数学趣闻

天子门生

数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如：

1 y m$ T% a2 L

裸狗问题：

求证：不论一只狗有多少毛，它都是裸狗。

证明：1.没有毛的狗，是裸狗。命题成立。

9 s/ V: A4 h( u9 Z( t' E! u, g

2.有一根毛的狗，当然还是裸狗。命题成立。

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

& |9 Q; l2 F! s

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

# {8 \( B& J$ k) j

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟

. j1 l" c& Q M; x1 }+ j

3.假设有n根毛的狗，是裸狗。

; x# }& c0 \9 ]4 g) G- c; g

那么有n+1根毛的狗呢，当然是裸狗啦（你能说它不是吗？）。

: t, i, o3 Q: P5 t9 P, ?

由以上可知，命题成立。

1=0=1/2？

考虑下面这个无穷级数：

　　1-1+1-1+1-1+……

+ ?2 T. P4 Y$ M2 @9 B/ ~* r - |" @5 n* L1 K$ {8 P, D6 a4 E

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

5 L' R! N: n8 ? t5 l& C$ O

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

/ M2 F7 O6 u9 v " s! Q* S# Z& A; y

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

9 P2 V; [; x c3 E 6 q) S. q; l4 @4 i4 p- U( A

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去，得到：

9 p. `3 K) G7 Z; i C7 }: w

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

1 e- p# l, I5 w2 X& M# \ + \) v- q# f8 Q$ U' A6 E3 i

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。

8 T; `0 ^1 p5 _# u4 ^) \- a

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

: c# _! o$ m) _2 I; R

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

& C" a8 m7 W8 N/ Z) A$ u0 s

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

- v& K! _2 Y$ G3 S2 @; J$ P& A

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

" R: ]* G1 i! }& }! l

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

5 P9 J2 ?) l) m1 [+ ~8 M' o + s6 D' V# M% J, \$ o: H& C% v

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟