证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
* d" ?/ u: k0 [" E9 J1） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ 0
* f1 z2 T4 u- x$ Y  R. \* Z(mod q1)
x ≡q2-r2
- V5 }$ a" S4 ^' x(mod q2)
8 O9 U+ ^1 A4 R' x小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
0 d, h' D' I6 X; b( r* _证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
  Z8 k$ h! f$ Y% L1 b; K" E0 f5 Hx1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
3 J9 w& z& S; m% l; Q3 `2 R# B∴
) s" ]1 F7 V  m" Wx1+x2< 2q1q2,
5 A1 h0 s% L+ @2 w/ _6 r! h∴
a1+ a2 =q2
，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
( e# `' X; a0 l1 L* Z* J∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
( V  r) w$ l; Y  z6 y5 g6 ?. O∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
也只能一个为奇数，一个为偶数。
+ {/ k( E8 g  c8 c2 Y定理得证。

azqw

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