第三节 一阶线性微分方程?

xiaoguansheng

§3.1
一阶线性微分方程?

形如?

# L& s$ M# P- M1 a

+ T5 J# ~- \! A ＋p(x)y＝q(x)
(3.1)?

的方程称为一阶线性微分方程。这是因为方程(3.1)关于未知函数及导数是一次(线性)的，其中p(x)，q(x)是某一区间(a,b)上的连续函数。?

特别，当q(x)≡0时，方程(3.1)成为?

) F: {% ~' Y% w9 i. k6 H

＋p(x)y＝0
; d, `) C9 Q9 Z5 V(3.2)?

这个方程称为一阶线性齐次方程(这里所以称“齐次”，是因为y′与y是齐一次的与上节的“齐次”意义不一样)而(3.1)称为一阶线性非齐次方程。?

线性齐次方程(3.2)是可分离变量的方程，可写成?

% u  w* E$ y( R2 R, v( {

1 W& }3 t0 F+ s0 C5 ~' ~ ＝－p(x)y?

或      ＝－p(x)dx?

两边积分得到
?ln?｜y｜＝－?∫?p(x)dx＋?ln?｜C｜?

即其通解为
$ ^8 g5 S* u4 o$ J/ ay＝Ce－∫p(x)dx??

这里任意常数C也可以等于零，因为y≡0也满足方程。?

对于非齐次方程(3.1)，其左边与对应的齐次方程(3.2)的左边完全一样，而其右边的差异仅是q(x)不是O，齐次方程(3.2)可以看成非齐次方程的特殊情况，故齐次方程的通解也应是齐次方程通解的特殊情况。?

xiaoguansheng

还蛮不错哦!希望大家来欣赏

look

算是学习了

南山烟雨

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南山烟雨

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3 J, r3 v3 S, |" @. `, y7 z2 p
2 l$ V$ p) R( g. J

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