选择排序

韩冰

<>对于给定的n 个元素的数组a [ 0 : n - 1 ]，要求从中找出第k小的元素。当a [ 0 : n - 1 ]被排序时，该元素就是a [ k - 1 ]。假设n = 8，每个元素有两个域k e y和I D，其中k e y是一个整数，I D是一个字符。假设这8个元素为[ ( 1 2 ,a)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 4 ,d)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 2 ,g)，( 2 0 ,h)], 排序后得到数组[ ( 2 ,g)，( 4 ,d)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 1 2 ,a)，( 2 0 ,h) ]。如果k = 1，返回I D为g 的元素；如果k = 8，返回I D为h 的元素；如果k = 6，返回是I D为f 的元素；如果k = 2，返回I D为d 的元素。实际上，对最后一种情况，所得到的结果可能不唯一，因为排序过程中既可能将I D为d 的元素排在a [ 1 ]，也可能将I D为b 的元素排在a [ 1 ]，原因是它们具有相同大小的k e y，因而两个元素中的任何一个都有可能被返回。但是无论如何，如果一个元素在k = 2时被返回，另一个就必须在k = 3时被返回。

选择问题的一个应用就是寻找中值元素，此时k = [n / 2 ]。中值是一个很有用的统计量，例如中间工资，中间年龄，中间重量。其他k值也是有用的。例如，通过寻找第n / 4 , n / 2和3 n / 4这三个元素,可将人口划分为4份。
$ R# `4 m. ^  u$ {3 {0 r& p
/ W& H: y# {! p. Y2 ~选择问题可在O ( n l o g n )时间内解决，方法是首先对这n个元素进行排序（如使用堆排序式或归并排序），然后取出a [ k - 1 ]中的元素。若使用快速排序（如图1 4 - 11所示），可以获得更好的平均性能，尽管该算法有一个比较差的渐近复杂性O( n2 )。
% b! ], R$ Y) p& C3 D
5 B( X9 M* @! Q) c' \) m可以通过修写程序1 4 - 6来解决选择问题。如果在执行两个w h i l e循环后支点元素a [ l ]被交换到a [ j ] ,那么a [ l ]是a [ l : j ]中的第j - l + 1个元素。如果要寻找的第k 个元素在a [ l : r ]中，并且j - l + 1等于k，则答案就是a [ l ]；如果j - l + 1 &lt; k，那么寻找的元素是r i g h t中的第k - j + l - 1个元素，否则要寻找的元素是left 中的第k个元素。因此，只需进行0次或1次递归调用。新代码见程序1 4 - 7。S e l e c t中的递归调用可用f o r或w h i l e循环来替代（练习2 5）。
) z. N7 i# Y& n$ ?
2 E% G) S1 H7 d! O( `程序14-7 寻找第k 个元素

template<CLASS T>

! M# Z! g' K! W/ a+ L# rT Select(T a[], int n, int k)

{// 返回a [ 0 : n - 1 ]中第k小的元素

// 假定a[n] 是一个伪最大元素
$ g! _7 ^/ |6 W  g2 f
if (k &lt; 1 || k &gt; n) throw OutOfBounds();
6 d$ s2 }$ {* y- f5 i5 J# o
# Q$ }5 A1 y) d' f0 @return select(a, 0, n-1, k);
' S& s1 F1 Y9 c; E& `" D% H6 ]
, K6 c1 |9 R- `7 K' x4 f}
1 h% r' I; B. B# f
template<CLASS T>

T select(T a[], int l, int r, int k)
: m* P, g# g4 x/ i. ]2 O
{// 在a [ l : r ]中选择第k小的元素

if (l &gt;= r) return a[l];
) g9 v' [( B" V' T
int i = l, // 从左至右的游标

+ K  z& {+ e9 y$ ^$ N2 _& ej = r + 1; // 从右到左的游标

2 p8 {2 E, w; F* ?" I* ~  C7 B; C2 mT pivot = a[l];
% X8 u2 R4 {- u: g; o
// 把左侧&gt;= pivot的元素与右侧&lt;= pivot 的元素进行交换

while (true) {

9 E- n2 [/ ?, I4 s7 g6 Wdo {// 在左侧寻找&gt;= pivot 的元素

8 q' V  T# W8 ~1 wi = i + 1;

, T1 P( P# q/ k9 ~% v} while (a &lt; pivot);
  Z- D/ p0 g, O1 d, H5 Z9 ^9 W0 T
/ q5 c& H& w# h' [8 vdo {// 在右侧寻找&lt;= pivot 的元素

9 U2 K! |+ [& ~: Oj = j - 1;

} while (a[j] &gt; pivot);

if (i &gt;= j) break; // 未发现交换对象

3 e4 c% V' n% HSwap(a, a[j]);

}

if (j - l + 1 == k) return pivot;

// 设置p i v o t

a[l] = a[j];

8 z3 r' {$ `& z% ]a[j] = pivot;

3 ?/ x/ h5 r9 X! a// 对一个段进行递归调用

2 S3 Y) @2 w; L( }+ U' Rif (j - l + 1 &lt; k)
1 P, n( y6 ^: k
return select(a, j+1, r, k-j+l-1);
7 m2 s$ X3 x( ^# M
( f8 [+ O- J. h2 h! pelse return select(a, l, j-1, k);

7 N3 ?& Z0 O9 Z# q}
7 N( l4 u9 b( {5 _' h5 k
程序1 4 - 7在最坏情况下的复杂性是( n2 )，此时left 总是为空，而且第k个元素总是位于r i g h t.

9 N0 u2 l. h) ?; f如果假定n 是2的幂，则可以取消公式（2 - 1 0）中的向下取整操作符。通过使用迭代方法，可以得到t (n) = (n)。若仔细地选择支点元素，则最坏情况下的时间开销也可以变成(n)。一种选择支点元素的方法是使用“中间的中间（ m e d i a n - o f - m e d i a n）”规则，该规则首先将数组a中的n 个元素分成n/r 组，r 为某一整常数，除了最后一组外，每组都有r 个元素。然后通过在每组中对r 个元素进行排序来寻找每组中位于中间位置的元素。最后根据所得到的n/r 个中间元素，递归使用选择算法，求得所需要的支点元素。

例2-6 [中间的中间] 考察如下情形：r=5, n=27, 并且a= [ 2，6，8，1，4，1 0，2 0，6，2 2，11，9，8，4，3，7，8，1 6，11，1 0，8，2，1 4，1 5，1，1 2，5，4 ]。这2 7个元素可以被分为6组[ 2 , 6 , 8 , 1 , 4 ]，[ 1 0 , 2 0 , 6 , 2 2 , 11 ]，[ 9 , 8 , 4 , 3 , 7 ]，[ 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 ]，[ 2 , 1 4 , 1 5 , 1 , 1 2 ]和[ 5 , 4 ]，每组的中间元素分别为4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2和4。[ 4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2 , 4 ]的中间元素为7。这个中间元素7被取为支点元素。由此可以得到l e ft= [ 2 , 6 , 1 , 4 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 5 , 4 ]，m i d d l e= [ 7 ] ,r i g h t= [ 8 , 1 0 , 2 0 , 2 2 , 11 , 9 , 8 , 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 , 1 4 , 1 5 , 1 2 ]。

如果要寻找第k个元素且k&lt; 1 2，则仅仅需要在l e f t中寻找；如果k= 1 2，则要找的元素就是支点元素；如果k&gt; 1 2，则需要检查r i g h t中的1 5个元素。在最后一种情况下，需在r i g h t中寻找第(k- 1 2 )个元素。
7 d! P4 y/ J% K  d% _
( u7 S3 n7 M0 S- J( b( j7 q5 e定理2-2 当按“中间的中间”规则选取支点元素时，以下结论为真：

- n! b) o7 d" M: s1) 若r=9, 那么当n≥9 0时，有m a x { |l e f e|, |r i g h t| }≤7n / 8。

/ s5 |3 I0 I. y, g& `% B) |2) 若r= 5，且a 中所有元素都不同，那么当n≥2 4时，有max{| left |, | right | }≤3n/ 4。

证明这个定理的证明留作练习2 3。

根据定理2 - 2和程序1 4 - 7可知，如果采用“中间的中间”规则并取r= 9，则用于寻找第k个元素的时间t (n)可按如下递归公式来计算：
' T' t% Q: e- L7 D; X8 h$ w
$ S# e! o, B  i. O+ f+ a* L$ U% B在上述递归公式中，假设当n＜9 0时使用复杂性为nl o gn的求解算法，当n≥9 0时，采用“中间的中间”规则进行分而治之求解。利用归纳法可以证明，当n≥1时有t (n)≤7 2cn (练习2 4 )。
5 ]. @8 I$ D: A  l7 s
当元素互不相同时，可以使用r= 5来得到线性时间性能。</P>