证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
$ Y6 P, Q/ E1 ^0 b/ ~( t# T2 h8 ~1） x ≡ 0
5 J! ^! l! t7 q0 x# w1 h(mod q1)
x ≡ r2
) N9 R& P8 Q5 U; N5 y/ `( O(mod q2)
2） x ≡ 0
(mod q1)
8 h0 |6 Y; n2 q) |5 ax ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
证明：
4 _* U( ^. o$ M' G根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
" w* p' r$ F2 C- y# c- a2 [则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
# M' ?* [- t2 w4 `& ?- S即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
: m& @6 x; I/ |$ r: S, H∵
1 ~- p: h( W5 S4 {q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
% S5 u0 x/ E% @: A9 g9 m( Hx1+x2< 2q1q2,
& m8 I0 W2 H6 I/ ?  e$ Z∴
a1+ a2 =q2
3 C) g& j! H2 s% `5 M" B: Q2 G，b1+b2+ 1=q1
0 S, j4 E) P# m1 M∵ q2为奇素数，
! u, X1 W+ l, j6 c4 F- A∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
! H- W$ O* k6 r8 u; a& v∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
. ^% ~7 G+ j1 X' Q4 L6 Z, \" w( _- j) ]也只能一个为奇数，一个为偶数。
+ l) P9 }+ q5 q+ k定理得证。

azqw

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