证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
) |, }* d1 q4 j/ o0 R' |& R7 i' L若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
& y: b4 [+ `5 C# ]1） x ≡r1
7 Q9 w( k8 g- s* f+ e4 B
(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
% m. b8 }5 k. J- _% L$ }2 l2 K* f2） x ≡ r1
(mod q1)
' V3 c9 T0 W2 ~+ Rx ≡q2-r2
(mod q2)
3） x ≡q1-r1

0 _+ u1 V( W5 ~; J5 s8 p# P(mod q1)
x ≡ r2
  a3 ~) o$ V0 d6 n, @7 \! S3 t(mod q2)
9 c+ [# c. K% `/ U; m4） x ≡q1-r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
. d3 Y% f. {9 C  l4 R根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
+ Q2 Z& z* X5 S令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
" u5 k* X5 _& y2 C( ?4 `" Ix1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
* Y' ?! R" C. C' Y' r% H# ?x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
) w" }% U0 s) l0 y1 r; {! a% bx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
3 I. P0 [4 k1 M! j8 t. L) W3 Z% Ix1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
, @, c5 L' G% I# aa1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
$ U  m; C$ e  Y9 I7 H7 \∴
' \2 {% ]  x; ~. f& g, u; ba1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
; Q- H  p- j7 Q定理得证。