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第三节 一阶线性微分方程?

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发表于 2009-7-2 11:38 |只看该作者 |倒序浏览
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§3.1
5 V+ ?$ S, K* `  `一阶线性微分方程
?
形如?

0 o5 z; D+ T. u. h2 J& ^1 C! O  N& Y# ^! r! ~8 t, c/ M
3 f1 R  m  ]. K7 Y- y
+p(x)y=q(x)7 w: s/ f7 i7 f+ y: z3 \5 C
(3.1)?
的方程称为一阶线性微分方程。这是因为方程(3.1)关于未知函数及导数是一次(线性)的,其中p(x),q(x)是某一区间(a,b)上的连续函数。?
特别,当q(x)≡0时,方程(3.1)成为?

8 C  z2 d: B1 b1 N# a4 V5 j" R" j# s7 O9 U
0 B* t5 g5 v9 i3 T3 L
+p(x)y=0
8 ~, M3 y' L( U) C& A(3.2)?
这个方程称为一阶线性齐次方程(这里所以称“齐次”,是因为y′与y是齐一次的与上节的“齐次”意义不一样)而(3.1)称为一阶线性非齐次方程。?
线性齐次方程(3.2)是可分离变量的方程,可写成?
' n: W4 p$ U: N, n

$ h+ O( x/ K- Z( M, V; t( o2 R! j' s$ r
=-p(x)y?
      =-p(x)dx?
两边积分得到9 L8 _" Q# D, j' q' S4 x6 L9 L' f: \8 L
?ln?|y|=-?∫?p(x)dx+?ln?|C|?
即其通解为
- ?) }3 s' H& `! \( c  P6 y- q6 M% q' vy=Ce-∫p(x)dx??
这里任意常数C也可以等于零,因为y≡0也满足方程。?
对于非齐次方程(3.1),其左边与对应的齐次方程(3.2)的左边完全一样,而其右边的差异仅是q(x)不是O,齐次方程(3.2)可以看成非齐次方程的特殊情况,故齐次方程的通解也应是齐次方程通解的特殊情况。?
zan
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