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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 \" Z\" |; i x! h' x
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 ) U8 ~ b2 c6 h
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n : X/ l. O. H2 s! Y- W B4 U
for i = 1:n ; Q\" [1 W7 H% y1 R( g0 O% P: C
for j = 1:n 9 c' L2 O% W; h& Q4 Y+ O/ O9 ]
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) 8 W( a$ ~% \& b5 {
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); * p8 o+ B$ W& T/ n' D* a/ I
end
& H, u1 I/ T Z/ u
end ! u9 a$ t0 ^( i* J
end
1 q\" o7 Q `3 e; i- Y
m = m + 1; ; C% x9 Q+ W' c5 n8 Q4 C
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); - D/ l. Q5 W. l( x
k = 1; # r/ O' Y0 ?\" K( |$ X# S- J
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
& E$ S' z C2 O8 L& j( @
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 $ e/ R: C( m+ z( H; e! y# M( M) z
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 / S\" g: x0 }- E$ y
for i = 1:n
1 x! T& x1 j7 d
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); 4 J7 c& z- D. n) p/ t! H. o2 R/ m
if V(1, i) == U(k1, i)
; g; ~. [ ^( z. f, q. k- a: ]
P1(k + 1) = i; 0 w% {4 D0 I' L# h: | E( x
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 . l$ D# J9 U$ g5 O4 d% ?
k = k + 1;
3 Q5 g7 F8 n0 a+ w7 Y: C
end
3 K+ {1 k) D\" [8 H7 C% d* q
end
0 c9 w6 g; g. k5 z, ]
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。5 _+ D E; e" P. O$ q, `0 n

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
: D4 T c- t\" J% g$ C1 v2 S/ ]# Y
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
1 R% X7 {& s% @: c
for j = length(wrow):-1:1 6 F+ J7 D1 |, ^3 J
P(k) = P1(wrow(j)); 9 V4 t3 O1 U( V7 {8 e: A7 ~) D9 s/ u% S6 p6 V
k = k + 1; 9 G% S- X5 W2 l& o+ Q+ `1 [
end \" l% v# E* {\" T: h, s
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。 U' [$ M6 f7 j0 Q/ K+ W7 k8 o" T2 E$ Y

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]