巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
& }7 y( D; y6 j3 f) O9 q河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。
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　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
# X! S1 N* n9 d6 O* O- F: |  z. s8 {人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
% n% Z$ `5 C6 ?% r4 A  n4 d* o一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。
/ c9 J: x! z- l3 m
　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
% ?% R7 H* e+ U% y& M; D' Q; J: o秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
! H- x. ?0 A5 ?5 o+ f十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
7 r/ `+ _* R' j, x1 X: _的貢獻。

　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
5 y5 L: B4 U/ X( s2 o: L8 |的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
- c4 J; }, z' Z6 p磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。

　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
/ B- B4 p! u2 N: y4 U/ D7 ~，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
工程的研究，這是當時其他國家少有的。
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　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

- a8 Y) f, C. A9 p　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
( e0 g+ F4 t* l  B% j了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
6 R- V3 x. G, a$ L9 P' Y微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
5 m- t: X! H* L5 Y* D# P6 O比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
高。

- D; k4 I% z8 f0 z　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。
3 t; W+ [# c0 j8 D/ ^- B
+ p* o/ N$ [' I  r3 ^- i　
1 V# ?# x; @6 {3 G  s7 D( `
巴比侖人的記數法
" P, M0 o1 |9 d
6 C- m" M+ p1 Y* s- {% }' k　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
- {! @% D$ A$ M* W: X進位。

5 Y  J3 _( ]# l4 y　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
" A3 \6 S& U& g0 J+ V「逢十進一」就是基於這種原理。
+ Q1 i4 q$ f' d9 A, s
　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
: T5 m  P( w. @- u! E助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
& ]5 x1 K3 n4 @3 ?/ b糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。

　　　　　　
% g- }+ Z' v( m& Z% Y% r
  \0 G. Z! d* g, {: T/ W' ^8 l　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
# V" v8 l" T  S) s稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
3 個小球。
5 ^$ u5 b" D( V0 e
　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
( E$ z; s& y) i; [' p8 C, H( y個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
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6 V* V. C! L; ~8 r2 j: F( C7 C　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
2 N0 x0 I! [# Y8 e（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
- u$ q* Y. H. R: t* o1 b% `法。
1 t& \+ \; p! f) k. T! x( h* z6 ]$ o% E3 F
% R+ j" c# s/ F/ V　
; A3 Z5 K! x' N7 k. ]
7 P: a9 m1 [. C　
+ ?9 n) C: J1 [
　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。

" w0 ?# Y# K1 h; q: B: I　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
9 R. s# Y& ^) l- t五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
0 E; F: N: @, {' R( X等等，我們現代還是繼續採用。
/ ~+ w7 K3 x0 f3 Z; i3 v' X
+ B8 {" C5 q/ Q8 f( ]4 f　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
1 N' L1 s8 c7 z7 U* b* g吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
. O" ^6 t" s" E. v- Q
　

　
" }; }2 I8 a( M7 N/ _( L+ j6 O* [! A
4 v* q( I( j- f　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
4 Q" W0 \- a- v! Q& t, S: W出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

　

4 h: A0 M2 C6 g! b; A' R7 _　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
; l" v; H7 H2 e' d: \( Q前五行是形如：
# \' O% c! M; L% W; k' T7 m
　

6 ~3 q9 N2 |* u: ]& O很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。

　　可是接下來的卻是這樣的符號：

% Z/ _/ J6 P2 G% A% s3 Q& N2 b6 T8 B　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：
  \5 B9 z2 }- z+ h
　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10

　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
* `4 a$ n1 S5 @( w　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

0 R/ h0 W: s9 W/ i5 q0 h; e3 P　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
/ m" O- B1 Z* j2 E! I2 z& {就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
; @7 L( A/ L8 n" |  }9 R
1 I: {) x: V8 f; c& z+ [1 G. T　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
: F3 `% p3 M( @1 E& ?看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
2 |1 M8 T: y% \5 E6 h  i$ k
　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。
( b/ J/ e% U% T5 U
　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
4 A% P, D/ R4 k  P* v' N0 R) Y1 Y5 }
　
" j, g5 d3 w1 }
6 l: }4 T1 T& {2 G, P巴比侖人怎樣進行除法運算？
5 W9 y% {2 d: X6 g. W
' s; w8 c2 U8 J' V) h　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
8 D  Y. K, R* `  d4 Z% P- Z
2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
2 M0 o" B6 f4 X  j3 R# r4 15 20 3 50 1 ,12
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
9 6,40 30 2
+ X& P5 r1 o1 [5 h10 6 32 1,52,30
3 V5 a% ?0 m. _; b" G12 5 36 1,40
' ^2 i( T: z: ~" l7 b: b6 P1 x$ w15 4 40 1,30
) G  A: i- E7 L  |3 h4 n9 p  L
! f: e2 v9 u7 v* Y# w) X2 G　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
1 h' {; R5 j" G$ S% M" \: P現在把以上的表改寫：
, r  B5 j) c+ b/ R( f, h  R2 i
7 y& l3 ~) h/ @5 F7 s/ A　　　　　　　

* I1 H  d' G: {6 Z7 r) {　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
% b: ^2 p$ u- |, ?7 O對應 2,13,20意思就是：

) [2 y7 s) g6 ?8 s  n) o7 c　　　　　　 　

　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？

　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
8 U1 Y  k, x0 z* O4 P數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

) R( D/ s# R3 v4 S  a' E. s　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
8 T' b1 H9 Q; c4 C9 o1 s式以至無窮。

　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
, a2 w% I7 L6 ?6 Ca ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
2 Q5 W( W! s& S0 E) J7 q5 U化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

" S% i5 n! `8 V2 y8 h" F7 l, m1 I* y　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
) z% o6 Y, H5 d+ A$ m2 L、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
決，這時候「倒數表」就很有用了。