证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
$ F6 S- A! k" [$ X) c1） x ≡r1
4 O* T) a6 A, B
3 z7 Z; T/ J0 @4 C2 ]0 @% b4 A(mod q1)
x ≡ r2
( |- z) p8 _: r6 E" Y(mod q2)
( K- T3 e* U5 M8 s; w, ]2） x ≡ r1
. ~9 {! e. a! x1 M(mod q1)
2 P/ O$ C( X$ {6 Y4 _/ ^x ≡q2-r2
(mod q2)
3） x ≡q1-r1

' q6 `6 W% ]9 ?3 p(mod q1)
) }3 X$ p' w; Q/ U4 lx ≡ r2
' T  F1 W9 x: q9 ^9 i(mod q2)
4） x ≡q1-r1
+ g* W# V* G/ d8 [. Y) \& \(mod q1)
7 U( D& Q4 z( Zx ≡q2-r2
(mod q2)
& E/ I# d3 x- ~# T小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
; k  n( `  c! r+ Z根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
  t4 l9 Z/ X. i1 S' m4 \令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
# h# {/ K' I" j. L1 C4 wx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
/ y* G# M  w/ k8 R$ ~1 L4 y即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
' Y" a1 x# k* I) ]9 E同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。