谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系

大傻8888888

我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
9 V9 m& A) p& Mr(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2    其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2  c是拉曼纽扬系数
: V, P" \. z0 g. ?( _如果p不整除N.则上式成为：
r(N)～2cN/(lnN)^2
6 x" q; W. Y; A0 S6 {$ a# R根据梅滕斯定理，可以知道：
+ p0 W' V' F4 L! W6 J∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN    其中2≤p≤√N    e^(-γ)≈0.56146
+ Y7 g$ A9 N9 w) ]0 O6 u因为素数定理：
4 F$ n) o8 w+ Z; vπ(N)～N/lnN
所以有：
π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)      其中2≤p≤√N
( N1 F) `- Q9 A7 F% N也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
: x5 m6 E7 R& H! S  l同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]  其中2＜p≤√N，
所以                                                            
r(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2  
上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N  (1-1/p)里 2≤p≤√N
* @4 y" }, B2 j& x如果p|N，则
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明

5 o! s! C' A3 E, Z2 J& m