选择排序

韩冰

<>对于给定的n 个元素的数组a [ 0 : n - 1 ]，要求从中找出第k小的元素。当a [ 0 : n - 1 ]被排序时，该元素就是a [ k - 1 ]。假设n = 8，每个元素有两个域k e y和I D，其中k e y是一个整数，I D是一个字符。假设这8个元素为[ ( 1 2 ,a)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 4 ,d)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 2 ,g)，( 2 0 ,h)], 排序后得到数组[ ( 2 ,g)，( 4 ,d)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 1 2 ,a)，( 2 0 ,h) ]。如果k = 1，返回I D为g 的元素；如果k = 8，返回I D为h 的元素；如果k = 6，返回是I D为f 的元素；如果k = 2，返回I D为d 的元素。实际上，对最后一种情况，所得到的结果可能不唯一，因为排序过程中既可能将I D为d 的元素排在a [ 1 ]，也可能将I D为b 的元素排在a [ 1 ]，原因是它们具有相同大小的k e y，因而两个元素中的任何一个都有可能被返回。但是无论如何，如果一个元素在k = 2时被返回，另一个就必须在k = 3时被返回。
' P( _& ~. a8 a4 I. R
+ ^( I2 C7 J* W: J8 H% [选择问题的一个应用就是寻找中值元素，此时k = [n / 2 ]。中值是一个很有用的统计量，例如中间工资，中间年龄，中间重量。其他k值也是有用的。例如，通过寻找第n / 4 , n / 2和3 n / 4这三个元素,可将人口划分为4份。
, T& F2 F- \/ \8 [$ W: J3 `
. ^3 Y# [' W. G: L/ i5 [选择问题可在O ( n l o g n )时间内解决，方法是首先对这n个元素进行排序（如使用堆排序式或归并排序），然后取出a [ k - 1 ]中的元素。若使用快速排序（如图1 4 - 11所示），可以获得更好的平均性能，尽管该算法有一个比较差的渐近复杂性O( n2 )。

可以通过修写程序1 4 - 6来解决选择问题。如果在执行两个w h i l e循环后支点元素a [ l ]被交换到a [ j ] ,那么a [ l ]是a [ l : j ]中的第j - l + 1个元素。如果要寻找的第k 个元素在a [ l : r ]中，并且j - l + 1等于k，则答案就是a [ l ]；如果j - l + 1 &lt; k，那么寻找的元素是r i g h t中的第k - j + l - 1个元素，否则要寻找的元素是left 中的第k个元素。因此，只需进行0次或1次递归调用。新代码见程序1 4 - 7。S e l e c t中的递归调用可用f o r或w h i l e循环来替代（练习2 5）。
# k; Y) c% E: u( n' y" f
程序14-7 寻找第k 个元素

template<CLASS T>

T Select(T a[], int n, int k)
* Y1 j4 m% L* H; |# m
' r% p$ }% ?6 J6 m{// 返回a [ 0 : n - 1 ]中第k小的元素
+ Z4 S: V+ P0 n
" O( o& m/ g5 \1 A// 假定a[n] 是一个伪最大元素
3 J5 \  {0 F! O7 |' K2 G
* b9 @6 A5 L/ m9 `& Qif (k &lt; 1 || k &gt; n) throw OutOfBounds();
# l% Y( u2 {: B; E' p7 J( y9 v
% C$ y- @. o7 _$ j& C0 S. L9 z8 Preturn select(a, 0, n-1, k);
- k' k- s" S; E) C! b0 B; Q
2 h) X+ l3 d" p% A: i}

+ G8 n0 m4 f4 [( f$ z: j1 mtemplate<CLASS T>
0 `4 Z4 ^; w) ~' T0 U' {0 P
T select(T a[], int l, int r, int k)
0 E8 {" I) R' r# ?3 a( j. b
" V4 K, ?" \# t2 I# `1 r5 v{// 在a [ l : r ]中选择第k小的元素
8 ~4 b4 }# s* P) v, L
if (l &gt;= r) return a[l];

( _" k" H5 t7 z, _8 S! B/ |; y* Yint i = l, // 从左至右的游标

+ X- y' T+ r" Q, E1 |7 W+ b  M9 [j = r + 1; // 从右到左的游标
: A/ z$ `' `4 ?3 Z0 w: K: h
T pivot = a[l];

// 把左侧&gt;= pivot的元素与右侧&lt;= pivot 的元素进行交换

while (true) {
  B& @' T7 a, ^# }" h' @
9 u8 N6 S2 f4 W/ h" tdo {// 在左侧寻找&gt;= pivot 的元素
  H; i7 D% `4 o/ I
. Q$ Q( S- g, i, L1 \! [, ki = i + 1;

$ G* \( \) X! t7 C} while (a &lt; pivot);
. Y& h: F3 \" m  U; T
2 o8 M1 X& L# v6 A, Qdo {// 在右侧寻找&lt;= pivot 的元素
% ^  i- ?5 H- g; S7 C# R7 p/ `
4 u! ?; L+ G! O5 X/ R+ M' ?j = j - 1;
9 k( J4 N% g# G( b0 {  O0 m. F, {3 x
} while (a[j] &gt; pivot);

if (i &gt;= j) break; // 未发现交换对象
( n$ d. l7 J! T' n5 o4 X1 [
Swap(a, a[j]);

}

if (j - l + 1 == k) return pivot;

// 设置p i v o t
( e2 n5 i5 v3 V. r) Z9 P) t
a[l] = a[j];
! c7 w0 M* z' G. N0 V. N
) l0 U- w9 c' Y5 m: [a[j] = pivot;
# G0 s( j* x3 @- k% J. ^) @# \
+ ~( p0 x  T# J: {/ V* g2 _2 k// 对一个段进行递归调用
/ m" K+ z9 x) T% F" f$ `1 _$ d) x) a! v, F
- l' I# D3 ]! qif (j - l + 1 &lt; k)

- l! G9 f. L( E% ^return select(a, j+1, r, k-j+l-1);
! z, c. Q( z, }6 @6 |; o7 v
4 O6 e$ U9 c' h- E: _3 A  Yelse return select(a, l, j-1, k);

  t  O: Z0 [0 N4 ?1 ]}

程序1 4 - 7在最坏情况下的复杂性是( n2 )，此时left 总是为空，而且第k个元素总是位于r i g h t.

如果假定n 是2的幂，则可以取消公式（2 - 1 0）中的向下取整操作符。通过使用迭代方法，可以得到t (n) = (n)。若仔细地选择支点元素，则最坏情况下的时间开销也可以变成(n)。一种选择支点元素的方法是使用“中间的中间（ m e d i a n - o f - m e d i a n）”规则，该规则首先将数组a中的n 个元素分成n/r 组，r 为某一整常数，除了最后一组外，每组都有r 个元素。然后通过在每组中对r 个元素进行排序来寻找每组中位于中间位置的元素。最后根据所得到的n/r 个中间元素，递归使用选择算法，求得所需要的支点元素。
0 o5 R# d+ [0 v' B; f" V) e$ m
例2-6 [中间的中间] 考察如下情形：r=5, n=27, 并且a= [ 2，6，8，1，4，1 0，2 0，6，2 2，11，9，8，4，3，7，8，1 6，11，1 0，8，2，1 4，1 5，1，1 2，5，4 ]。这2 7个元素可以被分为6组[ 2 , 6 , 8 , 1 , 4 ]，[ 1 0 , 2 0 , 6 , 2 2 , 11 ]，[ 9 , 8 , 4 , 3 , 7 ]，[ 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 ]，[ 2 , 1 4 , 1 5 , 1 , 1 2 ]和[ 5 , 4 ]，每组的中间元素分别为4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2和4。[ 4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2 , 4 ]的中间元素为7。这个中间元素7被取为支点元素。由此可以得到l e ft= [ 2 , 6 , 1 , 4 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 5 , 4 ]，m i d d l e= [ 7 ] ,r i g h t= [ 8 , 1 0 , 2 0 , 2 2 , 11 , 9 , 8 , 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 , 1 4 , 1 5 , 1 2 ]。

如果要寻找第k个元素且k&lt; 1 2，则仅仅需要在l e f t中寻找；如果k= 1 2，则要找的元素就是支点元素；如果k&gt; 1 2，则需要检查r i g h t中的1 5个元素。在最后一种情况下，需在r i g h t中寻找第(k- 1 2 )个元素。
! h) k7 b# N" ?5 }- }: z
定理2-2 当按“中间的中间”规则选取支点元素时，以下结论为真：

+ s9 ~( h8 B) z  @1) 若r=9, 那么当n≥9 0时，有m a x { |l e f e|, |r i g h t| }≤7n / 8。

2) 若r= 5，且a 中所有元素都不同，那么当n≥2 4时，有max{| left |, | right | }≤3n/ 4。
' s5 `, ~; N( k: o9 b" k
证明这个定理的证明留作练习2 3。
2 }; _1 x& W, X0 y0 g. j: H
8 d1 U# w$ J5 D3 I7 ^. p根据定理2 - 2和程序1 4 - 7可知，如果采用“中间的中间”规则并取r= 9，则用于寻找第k个元素的时间t (n)可按如下递归公式来计算：

3 ]0 w5 j) h, R1 y3 e在上述递归公式中，假设当n＜9 0时使用复杂性为nl o gn的求解算法，当n≥9 0时，采用“中间的中间”规则进行分而治之求解。利用归纳法可以证明，当n≥1时有t (n)≤7 2cn (练习2 4 )。

  r8 J* N* E; D( t/ J5 t# Z7 e  d当元素互不相同时，可以使用r= 5来得到线性时间性能。</P>