第三节 一阶线性微分方程?

xiaoguansheng

§3.1
一阶线性微分方程?

形如?

+ C  k& h4 g& n( I+ c
2 J4 a* a9 w0 H2 n) w
% b+ L" g( u  Z" ^, q ＋p(x)y＝q(x)
  V+ @, x2 Q( Z) \- C1 y(3.1)?

的方程称为一阶线性微分方程。这是因为方程(3.1)关于未知函数及导数是一次(线性)的，其中p(x)，q(x)是某一区间(a,b)上的连续函数。?

特别，当q(x)≡0时，方程(3.1)成为?

) s8 n! R" l8 E5 N9 X
4 Y( K5 y: S4 I6 P3 g: C- h ＋p(x)y＝0
# v' }2 k' `1 v4 \(3.2)?

这个方程称为一阶线性齐次方程(这里所以称“齐次”，是因为y′与y是齐一次的与上节的“齐次”意义不一样)而(3.1)称为一阶线性非齐次方程。?

线性齐次方程(3.2)是可分离变量的方程，可写成?

! w! E3 C" Y7 @- g1 H% Y
7 `2 U& T' {' u6 L0 k8 Q9 q. F' y9 ^
＝－p(x)y?

或      ＝－p(x)dx?

两边积分得到
?ln?｜y｜＝－?∫?p(x)dx＋?ln?｜C｜?

即其通解为
y＝Ce－∫p(x)dx??

这里任意常数C也可以等于零，因为y≡0也满足方程。?

对于非齐次方程(3.1)，其左边与对应的齐次方程(3.2)的左边完全一样，而其右边的差异仅是q(x)不是O，齐次方程(3.2)可以看成非齐次方程的特殊情况，故齐次方程的通解也应是齐次方程通解的特殊情况。?

xiaoguansheng

还蛮不错哦!希望大家来欣赏

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算是学习了

南山烟雨

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南山烟雨

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