数学趣闻

天子门生

数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如：

裸狗问题：

6 v3 q7 o/ a- t4 [( O

求证：不论一只狗有多少毛，它都是裸狗。

证明：1.没有毛的狗，是裸狗。命题成立。

2.有一根毛的狗，当然还是裸狗。命题成立。

% g5 h0 z7 l' P3 I

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

; A- B# i. {1 U3 [

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

) ? J6 o( p* N3 p5 e; u* q6 E

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

{( x1 ?; I0 }) Q1 L

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟

3.假设有n根毛的狗，是裸狗。

那么有n+1根毛的狗呢，当然是裸狗啦（你能说它不是吗？）。

由以上可知，命题成立。

1=0=1/2？

# @5 F8 J0 S5 Q* [6 r

考虑下面这个无穷级数：

8 t, o% ]; [& y% r % ^2 Z# d, u2 i- [1 d: R6 H% D# K

　　1-1+1-1+1-1+……

- E5 a0 k3 n* j5 l2 ~5 e

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

: `5 A* V1 [ i

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

/ v* Z+ N! D3 v1 o" F1 a# m6 g

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

% O) n) |6 F9 V( l5 t) E' ^

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去，得到：

( D8 y3 x: Y, Z- e; o . L- k U, L9 a) j" c$ V

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

0 J D0 h F* Y* o5 \! r

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。

6 E) q1 b3 a4 Y" F) ^

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

) t; V% w6 g# F4 b- _

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

: S) }. S- s7 S! Q

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

0 i7 Y! K& u0 J6 g4 S& c ! L+ i: v4 d! c2 H

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

+ D; P) n' o1 ]. K" i2 s$ o

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

4 w% M a! ?% d + H+ I( T8 ~6 j* ? m

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟