证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
1） x ≡ 0
(mod q1)
( y3 j) v  X& ?+ Ax ≡ r2
7 r+ A+ z8 ~! U(mod q2)
2） x ≡ 0
0 s! j2 P+ ?! E! S! X0 e' j9 S(mod q1)
$ S: g7 J- U# G+ wx ≡q2-r2
(mod q2)
6 Y% L8 a/ D$ K' {7 {) c小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
( S6 Y7 D! \, D7 d8 H( M证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
* |* B! R+ j9 i6 F令方程组1）与2）的解分别为：
+ h: G  P9 Z# j, k# j+ hx1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
2 l6 V0 [  Y2 e5 r$ Z则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
x1+x2< 2q1q2,
5 H' @1 H* Z0 ~  Y1 O3 v7 p/ M∴
5 |4 }) S4 {: Ba1+ a2 =q2
3 e, H6 X+ R" q，b1+b2+ 1=q1
0 _" n5 x7 N1 u! a# I; R∵ q2为奇素数，
∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
5 O& M& m* U4 g∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
7 i2 Q, N' r4 `4 T. B/ ^  q∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
8 |% T. l9 L& g  s6 a% fx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
也只能一个为奇数，一个为偶数。
定理得证。

azqw

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