证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
+ e( R0 {/ N$ m4 W5 ^1） x ≡r1
8 C! K6 U* l& e+ H% i( v
3 i& S; A" f; C0 u, Z(mod q1)
x ≡ r2
# ]! I. F$ f" I3 r' p# C$ z(mod q2)
1 e. O  L8 _* a' \  |2） x ≡ r1
(mod q1)
6 f1 e  H7 w% J' D6 @6 c& mx ≡q2-r2
+ D  w* m% w! m4 C( A* K' f  I0 D(mod q2)
3） x ≡q1-r1

(mod q1)
- n  @% v6 h9 ~. w, Ox ≡ r2
(mod q2)
! e4 G/ A# R; u' z9 D7 D3 q/ ~4） x ≡q1-r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
+ H* L0 H3 k/ \1 T+ V(mod q2)
7 W5 Z0 u* I# G! A小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
1 Q: g, L* Q& V+ z% N# P证明：
" m9 l. e/ r$ F% E+ Q" E" w9 j根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
3 A1 F$ ~2 N3 y- d' T8 P8 Ex1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
9 K3 e, P" F( ~; L1 _2 {x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
$ S& ?8 |' a: n3 @5 O. Lx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
. Z: B( n3 Z* u' t( d/ Y, s8 f则
" I6 ]* f. H4 Tx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
2 o& M. r# V% \, h) c即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。