实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数
9 V. Y; i6 w# R: J' P, r. R! w! y
### Logistic 回归原理
% [, L  u$ H- z5 x2 D; X
) u3 v1 e( W, G( K% t# p4 X1 n1. **Sigmoid 函数**：
   \[
   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
   \]
! P$ u! H2 q+ t" U" @% f7 L* l# P   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。
. b  q7 }5 _2 l/ `! ^
  h  d# K; `% X$ ?; O2. **损失函数**：
+ t* Q: _/ p! G$ o/ c/ O   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
0 W2 j- B  H6 P& y   \[
   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
- ~$ @! ?! S; H" x3 C2 R8 a   \]
# I" `; U0 r' h/ [" M9 P   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。

3. **梯度下降法**：
- P/ e. O. S0 N# n   梯度下降更新参数的公式为：
   \[
" C$ e0 R. m: L9 J' B' v% P   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
   \]
" U0 r( Q5 G( m% Y+ B  g   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。

+ w2 c6 A9 ~( O6 F! h
4 Q4 f$ Q+ B8 k( t/ S& y; V6 S

; B5 v) b! |2 g% m3 V  s6 C