证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
: t' c8 y8 B! |" e" {0 L1） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡ r2
! r3 D0 l- t$ h/ y4 {4 p+ D(mod q2)
2） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
& p8 g" h1 ?/ G; Y0 M+ _  S小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
6 h$ d/ B4 Y( r: ?9 ^2 L证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
x1=a1q1=b1q2+ r2
1 `) ~  M& @- _+ v( H  `x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
5 g; ^5 o' K2 O( k6 P则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
% G( x  g$ I2 T8 S" z( J5 j∵
q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
x1+x2< 2q1q2,
/ |% V) N, S) `  x( i& K( f% D∴
' W0 N& y7 ]4 V5 Da1+ a2 =q2
，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
. L+ A1 M1 k( H, u) H( R∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
. g; c% |5 T; j1 K也只能一个为奇数，一个为偶数。
$ E5 R( S2 v( E' V1 u0 Y! H定理得证。

azqw

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