能否用一个恒等式证明

ftg1029

2009年四川省初赛题。设a,b,c为正数且a<=b<=c,又a,b,c的平方和等于9，求证abc+1>3a.能否用一个恒等式给出证明？

王亚东

不会啊，怎么搞啊

数学1+1

ftg1029:
. P; X, s: |. R9 g8 r5 `1 N        题   设a、b、c为正数,且a≤b≤c,又a、b、c的平方和等于9,
) }  x+ S5 n9 P/ N$ r3 |, P           求证   abc+1>3a
           证明   因为0<a≤b≤c
3 q7 K- G* `8 m$ M                     a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
           所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
           即      3a^2<9
           所以   a<√3
           从而   b≥√3 ,c≥√3
. q- ?, @( r9 o3 w1 h0 h& T4 {           所以   √3√3a≤abc
           即      abc+1≥3a+1
           所以  abc+1>3a

jtdu007

不知道能不能用不等式证明,不过通过一个简单计算很容易就解决了
楼上的方法是错的

20077066

证明   因为  0<a≤b≤c
& ]0 k( t" k- N$ V, Z8 ?" T                     并且   a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
1 }2 i- _/ N; ?  t                     所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
                        即      3a^2<9
                      所以   a<√3
                      从而   b≥√3 ,c≥√3
                      所以   √3√3a≤abc
                         即      abc+1≥3a+1
) f2 h6 u% ~' t! T                     故结论成立：  abc+1>3a