数学趣闻

天子门生

数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如：

裸狗问题：

求证：不论一只狗有多少毛，它都是裸狗。

证明：1.没有毛的狗，是裸狗。命题成立。

2.有一根毛的狗，当然还是裸狗。命题成立。

/ J, y, V5 a! ]8 B- E! a

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

8 ^$ E8 t' C9 b/ T

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

: i0 M6 \) q9 h; d: ?' ^3 R) z

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

! b( p* X, w9 H1 @- q

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟

3 L8 f" R! }9 R; N4 w/ H2 \* H

3.假设有n根毛的狗，是裸狗。

: E1 q7 C. ?8 G) k; e0 O

那么有n+1根毛的狗呢，当然是裸狗啦（你能说它不是吗？）。

由以上可知，命题成立。

1=0=1/2？

考虑下面这个无穷级数：

: J% B* d' @! H# j/ ^( h& O- @

　　1-1+1-1+1-1+……

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

/ y; K% ~) a* a( i. [/ g

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

" w, h8 Y* y3 J8 a & ?. W4 b; F5 n" p# s

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

* Q' V+ P: F/ v0 O+ T: l* s

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去，得到：

2 r5 S$ `. m3 ]$ e" E) i4 ?. U9 q1 e 9 l7 ?9 h7 Q/ _: C4 n3 n3 ~) h6 m* y/ q

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

, n- L2 u4 O4 T7 E/ y

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。

8 M' C9 U1 R/ I6 R! P, S1 ]+ [

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

) A- g! `6 D1 U# D3 ?

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

: K, \3 l: q* O7 m# ?" Y" K/ r

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟