证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
5 z3 E, c& K3 W) W) G  S若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1
5 b( }& }! g2 J6 c
' D" P" L( b$ a3 `(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ r1
(mod q1)
$ L) h9 P. ?! {. q. P# j9 V# a( ]" Yx ≡q2-r2
; o* n" p, n# ](mod q2)
5 F2 }: c: n* l9 T: I3） x ≡q1-r1

(mod q1)
5 t9 P" Q" v/ V8 T! q6 L4 M3 ~6 ?/ Jx ≡ r2
  {6 B. E" u9 e3 \/ n(mod q2)
. c% q! c3 i" ^7 n( v4） x ≡q1-r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
% f6 J0 ^8 X- Z* |& i  a小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
+ s. w! q1 A7 v- k" Q( q% K4 c令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
* R  Y# x3 }+ Ax2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
/ R6 V) O6 E' D# Y/ O7 c7 `2 Mx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
: x5 s# u( c$ {7 l" Ox1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
9 ~4 h& Q" n4 d, z* P! A- d& F2 Ka1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
, f9 Q9 v, v) m- s同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。