第三节 一阶线性微分方程?

xiaoguansheng

§3.1
一阶线性微分方程?

形如?

8 e/ k* E, J, N1 ], }7 `9 F
' j( j# h5 ~1 J- J, D& ?5 ~: Y
# `$ ~5 X; A6 {1 u ＋p(x)y＝q(x)
) u' o7 k7 ^; P(3.1)?

的方程称为一阶线性微分方程。这是因为方程(3.1)关于未知函数及导数是一次(线性)的，其中p(x)，q(x)是某一区间(a,b)上的连续函数。?

特别，当q(x)≡0时，方程(3.1)成为?

) O$ g# s! e* t. m1 D  o+ S- \ ＋p(x)y＝0
(3.2)?

这个方程称为一阶线性齐次方程(这里所以称“齐次”，是因为y′与y是齐一次的与上节的“齐次”意义不一样)而(3.1)称为一阶线性非齐次方程。?

线性齐次方程(3.2)是可分离变量的方程，可写成?

* |  x  X1 M4 ?( K0 I0 w& p
* C. @4 O) k6 O& b7 m ＝－p(x)y?

或      ＝－p(x)dx?

两边积分得到
" I- X# n9 ^# ]?ln?｜y｜＝－?∫?p(x)dx＋?ln?｜C｜?

即其通解为
9 d# a5 V. D/ u# t* W+ Ay＝Ce－∫p(x)dx??

这里任意常数C也可以等于零，因为y≡0也满足方程。?

对于非齐次方程(3.1)，其左边与对应的齐次方程(3.2)的左边完全一样，而其右边的差异仅是q(x)不是O，齐次方程(3.2)可以看成非齐次方程的特殊情况，故齐次方程的通解也应是齐次方程通解的特殊情况。?

xiaoguansheng

还蛮不错哦!希望大家来欣赏

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算是学习了

南山烟雨

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南山烟雨

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/ i& b7 f: J, b

1062015493

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