巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。

  j. Y5 Q, W) x( g- M　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
, v$ d, V* v" a; Y8 i+ T7 f1 k1 H- G' a一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。
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: x4 ~' K7 P8 G; ~　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
( j1 j0 m4 L* N的貢獻。
; L8 b* m. l* b" F5 r2 ?7 N( a" O" N
* m; }; Y' r# [1 v# y　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。

　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
  J, Q1 _$ s2 h- s6 S8 p5 Q$ \! Y，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
工程的研究，這是當時其他國家少有的。
0 R( u# y0 U0 X' w5 O, L7 g( i
　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
/ D" H# F8 ?! `土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
  @* l+ C& D6 f- ?" M, x1 X這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
" X" B  a" p# f4 }2 h1 w- z- j% \土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
7 _6 ~* J$ @9 Z7 `( ]( @及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
% j3 P+ D2 i( H+ |+ t微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
+ v+ n* V# V  |板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
3 @0 s& E- Y+ @* M, Z高。

　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。

. E0 ?+ r) P  K, x1 @1 J- b& G. Z　

2 e2 I8 t7 e, S' k0 V, }& F巴比侖人的記數法

& c  i, l. c' s  _: z　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
0 j! n  f, N5 T6 w1 p' Z進位。
% f  h, W! r0 R
　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
) v; m% W1 b6 D. D! H2 k  y「逢十進一」就是基於這種原理。

/ P. R! k2 y0 V3 h3 l　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
- u- r6 o4 G; t糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
3 E2 r- {* p6 Q& H
　　　　　　

# s! T6 K8 X8 K( ~　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
. M8 d$ s/ A9 P了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
4 k2 b! m( h2 P2 _4 T9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
3 i3 c5 N# d/ |" {* Y+ @上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
3 個小球。
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　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
! J) t  L/ R. `個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
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　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
法。

: c  d( {& f3 k. G5 z　
* g! J0 j- p) _) a9 U0 H+ J! D6 y8 [3 ^
　
- w5 P5 h7 ^- X7 `0 q
　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。

! ~: L6 t0 x4 U8 w# t4 y　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
: T, y5 L; ?5 Q- b" g, i等等，我們現代還是繼續採用。
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) d5 W$ R8 Q/ x1 u7 y" \　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
+ p8 j' W6 m2 \+ S) D吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

　
! R5 m' f5 W' ~% z) j+ O  @
& h$ p: ]# ]  Q9 ^; i, Q9 `7 q　
: {' D% n7 M( A) R* k) Y) B
4 f1 W; v. ?: E* X4 \5 D( ]  O( \　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
* l! {: L* N$ q# S1 i' ~$ a" @! @出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

- {/ q; n$ u- C! Z6 S　

# T" c5 r5 Y7 r8 v  Q! I　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：
! f3 O4 a6 }% O+ A* a) ?# t
　
6 S1 O9 T0 Y& d$ O  O
很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
, U4 X9 z; r! u  K5 [
* y* C. F# S: m  `- V　　可是接下來的卻是這樣的符號：

0 D, @9 w: e, ]7 z! ]　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：
9 D& O' R) M1 a0 k! w
0 T' {* v% k( T　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10

; ^; G- k0 k0 ~+ z" ]; A　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
+ b! S" S- k3 u7 \
& Z: c3 W& l: a# B/ c4 |! F2 B　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
5 M7 D, y6 H4 e) Y# a
, o5 e  J7 @( ^3 c　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
7 `+ n$ \* Z; U1 V5 {9 e. E9 p7 P
　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

. n0 j! R% q+ }3 B　
. _/ h+ f5 a$ F: b9 G
" `5 Z4 [. G' G% e/ l' F; A巴比侖人怎樣進行除法運算？

, J( [; S" w" O6 |0 c1 H6 p% U" j　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

2 30 16 3,45 45 1 ,20
9 a* L; y# O4 f  p3 20 18 3,20 48 1 ,15
4 15 20 3 50 1 ,12
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
4 ^) W  f, y" Q1 L! @$ l6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
+ s5 q# k- [1 q  k9 ^7 J5 Z" E9 6,40 30 2
4 K9 a' V, s  \6 ^+ Q% J3 O( y10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
15 4 40 1,30

　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
0 l" L' k" m$ d# T# @" `8 Y意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
; v( T* q/ n: Y: r8 h現在把以上的表改寫：

; B0 w! a" q! B5 E3 Q　　　　　　　

- g) X5 `' D. g, X* q2 W: W　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
對應 2,13,20意思就是：
3 G- x' V* x2 h$ p+ [3 R6 U
8 U  t" t& h; _# R　　　　　　 　
- N) g" f+ K6 k4 C+ f  {
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？
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9 {- {9 v8 i; I5 j  t. h　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
8 ]/ r6 A8 f% ~" V8 k' u數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。
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　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。
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! d( _0 d0 d6 h9 ]9 g/ X　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

( q7 v: {9 m1 I0 K　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
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  ]" k4 y& n+ t　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
+ q3 B( D) h9 `7 m# n、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
" K+ ^" k7 T! F決，這時候「倒數表」就很有用了。