数学趣闻

天子门生

数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如：

裸狗问题：

求证：不论一只狗有多少毛，它都是裸狗。

* ?) _/ d# _2 ?4 d3 v& v+ p

证明：1.没有毛的狗，是裸狗。命题成立。

2.有一根毛的狗，当然还是裸狗。命题成立。

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

7 `5 j8 V) b5 F4 j1 K4 q; X2 a

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

3 J3 ?7 W7 {3 W

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

0 i4 y& P$ ]# a9 L Y0 a% z

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

- T) G" R" y5 K% F, T( S

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟

3.假设有n根毛的狗，是裸狗。

6 v! A8 O( U, o# R- s- h# `+ V

那么有n+1根毛的狗呢，当然是裸狗啦（你能说它不是吗？）。

由以上可知，命题成立。

4 L* |. k! Q! m4 T1 s `

1=0=1/2？

# R5 U- Z! y, P* d P/ \

考虑下面这个无穷级数：

& O+ K4 p2 k" a! C1 w; Y+ a

　　1-1+1-1+1-1+……

2 m. u/ G/ L6 P6 m$ `+ m `

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

" z7 X& Q3 S6 `! s

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

, ~) S+ @" F* J( Y8 P

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

/ M2 l% Y6 x6 Y9 |- P

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去，得到：

; J2 {4 b. i1 W 6 X6 f5 t+ `' y3 J, C/ }: h

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

3 N1 s6 |: |$ d" K0 E

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

7 }+ P, P9 c5 ?9 [" h' b# I3 F8 N& f: ^ 9 n9 B$ Z- Z( f+ v1 |- W0 J

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

7 l- Z" C9 Q' G; }- m

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

' k* M% G, v0 d

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟