第三节 一阶线性微分方程?

xiaoguansheng

§3.1
5 Q/ A" Q. k, Q9 l6 b" _一阶线性微分方程?

形如?

/ Z$ o. L+ R+ N! b

5 x+ D, X0 u) ] ＋p(x)y＝q(x)
(3.1)?

的方程称为一阶线性微分方程。这是因为方程(3.1)关于未知函数及导数是一次(线性)的，其中p(x)，q(x)是某一区间(a,b)上的连续函数。?

特别，当q(x)≡0时，方程(3.1)成为?

9 j; a' R3 W6 t4 k4 j- U" Z. x
+ {" h! @) s/ |
- ?6 `& C; }0 ?; F; p4 V/ j ＋p(x)y＝0
  K9 W7 t# _7 |, Y(3.2)?

这个方程称为一阶线性齐次方程(这里所以称“齐次”，是因为y′与y是齐一次的与上节的“齐次”意义不一样)而(3.1)称为一阶线性非齐次方程。?

线性齐次方程(3.2)是可分离变量的方程，可写成?

; r: G. j+ [! H+ Z
0 u0 q6 E. O# v# p. Q" J
+ A$ {  i8 D- z1 \ ＝－p(x)y?

或      ＝－p(x)dx?

两边积分得到
?ln?｜y｜＝－?∫?p(x)dx＋?ln?｜C｜?

即其通解为
" K0 k$ F& f7 Y3 M# S/ T, M( wy＝Ce－∫p(x)dx??

这里任意常数C也可以等于零，因为y≡0也满足方程。?

对于非齐次方程(3.1)，其左边与对应的齐次方程(3.2)的左边完全一样，而其右边的差异仅是q(x)不是O，齐次方程(3.2)可以看成非齐次方程的特殊情况，故齐次方程的通解也应是齐次方程通解的特殊情况。?

xiaoguansheng

还蛮不错哦!希望大家来欣赏

look

算是学习了

南山烟雨

表示......
& ~! d) ~6 L( ~# I. Y

南山烟雨

表示......

& b( ~4 f5 X% ]9 m# W) K

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