谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系

大傻8888888

我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
& m+ @. g2 K( {2 o7 X$ d( Xr(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2    其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2  c是拉曼纽扬系数
: p  }# u6 f5 p5 w如果p不整除N.则上式成为：
r(N)～2cN/(lnN)^2
4 H2 N, T8 e- F& L$ [9 V( Q. O: f根据梅滕斯定理，可以知道：
, z/ ]3 U' E, G6 E2 c8 S∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN    其中2≤p≤√N    e^(-γ)≈0.56146
! @% [" x0 L% h因为素数定理：
+ \; K, F- u% P; \9 B4 qπ(N)～N/lnN
所以有：
" W6 f, `# [* w' aπ(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)      其中2≤p≤√N
也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
* K! T, b% \. y9 w. D同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]  其中2＜p≤√N，
4 B$ P- B8 Z6 Q/ N( J所以                                                            
, _! Q% v/ r0 X4 Ir(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2  
上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N  (1-1/p)里 2≤p≤√N
: m( d0 q  S3 E  S7 _1 ^' ^# Q3 k, F如果p|N，则
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
0 O; C, S5 ^, f至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明
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