证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
- z) L$ Q6 D9 ?" q1） x ≡r1

9 o) _* f# ]& g- m(mod q1)
4 U* ~$ s5 [2 }* ax ≡ r2
. k$ p) `: T. h! c) Z, v0 z& u(mod q2)
2） x ≡ r1
* V5 H, P" k) F! k% {1 L" p(mod q1)
x ≡q2-r2
) J" w/ i7 q% t5 R(mod q2)
3） x ≡q1-r1
) s* I0 U; j: Z+ ?& L
& ^" Q" R4 p  c" ~(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
# S2 `% z. Z3 I3 o! l3 T" o4 \4） x ≡q1-r1
" e% ?1 ]+ \' |( O2 o(mod q1)
3 `  P* u1 x# h$ W0 Ux ≡q2-r2
(mod q2)
4 X1 l$ y* O" n1 B  j小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
2 [5 W* _! s' x% px1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
! q, x9 ^3 Q& u0 K4 s- jx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
- L8 p" c: b8 Z. _# d则
% X6 |- H6 u, [( Nx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
3 r- x2 W" K, |* r( a∴
+ b" [/ \8 n1 P& Qa1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
) b) n1 p1 k/ p! T- _% j% B2 ?  M同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
; L+ m4 B" Z; Z1 S7 V5 j定理得证。