证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
) _9 J$ q5 E4 p1） x ≡ 0
(mod q1)
$ r  U' W* G2 t% R0 ?, L: C5 fx ≡ r2
0 t0 E! G1 W9 V- c  A# W( A8 W(mod q2)
2） x ≡ 0
(mod q1)
6 \" w4 K; [/ V$ \7 s1 y! K& ^x ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
3 V+ e2 l, X$ e证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
6 [, _1 e$ q. v. I% `令方程组1）与2）的解分别为：
6 h' c" _  i& h. N; R. wx1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
* \+ D' ~0 K. X3 y- F则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
8 g: A4 ?/ N! e( S2 h% E∴
x1+x2< 2q1q2,
∴
9 n1 ^# O4 p$ Da1+ a2 =q2
，b1+b2+ 1=q1
* b+ W6 _/ F, A. Q+ w5 `+ M' f$ b: d∵ q2为奇素数，
∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
5 }% J6 u& m, n; ^9 J( m( L7 y0 ^∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
! l% Q9 J1 {# C; R; t' `∴
, @9 [$ \( V5 o" Yx1=a1q1=b1q2+ r2
, w0 [1 X& t) u6 ?5 Rx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
. |* J9 _2 d6 e7 S% ~也只能一个为奇数，一个为偶数。
4 u' v6 s6 Q& O9 N& C" U定理得证。

azqw

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