证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
% q6 b. n1 C; S* B' z  k# V若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
7 {. C6 e6 P3 t, S8 |0 y1） x ≡r1
& C2 ]/ L& u2 y; u0 k# g
& K: p$ }* {: _(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
1 P8 Y- Y* J$ {3） x ≡q1-r1
. |# V9 J$ a: G# Y5 b
(mod q1)
x ≡ r2
* F( l  a$ |; A  i9 ^" ^+ w' C(mod q2)
4） x ≡q1-r1
" a0 q8 T0 H1 K6 z9 ?" s* e(mod q1)
1 W( ^% |3 P& K& F* o, Q8 Yx ≡q2-r2
, p8 \6 I& H7 z# n. n4 ](mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
# \: R  Z& G( Y5 k证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
. a" z: I4 R3 @* B+ Ix2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
2 {" ^$ A7 s5 Jx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
2 S2 e6 S& c( b5 ]7 {& q则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
2 K! e: O, u* K1 Q+ |* m$ R即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
# h# X2 r! u& W, Y  I∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
; [, D+ y- q0 c; f  N2 I! F) W6 ~! ?即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
9 J! f; M: H5 f- i0 }! x3 T定理得证。