谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系

大傻8888888

我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
' b/ N8 s& Q$ |. \r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2    其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2  c是拉曼纽扬系数
如果p不整除N.则上式成为：
4 s0 s' t/ Q5 T7 Lr(N)～2cN/(lnN)^2
; x2 H5 D1 Y8 ^$ @# w根据梅滕斯定理，可以知道：
: l% ~5 |$ a; r0 Q∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN    其中2≤p≤√N    e^(-γ)≈0.56146
因为素数定理：
/ m( N7 [( A0 U8 g. D: w0 n2 U0 Sπ(N)～N/lnN
所以有：
- z: ?# L: Z# ?$ L% _π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)      其中2≤p≤√N
也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
. X+ S% S# L+ A3 D& N# N同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]  其中2＜p≤√N，
所以                                                            
$ V2 U% x% |1 R. ]- ?r(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2  
上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N  (1-1/p)里 2≤p≤√N
( u. @( |+ `: \' k7 [1 E如果p|N，则
" x( u, ~4 F  ?3 {! z1 Or(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
( L6 Z2 N% A- H0 N. A+ o至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明