. i$ o( d3 s. v% e
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 ; [: M. x6 O' s; k* ^
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n , U0 A* Z7 B5 `2 r1 ~
for i = 1:n
8 ?- B$ K8 B\" n& z& s
for j = 1:n
8 b, J* E! X6 a: T# K* I0 a4 y9 l; Q
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
8 f* d; @, v e% `/ O @1 {' Q
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
- I5 u& w' }5 H/ w' ?; L
end % l, i4 C1 S5 r
end 3 @4 Y4 d- S\" E4 e
end 4 l# I1 Y z. Y0 [% J
m = m + 1;
+ ?8 h/ ?# r6 ] v- ^
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); ) M' G1 e! b9 U; P5 R) M
k = 1;
) V& y9 T3 k9 {+ F\" |/ A\" J8 o
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
\" q {3 T0 Q: ]# m2 S, V/ \8 u
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 . I+ u( G. i4 W$ T0 U
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
, ]* _ {! p$ T% P; t; t
for i = 1:n
: F\" [/ O6 w/ Y- Z\" A
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); ' n4 _; T+ w8 G/ w
if V(1, i) == U(k1, i) & _0 \! Z; m) g G
P1(k + 1) = i; # t; G2 X) g4 M O- ^9 H6 f
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
! t' y0 g, G3 M1 j
k = k + 1;
# _/ r( j$ E, K' M* x\" f
end
4 G5 B! X8 _0 ]8 ?6 k
end ! j' G4 \( [6 S, u7 ?+ z' p1 [7 o
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。% Y# m" s0 N' S! W4 U8 E# q

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; \" |( V0 F* U: ~1 k
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 1 b3 P1 i\" u$ c+ Z# ?
for j = length(wrow):-1:1 9 i, R3 V1 E9 O; Y9 L- o2 `1 e) ]
P(k) = P1(wrow(j)); ! F. L- B8 E* J$ [
k = k + 1;
) ~, R. U\" k- A# H7 c
end - X7 \% }, r\" u* w
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
$ C1 R+ y: _$ B. V4 ^

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]