实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数
  ^: @! A3 E3 m# _  |( i4 [
+ _6 Q+ C' }  I5 ^' p. Y7 |4 `### Logistic 回归原理
/ T+ E0 K1 N3 w5 v' [$ b
1. **Sigmoid 函数**：
   \[
   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
9 H" m  w# n9 G5 q/ x  s   \]
   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。

4 W# i4 k1 M8 S0 A5 p6 y; g2. **损失函数**：
' N, ?1 J) a, t# L   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
   \[
5 j5 u! w' T% X- `   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
   \]
   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。

3. **梯度下降法**：
   梯度下降更新参数的公式为：
   \[
2 b, d3 E! [( c* t. N   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
   \]
) w: W) q) F+ U/ c, \7 F  r- Q   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。

# T( T& q( z% J