证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
) K) X8 ^% t6 n$ L8 H& B! o9 |1） x ≡ 0
- ]: H1 Q0 w2 b4 k7 @( a(mod q1)
x ≡ r2
1 y! B, d$ d* J(mod q2)
) y- L4 `$ Q2 U, @/ U. j5 U2） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡q2-r2
. X3 s: Y- y( P(mod q2)
小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
$ L4 |8 Z# D' M' q& H* hx1+x2< 2q1q2,
∴
a1+ a2 =q2
5 L* B8 x  F9 D* K  \，b1+b2+ 1=q1
0 ~+ @, t9 f* ?4 V. [, Z∵ q2为奇素数，
' O8 f1 _2 R# q. r3 C* ^3 _6 X5 j∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
4 b& t$ p7 N* N, H- N: n∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
& j$ j/ r* T8 N/ f2 d4 C5 p∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
也只能一个为奇数，一个为偶数。
5 G+ M$ z6 |! W3 L1 Q$ G定理得证。

azqw

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