证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
1） x ≡ 0
(mod q1)
( @( `' R# M+ k; l' ?4 T+ Tx ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ 0
# X3 y2 e: ~4 J- f$ ^3 S% X* r. H. v(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
% T) h0 B8 l! c& ^6 I+ w小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
8 i) M* j, @' }- Tx1=a1q1=b1q2+ r2
6 s% g- e0 H# Z/ h) }" k3 F4 O2 H( Ix2=a2q1=b2q2+ q2-r2
则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
& G" V* t0 R. ]+ T, _/ J即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
" N! W. z" s7 K9 r% a+ ~0 `q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
) w, N0 I- M8 ]/ b  r∴
, ?, N: `2 k5 I& wx1+x2< 2q1q2,
∴
) Y- g. L& a# v* I. v% Ua1+ a2 =q2
/ `# j1 o: C  ~5 |，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
2 B2 w, x2 _) F% P∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
  R% F1 }' @/ ?& K3 l∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
也只能一个为奇数，一个为偶数。
+ `' s3 k- ^! k定理得证。

azqw

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