巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化
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　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。
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" k5 Q3 x# \) w3 o8 l　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
1 K/ A: h/ D2 d) K! U人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
2 h: G7 K+ ?8 R; v6 t7 {現在的禮拜日。
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　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
1 f( W  _" u3 ^! R8 y+ L4 g秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
的貢獻。

　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。
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1 H; l5 m( {! O: l9 e　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
8 e3 f% _, R* S$ P" g，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
; b% |, A+ i  }$ p& |工程的研究，這是當時其他國家少有的。
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( ]: B) R7 ^8 w3 M" U& m　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

# b  p+ N8 [* L9 f* b2 z　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
$ b6 H$ _# w4 c; j% K微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
6 A7 e9 |  v' q0 E除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
高。
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& ?! ~" b4 Q4 u　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。

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1 s2 P& \. X2 [6 t巴比侖人的記數法

　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
進位。

　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
7 y0 p" o& ~; Y5 b/ m' ~- ~. o「逢十進一」就是基於這種原理。

　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
% ]1 u, C  l% ]1 A3 z+ V糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
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8 E2 L3 p8 h) j: ]: W: m　　　　　　
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" q0 M$ S" p+ [0 f2 n, r% A　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
3 個小球。

　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。

8 s8 |8 t0 A7 }　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
) K0 s! Q0 R$ r& q2 r（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
法。

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) W# p7 O3 L% k' G7 l# G% z　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
% u0 ~9 o9 V' H- D" I% E時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。

7 ?) j4 D8 C7 X" w/ Y. ]　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
# h- N( r  b. r$ Z五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
0 a$ d3 k1 ]) c; f2 o" f. d* O等等，我們現代還是繼續採用。
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　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

　
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　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

　
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　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
' @: \7 c- O* H3 R0 U' W前五行是形如：
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很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
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& N% K( u0 H) G2 G/ {　　可是接下來的卻是這樣的符號：
7 A' x1 y7 a. `& ]
　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：
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　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10

　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
: |4 J0 O! l- A0 Y+ h2 \7 k1 e　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
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　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
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　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
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  c3 T6 p0 H6 R- p$ R5 b7 D　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
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! a1 i$ h% W0 s0 [& b　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

　

3 w$ h% N7 x  Y2 G巴比侖人怎樣進行除法運算？
1 E. }! i; g/ D# h+ M8 r/ E
9 K. G$ f- ^0 O  Q' s# D　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
, K! u/ ~" e7 ?
! q* F6 S' r4 o/ O9 T1 T# b2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
4 15 20 3 50 1 ,12
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
1 m0 ]8 S# W$ I8 D* _9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
. p. h. Z8 H! p! |# B8 {15 4 40 1,30

6 r* L. ]1 ^$ ^; ^  f5 O　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
" Q7 z% s( {/ t: r2 Q意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：

2 a, o2 l% {$ `3 Z7 X6 p/ w4 R　　　　　　　

) q4 N6 R6 L- A! P& i* Q# a　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
對應 2,13,20意思就是：
0 E. ^9 W5 I! W
　　　　　　 　
! k9 p+ }& L$ d$ D& t
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
. J; T4 v, K, A% `這是什麼原因呢？

/ t8 V  ~% P' j/ ~% f+ A+ z　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
2 p3 m0 f$ I, A數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。
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3 @8 l! _! ?! `% n4 |: e' \. X　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
% G5 X/ T6 q# k0 e& Z& o% d8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。
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, F4 M3 m1 g0 M7 H1 _1 v1 R7 |　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
3 n' `0 R( @2 o; ka ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
決，這時候「倒數表」就很有用了。