尺规三点分60°角的代数模型(pdf)

数学1+1

                                        尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
                                                      苏小光
             一  背景资料
  尺规能否三等分任意角，是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角，是因为
         cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
       当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时，
, w+ ^' B+ x1 D1 B2 b) v         8x^{3}-6x-1=0,
6 L0 s8 `$ b. L- t- | 这个方程没有有理根，认定尺规不能三等分60°角，从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]
要否证尺规不能三等分任意角，就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
) s6 r% A" p. ^+ l2 h* i9 Y        \gamma =20°,
' B! t7 ^0 w4 \) F" x' D1 G则尺规能三等分60°角.
# }0 s3 A- O7 X: f二  代数模型
- G6 H- @! Z1 [/ N      tan\theta =\frac{sin\beta }\left (  \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
  tan\theta = 0.1763265306
- c. t' h; K3 m2 j" ]所以  \theta=10°, 显然  2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。
$ l: W9 @( y* B: {! u4 F; Z" n- f三 代数模型的几何解释(或作图)
) I+ w8 J$ [! t, c7 T- X作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°，得到Rt△ABC，令\beta =∠BAC, 则
: B$ C/ {( @$ I1 z! @$ Isin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},
8 K8 K8 L3 T+ S/ K$ a) H! V- eRt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体，其底面圆周长
  l=2n\pi,
圆锥体的侧面展开图为扇形，圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等，扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则
) c( s- m) p( M, p* R/ b3 \l=\frac{aR\pi }{180},
即
9 e- v) j. K5 b! _    2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
' @; s9 o+ G7 @: a所以，a =60°.
在Rt△ABC中，
cos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
2 K8 l  z! ?5 G& h所以
/ }& C+ q. i% f8 ^9 xAB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
AD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ).
以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
  AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
9 N1 @  _) W; I9 x2 g" d- s) Y, G以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
+ w: C' s4 c! j( ]0 YAF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}
以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
令∠FAG=\theta,则
tan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}}.
1 b8 W& `5 A: h3 e# R% q/ m注[1]: 初等几何研究，朱德祥编，高等教育出版社，1985年2月，177-179.
( `0 K6 H  J# R( e$ U  N6 U$ ?; s
( P* E  g9 p; K. h1 q) c9 n- ?

数学1+1

数学1+1