谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系

大傻8888888

我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
. ~+ }; ^& Q! x; F& S  wr(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2    其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2  c是拉曼纽扬系数
0 y3 x+ c  e# d1 f如果p不整除N.则上式成为：
r(N)～2cN/(lnN)^2
5 Q2 p8 Q9 A+ S5 s# `根据梅滕斯定理，可以知道：
( j+ V2 A: I$ c3 ]! H( f4 o5 ^) `∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN    其中2≤p≤√N    e^(-γ)≈0.56146
因为素数定理：
π(N)～N/lnN
7 `) T  ^: Z& L5 N6 D& C# d! h所以有：
' L8 D+ M: M1 I+ ?# ]! b; Aπ(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)      其中2≤p≤√N
$ q# C* K: O6 @) \0 {也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
- r9 _* m9 U* {* A同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
7 X4 ~% c7 ^/ u; e2 c- r=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]  其中2＜p≤√N，
) O( C+ i  C/ X+ c8 @" q8 H2 Y所以                                                            
r(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2  
4 D: t+ M! x7 B% Y! [8 E- G上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N  (1-1/p)里 2≤p≤√N
, P/ [' b6 @2 t2 Y  ?  x+ ?0 v' P如果p|N，则
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
# [: d0 j, R- Q至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明

8 \/ P* b/ F: w  ^