证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1
  a! a/ u2 f1 i1 Q- s3 g4 C6 d2 `% w
: I' p5 N% S2 P1 U3 \+ V* F(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
2 @' R! T! Y1 m; I. {; U5 [" I0 x$ H2） x ≡ r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
) T/ Z* n& z8 v9 k" C% x8 o(mod q2)
3） x ≡q1-r1

(mod q1)
8 U& T% C( P7 @3 T% ]x ≡ r2
. u9 u& u2 E# [8 {(mod q2)
4） x ≡q1-r1
(mod q1)
5 D& K' P" a% X$ h/ ex ≡q2-r2
; W0 \# b3 ?* t(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
; x; j# v" `. I3 R3 w令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
4 o/ p' t. s" S" a- I; wx2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
* _0 z, \. l. f8 |/ q即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
% q  {2 u! m1 n) @( i- n$ p定理得证。