证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
, s0 p7 E. s$ l' s' ]5 I) Z1） x ≡ 0
/ h5 K. G$ x9 E- a2 `8 j) r: h- P(mod q1)
6 u8 Q% a7 z3 D6 M: xx ≡ r2
8 Z1 T% Z9 t  z6 W2 x% Y/ g1 \(mod q2)
2） x ≡ 0
1 y9 Q2 ~: A$ I$ S" U. z) }- l(mod q1)
x ≡q2-r2
; i7 Q# p# D3 O! M/ b9 r(mod q2)
小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
证明：
2 q& c( @% `  Q9 m& R% A- O4 W根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
7 a/ c( r3 o4 p, _* u& k令方程组1）与2）的解分别为：
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
1 {/ u8 R1 U4 ~1 @则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
8 s1 O0 \+ ?( q2 D2 ^# B" [∵
q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
8 S7 `. ~% ?6 X0 L( Z∴
2 b, p$ Q0 K# ~4 q( Px1+x2< 2q1q2,
∴
2 p2 s7 h% {3 J; M9 r+ c. V5 M: K. ma1+ a2 =q2
9 w3 n# }7 J; K0 [' P! a& c，b1+b2+ 1=q1
( j/ K! F9 f2 O, c* f$ S∵ q2为奇素数，
0 k  J1 v% _, d∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
( g* Q- d( J) t) v8 ~3 e5 B  |∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
% |8 h2 M( F: m' t/ d∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
$ v  V! J. H' P0 j4 s! B, F∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
也只能一个为奇数，一个为偶数。
定理得证。

azqw

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