谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系

大傻8888888

我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2    其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2  c是拉曼纽扬系数
& d4 [0 W: r9 z) j如果p不整除N.则上式成为：
r(N)～2cN/(lnN)^2
根据梅滕斯定理，可以知道：
9 t, g! w" O; d* {8 y: Z) W: @. M∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN    其中2≤p≤√N    e^(-γ)≈0.56146
( }7 p. N' e: _( c, U' n因为素数定理：
) c. e( f% F. X& p  D" S3 mπ(N)～N/lnN
所以有：
π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)      其中2≤p≤√N
; j- R+ M' W0 U也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]  其中2＜p≤√N，
. E, p. J' H  m( A所以                                                            
r(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2  
1 r9 u' G& i6 F  O+ b  @上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N  (1-1/p)里 2≤p≤√N
如果p|N，则
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明

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