数学趣闻

天子门生

数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如：

裸狗问题：

求证：不论一只狗有多少毛，它都是裸狗。

证明：1.没有毛的狗，是裸狗。命题成立。

2.有一根毛的狗，当然还是裸狗。命题成立。

$ }( M# i* e* p/ A7 w

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

/ n$ M. R' Y8 m

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

I5 G% t2 }% A

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

) X5 F7 \. O/ j9 g) t: D7 d

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟

3.假设有n根毛的狗，是裸狗。

( a# [. i4 X. ^! H

那么有n+1根毛的狗呢，当然是裸狗啦（你能说它不是吗？）。

" E5 V# E& n6 @4 Y5 @8 ^* |

由以上可知，命题成立。

3 b, L* _' l# g

1=0=1/2？

考虑下面这个无穷级数：

7 k- K- D# Q9 V* d. _ 3 I4 p; K) C: U$ Z6 K. o/ N! P

　　1-1+1-1+1-1+……

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

" b" W7 n3 {4 q1 T: A" q 0 L- |5 q) H$ y

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

0 u [4 }9 x$ J8 Z* m9 z+ t

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去，得到：

]) R+ V+ r* ~1 c" Y3 c! k& P# r; _ - |9 Q) q+ N; d9 s( T" E

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

" Z F3 V( z+ c r

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

1 _1 `2 I4 r V2 l. q ' l1 p4 _, G- ^- \9 X

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

* E* ^0 v6 _% L" P* i4 h' M

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

5 h9 k+ W2 N- L3 i( a H

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

: W; \7 J, A: m

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟