巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
8 A9 ^/ u$ |# z) C2 i/ H/ j河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。

" M* l& ]! y+ \( h5 F" p9 ^% h　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
6 t6 E6 }  F# s9 H7 m7 {; C人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
/ l0 w9 Z9 ^$ u$ e0 O( I: }- n' V一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
8 U; ]6 d) k& p* y& P6 S* n+ S1 R現在的禮拜日。

# e- u, u( b* v; C4 c, D　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
! C, [% g& X/ v' S( b2 X秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
的貢獻。

3 H" K! N3 H6 \+ x% U* ?7 e3 Q) E　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。
" }! }5 g; l) x
& F4 W2 ]- D. Y　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
3 u+ R* ]4 C9 @: V) v4 u& U( v，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
4 s! c, f2 R' C, k工程的研究，這是當時其他國家少有的。

; i! D9 X9 d" d/ w　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
" Z+ j1 I" ~" F土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
8 f7 j6 a% d8 x這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

1 z. [- ^+ `1 i! G5 L8 K" D! E　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
$ ?( V9 z6 |% n. g# Q及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
1 q5 m5 N8 M* A微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
) [% m) z: b1 \! {板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
9 a0 J/ ?4 ^6 C! k' O載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
, I  j& }8 i) O( n高。

- T5 {* n0 ^* h) Y( M　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
' y8 O. x% u8 d& Q6 j5 b裡就談談他們這方面的貢獻。

　

3 X; U9 w3 w" x6 P) Z7 D/ [; J巴比侖人的記數法

　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
進位。

　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
, q* r# d. P! q# m8 S1 _( U「逢十進一」就是基於這種原理。
) p' a& I' V% d
9 `+ P, B7 \% V; H' E* {+ {　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
& q; \/ E5 H6 a- I: S% Y" w: p助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。

. @! J7 H5 x! E　　　　　　

　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
0 q6 s8 {; L/ X了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
' f/ c$ h7 l. D8 |. t3 個小球。

8 N! p' [* D6 }' G- o4 O. m0 n　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
0 P- b9 L( F$ v2 A9 |7 u
　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
  c& a0 [% S) l2 }) r法。

　

8 E2 i; V8 J" e, E! t1 N+ Z, c* l　

　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
, D8 b) k1 e) u& K( e# m# d時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
3 f' a' k" |4 S+ J
　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
8 a5 ^- i3 {+ W3 c" O/ M五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
( K: J, t9 f! I' j( ?! s" ^等等，我們現代還是繼續採用。
9 F2 L; h- `3 e0 G. G
　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
$ f& @  D$ z9 G0 N. I* x吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
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& `0 a2 i8 A$ t) ^3 I7 ^, x7 ?8 e　
1 ^: u% i; ]: i4 n. B
  k- O( k5 z# _& c7 j: ^　
3 h9 q( w  \# q/ G3 T
1 D# x3 s$ E' g% p* s　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
5 e, l% s: z# J  p* {出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

　

4 w. B4 d- W2 \& ^. u　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：
- `/ B+ k$ L, N
( H9 ~/ ^, [3 A* [* C+ U) w　

* a5 x, I  X, t# s; M* g# r很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
1 l- _! ^* Y" Y+ J+ L0 P& w
  f6 ?+ v/ x3 z4 \　　可是接下來的卻是這樣的符號：
: u9 H1 {7 e; |: B
　　　　
. V; Z9 B2 y' w. G4 g8 z) `( I, d　　如果我們前面知道的符號是寫成：
* V/ K* F% R/ p! p4 S
! i- Q% s0 C4 `5 a3 K　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
. |2 Z& U9 j; L! D6 d* ?: J5 `
" k/ m4 C, n. b/ f: ]2 V　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
* J; v& _/ X$ _% S) S2 |1 e　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

, E7 z& {6 }) G) x/ ^2 x　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
3 ~4 ^( T+ z: ?4 h5 y; b  B' n就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
' d5 D7 Z8 u0 @9 E
5 M; I  N( |# n- a& x　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
. R' M% ?2 m0 |9 N, @( I
4 Y% w+ r  u0 q+ D# U! v2 h. |　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
! \9 A2 i. I  o& t0 I看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。
  w4 j$ y" H% r" M' m
6 O/ Q3 W+ g! ~) g9 ^　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
* |  b* P4 E' e9 v
+ ]6 r2 Z4 m7 ^* e0 o/ `# y　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

. I; \- ]1 o6 o4 C% y　

; K# `8 f$ J" _9 y, B巴比侖人怎樣進行除法運算？

2 `4 z' L! r8 \5 ?! T2 K' A- f　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
$ ?8 O" o, R" _$ f- B
, y, t; X; k0 l( N0 g9 M- _# Z, [2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
4 15 20 3 50 1 ,12
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
5 G1 X# D3 M0 k' I2 @! F9 6,40 30 2
# g* ^4 L7 N9 \6 m! _1 c) b% f10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
: b# ^4 m2 j5 {) S& v15 4 40 1,30

6 M. E% F7 U( v　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
9 N) j1 V) I1 a意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：

　　　　　　　
$ y5 c0 r  W( V( Q! J; o+ `8 o) W( y8 l
( V- u1 U" ^/ J9 Z0 w　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
4 d. s9 E- V3 V3 n對應 2,13,20意思就是：
, U- f% u: B$ o& |/ y1 ~; q2 Z
7 ^& ~$ @* z# [　　　　　　 　

9 y, G- C- G, l/ o% a/ R　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？

　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

# S+ H. Q3 h5 x　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。
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　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

* u. M, J3 C8 n+ ]  F+ g6 @　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
+ m! ]1 Z# ~( U% ga ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
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　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
- g; l" @: M4 H  ?# Q/ v4 U, k; A決，這時候「倒數表」就很有用了。