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未解决的问题 1:
' i' [9 H8 M0 T! l3 e- ~8 和 9 是唯一的连续幂吗?
3 T/ N2 F @; i$ F如果一个整数具有形式 m^n ,则它被称为完全幂,此处 m 和 n 是整数且 n>1 。
- |9 m/ C3 r5 b. q一般推测 8=2^3 and 9=3^2 是唯一的完全幂连续整数。
7 L' O7 o) Z/ M: R( H
- b; |0 d& a. n, W7 Z% M未解决的问题 2:0 N2 w0 j" j1 K1 c' E
存在无穷个孪生素数对吗?
' }: U# A0 ], s. a+ M0 d. m一个素数是一个比 1 大的整数,除 1 和它本身外,没有其他正除数。3 d5 C& k+ Q+ R6 S+ {
孪生素数是二个差为2的素数。 例如,17 和 19 是孪生素数。
4 q! T" E% N4 D; o. k: ]- R+ c% D$ D( ^0 G( q7 Z. @6 t8 ^9 m1 e) C
未解决的问题 3:8 x9 d) {4 }: M1 f2 d
是否存在一个长方体,其边及对角线都是整数?
* y, P6 C1 c/ @, G6 S. y对于一个长方体, 我们意味着有六个矩形面的一种立体。 这个通常的图形也称为矩形平行六面体。
. _* K8 _. R% `8 z" i: E长方体的对角线包括面对角线和体对角线。面对角线连接一个面的相对顶点。体对角线(或空间对角线)连接长方体的相对顶点。
) S2 {2 [5 x, A
9 f- t/ Z J" y- Q未解决的问题 4:% u3 G2 }' T; N- K
一个封闭平面曲线能有超过一个的等弦点吗? . u* }- x4 e! k! G7 y! ~' ]
连接曲线上二个点的线段叫做一根弦。
; X5 |9 m8 q3 Q ~) m一个在封闭凸平面曲线之内的点被称为等弦点,是指经过那个点的所有弦具有相同的长度。 例如,圆形的中心是那个圆形的等弦点。 . T# g: l0 R! K$ ^; u( v& g- |
还不知道,是否存在有二个不同的等弦点的封闭曲线?
0 S. G$ `& Y) q+ Q! S6 t1 x" t" ] L0 V- L+ k& D
未解决的问题 5:1 ?: r+ Y3 B- s
每一比2大的偶数是二个素数的和吗?
( Q# j9 t, c" X: w& V/ `! r/ z2 ~一个素数是一个比 1 大的整数,其只有 1 和它本身作为正除数。
8 ~* m) {" d3 a8 H3 l4 d# S例如,偶数50是二个素数3与47的和。 / m0 D2 L. D* M; P) z% q, a
$ `5 o6 `: v7 t9 ~" \- O% g
未解决的问题 6:
6 n; }' G: ~0 H! D有无限多数目的Fibonacci素数吗?
k0 [4 `7 n ^- r; i1 K/ T一个素数是一个比 1 大的整数,其只有 1 和它本身作为正除数。 9 j+ ~0 b7 @- V, a- J: v8 Q3 @+ U" q
一个 Fibonacci 数是下面序列的一个数:; \) H/ h" c8 H4 b
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...每一项是前面二项的和。
* k4 G F$ d2 p
2 `* o0 ]' v, I1 z+ B未解决的问题 7:
( B& Z' A* `1 p存在 8 X 8 国际象棋盘上的一个魔方骑士旅行吗?
: n# b/ e) g8 e) a; B+ E国际象棋盘的骑士旅行是一个骑士的移动序列,满足棋盘上的每个方形被恰好地访问一次。
' f3 F" k7 k) Z5 n设连续的方形按照顺序从 1 到 64标号,如果旅行产生的方阵是一个魔方,则旅行叫做一个魔方旅行。
9 u8 B' u- D9 u0 s* J; {一个魔方是正方形的数字排列,满足每行、每列和两个主要对角线上的数字的和是相同的数(魔方常数)。 ! @8 p' |3 A# P! D, R- I9 i3 U
半魔方骑士旅行是已知的。(每行和每列上数字的和是相同的数目,但是对角线的和不是那个数目)
0 s& V. h3 M4 z4 P
8 @" R) t+ L) t5 B; L1 e+ n未解决的问题 8:
0 _3 k L8 I# a Hπ+e是无理数吗? , b4 g4 ]( a! F7 L2 a
数π 是圆形的周长对它的直径的比率。' h. q' G& X, Y
数 e 是自然对数的底数,并且大约和2.71828相等。它是独特的数a——a^x的导数是 a^x 。; U+ w& N+ |8 D" [- x( b
一个有理数是可以表示成二个整数的比率的数。所有的其他实数称为无理数。5 g2 v; P6 G1 m5 `9 h4 s/ C, I
已知e 是无理数,而且π是无理数,但是不知道是否它们的和是无理数。 9 z% {% v! q- |- L
2 @' P" U' \' O# I, R h
未解决的问题 9:
% @6 S$ m2 M7 L. c. X# H1 J7 @设 k>0 ,所有的边长为 1/ k和 1/(k+1)长方形,能填满 1X1 单位正方形吗? / {- W. @/ d. O1 t$ e, A
) G A4 s; ?) ~; a% H
未解决的问题 10:+ V$ L9 t, U2 v4 ^; u
设n 是一个比 1 大的整数, 是否一定有整数 x ,y 和 z,满足 4/n=1/x+1/y+1/z? + l0 }: g4 V. p: X
设x 是一个整数,形如 1/ x的分数叫做埃及分数。
1 C! _0 o( a1 g3 V我们想要知道是否 4/n 总是三个埃及分数的和,为 n>1。
% _& i4 L5 _" t9 j# p6 Q8 l! |3 L) ~0 v+ l6 W# P
未解决的问题 11:6 F2 ~2 ^" D7 W; c* j
有奇完全数吗? $ c# ~ G) J+ R* _$ S0 P. L6 u5 Y0 B
完全数是一个正整数,它所有的正除数(除了它本身之外)的和,与自身相等。; ~* Y: ?/ f0 C; r& o
例如,28 是完全的,因为 28=1+2+4+7+14.
7 p8 I* u( s( S% z
1 H7 g" \* l& P; d8 p: [: S) _2 W' Z未解决的问题 12:
[" `% P( h: f$ e4 \每棵树是优美的吗?
1 t) l0 l+ a4 e9 v7 o0 k3 p- G一个图是一组点 (叫做了 顶点) 和连接这些顶点的一组线 (被称为边) 。7 `+ H5 v; a! ?, }
一棵树是有如下特点的一个图:从任何的顶点沿着边旅行到任何其他的顶点有一条唯一的路径。" L% T# x) [; S3 K r! {: B
一个图称为优美的,如果你能用从 1 到 n 整数标号n 个顶点,然后用数字之间的差额标号每个边,使得每个边得到一个不同的标号。 4 L1 k% C* t7 q/ o3 F' T
例如, 下列9个顶点的树的优美标号:
) x- ]' E' k* _9 g(5) (1)---(4)
' x* S2 Z3 e( _: S/ /& d, J" C( [1 N2 H
(7)---(3)---(9)---(2)5 J' ?2 l. x& p4 c8 K
\ \- W( T; F: Y2 I, \5 o& h
(6) (8)9 y' a6 A: _: ]8 [6 V" P2 Y
边标号是从 1 到 8的数。" R) @% z+ X+ s2 v
* Q& q& q1 L, T7 ^( H
未解决的问题 13:
% V2 r! T0 w A; H4 C" A& p. D平面上是否存在一个点,使得改点到单位正方形的四个顶点的距离都是有理数?
, p }% v" T' w) R2 \5 P: d% w有理数是可以表示为二个整数的比率的数。+ Q" @9 T1 j, M6 O% J+ D6 \0 G8 _9 e
单位正方形是边的长度为1 的正方形。+ U) a' |1 r3 C4 u& v7 B/ j8 Q
2 j0 V z7 I" d* Q" Z, i
未解决的问题 14:5 U8 G% f5 U! u4 t# u$ s. ]
1/1+1/8+1/27+1/64+1/125+ 的值是什么?
9 Z) X6 p- s* ?7 v8 q5 z第 n 项是 n^3 的倒数。
3 p& K5 o. F# ~8 ]) [! k' U如果幂次 3 被 2替换, 序列和是已知的(π^2)/6.
% k0 w$ q' b5 r& i" s% P# M如果幂次 3 被 4替换, 序列和是已知的(π^4)/90.
! N$ u4 S5 C9 m/ t& N/ [, n4 b5 j9 x. Y) }, u
未解决的问题 15:' \3 w$ Q! v% v1 \1 I
每个 Mersenne 数是非平方数吗? 8 b3 P# p: H% q" z
一个 Mersenne 数是形式如2^p -1 的数,其中p 是素数。
) h+ I/ h6 R! S! T4 M P" Z一个素数是一个比 1 大的整数,其只有 1 和它本身作为正除数。 ( y" {" h9 g- o3 _* o* B
一个整数称为非平方数,指的是它不含有完全平方数n^2 (n>1)作为它的因子。.0 x+ [$ |; R/ T' G, Z% h) E
0 o! c, r: B% P; `2 g/ L; b( f
未解决的问题 16:, [* t0 O# n2 i8 `/ n- E
每个钝角三角形含有台球路径的一个周期轨道吗? 9 s7 \6 U* T6 J' w( x+ B+ R
我们假设台球碰到每个边后,以反射角等于入射角的方式反弹。 如果它击中一个顶点,它沿着在那个顶点的角的平分线反射弹回。 轨道( 或轨迹) 是周期的, 如果在反射一个有限的次数之后, 它返回到它的出发点。" z' C6 |' j6 S1 s7 M5 @
% p5 U* U# W: D+ j2 n未解决的问题 17:7 h. L' M l9 M) M) X- n' p* O
在平面中存在这样的集合S吗?满足每个合同于S的集合恰好包含一个格点? " y; w7 k' \. Y( P. r
一个格点是有整数坐标的一个点。
7 Z& q( ]# y8 e2 Y7 T5 X
0 \; R% l. _4 A' |& @3 m% C未解决的问题 18:
9 i9 y0 _. p, ]0 q( b1 r& Y) d% j* |有不同的正整数, a , b, c和 d, 满足a^5+b^5= c^5+d^5吗?
$ v1 g/ c0 q3 L1 c$ Z0 G5 D已知1^3+12^3=9^3+10^3 和 133^4+134^4=59^4+158^4,但是是对5次幂,尚不知道相似的关系。
- H, c1 s4 V; A( ^其他典型结果
9 z X6 G* w$ F+ T27^5+84^5+110^5+133^5=144^5 + Y# B- t# D4 ^
2682440^4+15365639^ 4+18796760^4=20615673^4$ p/ M G+ |" N, g1 K6 [/ j8 x; F
b* S% e' ]- x; [" L9 E
未解决的问题 19:
! n7 Q) |* P( L# f当等大小的圆盘被挤压比较靠近的时候,它们联合起来的面积增加吗 ?
8 E1 O% R9 o/ Z* F X8 a1 I一个圆盘,我们意谓一个圆形和它的内部。二个圆盘的结果已知是正确的。 圆盘被一起挤压,我们意谓在挤压之后,所有圆盘的每两个之间的距离相比较变小。 一组圆盘的联合是被所有的圆盘复盖的区域。 圆盘允许重叠。3 y p, u) f& E7 S b
- \3 w& o& l0 G d& d0 N7 ]3 u
未解决的问题 20:# Y9 W0 k8 F+ e+ s
存在无限个形如 n^2+1 的素数吗? E, [; E/ E8 k
5 U* d+ ^; B9 [& H7 n _未解决的问题 21:
3 q# F# d4 \& u. @1 o每个比 454 大的整数是七个或比较少的正立方数的和吗?
4 k J& t$ d6 H/ ^0 ^' Q4 b
" s% O6 U9 k: z5 ]' w6 ]未解决的问题 22:
3 L @- z5 ^( B& \& W存在边、中线和面积都是整数的一个三角形吗?
5 U ]& X" o/ M( u1 F3 K% ~三角形的中线是顶点和其对边中点的连线。5 m9 R; m0 R8 t; w
) [, l' t' u) L5 y+ Z: B7 e& o0 V" o未解决的问题 23:
! x9 K1 H8 ?/ K9 e- p你如何安排球形行星上的13座城市,以使它们中的任何二个之间的最小距离尽可能的大?
- q0 K* p3 O+ y8 Z- a2 k0 m6 {" p) v, A
未解决的问题 24:
; h) O! i5 t0 A# Y' X在任何的二个连续的平方数之间总是有一个素数吗?
/ g& C+ _1 Y8 K1 q. ^ S
. F5 R3 o" w- i8 f" V; E+ R0 o" U未解决的问题 25:' K/ \* R" K6 j+ H$ f. T# O' Q( l8 E
从任何的正整数开始。如果它是偶数,二等分它;如果它是奇数,三倍它而且增加1。不断重复这个程序,是否最后必得到1?
% }: d, S; o& Q/ v; u6 c4 x# F v例如,由 6 号开始,我们得到:6,3,10,5,16,8,4,2,1.# P$ P: a% [! J- S
* I- b5 Z7 [% l' N
未解决的问题 26:" w9 a e% R- D' y v! b
给一简单的平面封闭曲线,我们是否总能找到这个曲线上的四个点,以作为正方形的四个顶点?
3 ]$ m/ e0 U e: U. ?" \! T$ R' U; p1 q, m& _6 F/ d
未解决的问题 27:
& b3 e" ?- p8 B存在整数 n 和 x(此处 n>7)满足 n!=x^2-1吗? ; R T( G+ A5 d7 U
n!意谓整数从 1乘到 n。: B* n+ d. `6 @. u" F/ h* V
已知 4!+1=25=5^2, 5!+1=121=11^2, 和 7!+1=5041=71^2.
* _( w0 ^! x% l) n R5 g, {% X( K i8 F$ i2 i" m" P- Q
未解决的问题 28:5 T3 s# S1 F5 B, V
3能被写如 1^3+1^3+1^3 和 4^ 3+4^ 3+(-5)^3 。表达 3 为三个(正或负)立方数的和,有其他的方式吗? ; ~2 \( ?) x( ~" j0 G- ?! ~+ W
' `4 G& M! R% c: G未解决的问题 29:. o; d2 H& F5 k, t
三角形A的边a1, a2 ,a3, 三角形B对应的边为b1,b2,b3。 变量 a1,a2,a3和b1,b2,b3的必要和充份的条件是什么,以使三角形A能放进三角形B里面?( [* q9 I: L9 | G: j: H
- m( |$ H) S4 g- [8 J. ^0 D
未解决的问题 30:
& |4 m+ D1 j) d9 {每个整数是四个立方数的和吗?
4 V+ ^9 r$ {- s, s( d# Y这里我们允许立方数是正的,负的,或零。: q9 w1 C8 _& I/ A6 \0 f
例如,84=0^ 3+41639611^ 3+(-41531726)^3+(-8241191)^3。6 S+ M: p$ Y3 s1 x& G; ^
例如,尚不知道148是否是四个立方数的和。
' ~7 u, M" G1 ]. h* w/ c9 Q: y! ^. L" A0 ]
未解决的问题 31:
h$ d% C' k2 D3 {. K总能在平面找到n点(无3点共线; 无4点共圆)吗?满足对每一个 k(0< k<n) ,存在由这些点决定的距离恰好出现 k 次。
: a: [0 G: B& o: v: _/ {例如,4个点决定 6 个距离。我们想要一个距离只是出现一次,另外的距离出现两次,第三个距离出现三次。 : ?$ ^% h$ `) y) m1 R2 u. W
至今,n=2,3,4,8...的构型已经被发现。; n# S! H) O# R
1 J+ |& ?6 A' s9 c$ d未解决的问题 32:. e8 D' z/ I8 p8 F/ E/ {
你能找出三个整数 x,y 和z,满足 (x+y+z)^3= xyz吗? ' ?9 S' n% Q$ M5 a+ C1 r7 V4 x/ Z
/ _5 a5 F. m* Y: a* Y u! o
未解决的问题 33:* s2 J* n# u. K
取一个常数A,平面上一定存在具有面积A的一个点集,使得包含面积为1的三角形的顶点吗?
) {2 _& r8 d4 N$ w- b8 A: K
& B9 f3 H& g6 Y/ C未解决的问题 34:0 z+ |. h- s( K, y; r: l" s! m
仅由二个不同的非零十进制数字构成的完全平方数存在有限个吗? [* h3 `( Z: z! b6 P: r$ R/ O
例如,38^2=1444, 88^2=7744,109^2=11881,173^2=29929,212^2=44944,235^2=55225 和 3114^2=9696996.
% _) l/ D9 M$ k3 g1 Q8 _# s9 \& q: R9 f/ `( z% j
未解决的问题 35:
' t, h& p0 c1 b8 M: D( }( J平面上n点不共线,是否一定有一个点,使得该点在至少n/3条由那些点决定的直线上? 2 l& u7 o4 }7 H& P9 s/ P+ d
# g) q4 `8 q7 p6 H6 w未解决的问题 36:/ o# `3 {+ b V) R
除了1,2, 和 4之外, 是否存在 n 的其他值,满足 n^n+1 是素数? |
zan
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