实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数

1 B3 K. R% `0 ]* Z### Logistic 回归原理

+ X7 x" f/ g. }! X% N0 w1. **Sigmoid 函数**：
   \[
   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
, w8 l8 V/ \4 L6 V6 [; i, D* R   \]
; o6 H& |/ Q0 @; k, J- w0 t3 b8 y   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。
0 ?4 c9 U' T" P- O( y8 Z
& y) R. l4 {0 s# {* Q: I& E2. **损失函数**：
   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
6 {5 p; h- n( a   \[
   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
   \]
   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。
* L& P& V+ w* J4 Y
3. **梯度下降法**：
   梯度下降更新参数的公式为：
   \[
   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
   \]
   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。

0 |9 F7 J, F  R1 h: C
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