查看: 1337|回复: 0

Floyd算法求两点间的最短路

字体大小: 正常放大

1186 主题	4 听众	2923 积分

该用户从未签到

电梯直达

1^#

发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

|招呼Ta 关注Ta

MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

复制代码

- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
+ p& m4 k/ r$ X, f# l; h( }
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 ! r3 P* P$ m% Q. E& }- H
m = 1; % 初始化步数

复制代码

- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n 6 `' ~+ \. Y\" h+ x+ D
for i = 1:n . {2 G; v! X) e# F9 m
for j = 1:n
* B3 d8 r! C- _' r1 i4 E8 K6 y
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
1 @& n4 ^' }! m+ Y' ^3 w
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
\" A% j9 F, H; `; h) [* Y
end
& _7 q) }\" ^' g# C- H. T. p
end
. {) k' s& U\" g3 `& m
end e9 q& G1 X* o
m = m + 1; 7 j* u2 C4 {) O8 M
end

复制代码

- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

复制代码

- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
! Z6 x) C7 ?- Q+ e- y
k = 1; ' X7 ~9 f( d/ I1 B! K
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
) f6 C; E) t8 l d
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
' m1 Q' G: T$ M& d. D! g. s
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

复制代码

- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
) t; p% g! n# w% C
for i = 1:n / o& k% b9 N8 a9 c1 \' m4 t/ W
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); . Y% o9 O( w/ o3 L/ `9 Q: X i2 G
if V(1, i) == U(k1, i)
, E. G1 F/ _4 b8 V
P1(k + 1) = i;
8 V7 l3 \$ l\" m7 `0 e* K
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
1 P1 S5 Y* b% k- W. o
k = k + 1; ! |* g+ A5 o( _0 r
end * o# j2 {* d% q |
end
! W\" m. |$ d\" B- p5 o0 S
end

复制代码

通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
o; R0 x7 ]! X

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
* ~; |6 m7 u: \1 `; u
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 $ m6 l. ~! c' E0 s. S8 |! \$ Q
for j = length(wrow):-1:1 $ B: a6 S( s j
P(k) = P1(wrow(j));
! @3 L0 N& s4 X( p
k = k + 1; 2 S, y5 |2 ]2 N7 @- W& |* g8 g
end , r9 h5 q0 D, j- o
P;

复制代码

提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
/ ?7 q' M+ l; _- t/ J, |

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]