巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化
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　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
8 M0 Q$ Y6 v! M" j亞和伊拉克。

3 n7 t  k# ]. ^$ j' q) I- Y　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
; H7 p9 l0 l7 l: A2 f. _6 N) x' a7 E一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。
9 B3 ~7 C$ _7 O- I- U, q
! w) K% }$ O; v; [0 k　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
- O  S5 \% u: W( t  `* u! b秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
的貢獻。

　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
7 h* w% ]8 |$ s' X8 y- X3 p磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
, ], b! o. X! M7 r; O2 Z板書。

% s2 m4 i: ^& H$ Y, R" R　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
' [; p+ T+ q, j- e7 ^# `，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
. s" H7 F* @9 ]; O. Q: L，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
% B+ P, k- S9 R2 r! q/ G工程的研究，這是當時其他國家少有的。
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　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
, Q" _) I6 ?! D5 y( {# d% }9 @7 f2 l土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。
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　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
! B& S6 Z4 {8 M$ Y( y板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
4 o; p0 o8 |: |, y; @. e* i除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
! M5 G1 h6 M) P  f' J4 d" }6 ]高。

　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
+ D! P8 h& q& E" g0 y裡就談談他們這方面的貢獻。

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巴比侖人的記數法

* C1 b) x. ~9 T% G' E　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
6 B# O( N" \8 b4 f9 H) p$ N進位。

& |! K2 g: \/ u3 D4 p6 d　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
" z4 Z# {0 o- M「逢十進一」就是基於這種原理。
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　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
, d, }0 \1 {6 H2 R5 ]  c助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
7 ?5 E4 l3 H* F/ K3 @7 x, }7 _1 ^糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。

　　　　　　
" i3 N7 n( |! i# {# q, g' z
+ P0 `; I7 ~& C, l! h　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
' s- p% u- N$ F; ]1 m  C6 d$ ~9 p, t了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
! \9 P0 E) a3 J: x' A- ^# `# D是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
  x4 U$ |# b' Y3 個小球。
/ o. l3 W, w! I3 w9 ?1 k/ T
1 ^, S0 b/ \6 R7 `2 r2 k2 D. J1 P0 }　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
  M% a2 K, l5 n- s) M' J個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。

. E7 z! ^) I" l; X　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
& j, R/ q: X9 U* o法。

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　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。

( t- }, |" }  |% g# w/ H. K3 ?9 @　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
& G$ D. w9 U( H  f, W  U五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
9 i7 S/ C8 l& f  T0 n5 J7 e星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
等等，我們現代還是繼續採用。
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　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
1 Q4 I: w6 X$ O; D吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
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+ W' W/ U! F& r( {: n6 f" ]　
( a- r" \( W# v# |% F: N
　
" h* Y. l! T" i9 G) x1 E( O5 S" \1 N6 ~6 a
9 y% x) }: |, \3 V0 ?$ K% g9 }3 P　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
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　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：

　
6 ?$ H3 e, H5 k; e
. k: j! A5 `& f  W7 m" q很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。

　　可是接下來的卻是這樣的符號：
( m1 C, S2 l% e/ C7 K4 o+ `
6 ?0 ^+ J8 H- F) |+ D　　　　
7 G# y8 [& W  }3 @/ {7 E( `  j5 I3 H　　如果我們前面知道的符號是寫成：
6 S! y$ D& n- M) ~3 n; o
1 H: J& O$ T; _$ f! ]9 K　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10

　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
, d) ~1 {# p1 h3 j9 n! `　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
4 v1 y8 h% d5 ^- Z
/ Q4 y) x! H/ C4 e0 J7 U9 ~　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
9 J8 A9 O1 |0 @2 z, l  W9 I; _就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
' O+ F; @3 @" ~) f, B* _將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
- F: g1 V9 B. ~  l$ Y# b! M5 O
9 T  ^  D  x; z3 M* A　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
# ^2 h# s4 @/ F9 P. l# M他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

0 o1 c1 c* c7 |8 }　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
/ M' O+ `* z2 j8 V看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
( J2 s* g9 i/ |
　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

5 c4 }5 ^. o+ G　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

: D, ?1 d6 ~1 Z) K　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
% ?/ L6 T0 W8 V  }1 V  Q1 S
  a0 f9 {+ @+ [0 e6 @" O9 _　
4 f  G$ A" |$ `) I
6 @: a, y4 Z7 X4 J  p巴比侖人怎樣進行除法運算？
9 r( Y1 W# S4 u1 P, ?
/ C9 \! T8 t! K! I! y1 V　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

2 30 16 3,45 45 1 ,20
* B6 |; c4 Y/ z" p3 20 18 3,20 48 1 ,15
) g$ r( _" X# F  u2 B9 M4 15 20 3 50 1 ,12
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
% G+ D9 _: U: W! g  T8 s  s0 ?( ^12 5 36 1,40
15 4 40 1,30
# {2 n* q0 W( B. w& ?4 O
　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：

　　　　　　　

% T) G2 y# y+ n7 Q" B+ N" [　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
對應 2,13,20意思就是：

  m5 ~  k8 {" X3 `# M/ r+ B　　　　　　 　

　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
4 A+ I' e1 S6 K) N' T9 x這是什麼原因呢？

　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
' E8 k( {) B" O, Y4 B) t數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。
, b. v2 P8 C$ x' k
　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。
0 c9 |2 F. m) i+ C' ]' o$ j: ?
$ q, c2 h0 g+ u2 p0 E' {4 ]. _　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
& l" c+ L( B: }4 h  \$ Z4 m( i決，這時候「倒數表」就很有用了。