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证明素数对称分布定理的五个引理(三)

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李彦修        

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发表于 2009-4-4 09:31 |只看该作者 |倒序浏览
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引理1.5
) |, }* d1 q4 j/ o0 R' |& R7 i' L
q1 q2为奇素数,则以下同余方程组

& y: b4 [+ `5 C# ]1 x ≡r1
7 Q9 w( k8 g- s* f+ e4 B& z/ U; \7 c( l6 ?* w
(mod q1)
+ E) S+ `8 D- G1 r4 ~; T6 g  U( p
x ≡ r20 \$ I1 X' J8 V) l$ B2 y5 x
(mod q2)

% m. b8 }5 k. J- _% L$ }2 l2 K* f2 x ≡ r1 " W8 V& M. L6 }2 K# f) F% g
(mod q1)

' V3 c9 T0 W2 ~+ Rx ≡q2-r2- e" Q. `' p1 c- Y) k0 c1 H
(mod q2)
* {9 W# C& D2 q! S6 C8 q1 ~0 O
3 x ≡q1-r18 V* u: s, ~: n1 w5 W

0 _+ u1 V( W5 ~; J5 s8 p# P(mod q1)
: G7 Q8 h: F. R) i. }" R
x ≡ r2
  a3 ~) o$ V0 d6 n, @7 \! S3 t
(mod q2)

9 c+ [# c. K% `/ U; m4 x ≡q1-r1 5 W, n8 l& N& e- X2 O) }- a/ X; z
(mod q1)
# v2 v3 T6 s, X4 s" v
x ≡q2-r27 V7 g: S) ^' V$ A* o( X% D9 u
(mod q2)
5 x! P, K* _. I3 H9 R* e6 \
小于q1q24个解必然2个为奇数,2个为偶数。- f( f: F4 i7 {4 q* I
证明:
. d3 Y% f. {9 C  l4 R根据孙子定理,每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
+ Q2 Z& z* X5 S令同余方程组1)、2)、3)、4)的小于q1q2的解分别为:
" u5 k* X5 _& y2 C( ?4 `" Ix1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
* Y' ?! R" C. C' Y' r% H# ?x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
) w" }% U0 s) l0 y1 r; {! a% bx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r28 T7 [& o2 \5 X* I
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2, Q: V1 S- M, Z% G' P) U7 }! p

3 I. P0 [4 k1 M! j8 t. L) W3 Z% Ix1+x4=
a1+ a4+1q1=b1+b4+1q2
% [9 v# t. F& T* L

, @, c5 L' G% I# a
a1+ a4+1= q2b1+b4+1= q1

$ U  m; C$ e  Y9 I7 H7 \
' \2 {% ]  x; ~. f& g, u; ba1
a4 b1b4只能同为奇数或偶数。因此可推出,x1若为奇数,x4便为偶数;x1若为偶数,x4便为奇数。即,x1x4总是一奇一偶。
! L! U7 Q2 A  r3 G+ \
同理可证x2x3也总是一奇一偶相对的。/ c6 y( U: }! K
即是说,x1x2x3x44个解中,总是2个为奇数,2个为偶数。
; Q- H  p- j7 Q定理得证。
zan
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