证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
: U/ C! l8 V$ z- B$ o若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
4 M0 a& i: s& h7 [1） x ≡r1

(mod q1)
0 G( i  R# X8 Z, G. U- J- e7 ix ≡ r2
4 v4 |' L3 k+ L" C- K0 M# l# x(mod q2)
' j& M2 k- J6 g( J, i. r2） x ≡ r1
! M. |  \8 H. u* Y0 i(mod q1)
x ≡q2-r2
2 S# H& |7 D" }6 L0 f4 Z% z(mod q2)
3） x ≡q1-r1
1 f$ c! ~2 b2 j) i2 W' H9 r# }
1 P. t+ ~' ]5 h' J, J4 g(mod q1)
* e  D6 r) F5 g* \0 ]3 i2 b6 Mx ≡ r2
(mod q2)
4） x ≡q1-r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
& A' L3 ?+ `4 S$ L% E$ A( b. Z(mod q2)
5 C5 {. J( x) ^' ~  K" M小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
& C) ]! L( ~% {0 Y8 Q: x根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
! T) X7 {. m$ `$ qx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
6 O1 ?, V( C; u. N3 sx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
* B6 \' [3 G/ `. }% k1 C" u即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
. }4 f- C+ P! S: Q" {a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
3 O2 X( {1 y( _- C9 R同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。