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尺规三点分60°角的代数模型(pdf)

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    发表于 2012-2-2 23:28 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
                                            尺规三点分60°角的代数模型(pdf)6 X" W5 _; `' i+ U* H. F
                                                          苏小光3 L; b& C5 g+ L
                 一  背景资料1 I8 Q1 Q8 p+ J" |
      尺规能否三等分任意角,是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角,是因为
    5 ?! a2 L2 B9 g7 _1 T% ^         cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}1 K: c% n9 {2 B- C3 b
           当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时," y& z% s# f! r
             8x^{3}-6x-1=0,
    * E( F+ `2 K4 X+ F/ T 这个方程没有有理根,认定尺规不能三等分60°角,从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]
    5 T# B3 X, E! L- _; J! G; g要否证尺规不能三等分任意角,就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出+ M: C( N# E7 Q1 {/ r7 }! l* B. i- ]
            \gamma =20°,
    ) M# J- A2 J) G4 N则尺规能三等分60°角.
    / h' f# m& `. P3 B二  代数模型
    % Q- @- g) V: e* _5 O+ _$ l; O      tan\theta =\frac{sin\beta }\left (  \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
    7 u( W0 z0 d! {& A6 Y当sin\beta =\frac{1}{6} 时,- V' `7 i, m/ T. q: Y
      tan\theta = 0.1763265306
    % L# U* g' g2 @  b7 E所以  \theta=10°, 显然  2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。( E' K: u6 D7 k( b+ {% j7 i
    三 代数模型的几何解释(或作图)
    1 ?0 [3 h4 `: h$ u+ B7 X$ Y作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°,得到Rt△ABC,令\beta =∠BAC, 则
    3 @$ I2 m3 o3 wsin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},$ i4 N/ J% D0 t8 }. C: W  ^9 x
    Rt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体,其底面圆周长* {: K7 t8 t! L$ R1 x
      l=2n\pi,% N" w" O( n" S( ?' R  Y' M! h' @3 n
    圆锥体的侧面展开图为扇形,圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等,扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则
    5 W/ m. G0 N5 k' {6 N3 \l=\frac{aR\pi }{180},7 q0 a$ Z, P6 q# q
    ! ?* N3 k6 Y7 X1 t% O4 L# @
        2n\pi =\frac{6na\pi }{180},2 v. a; C+ [/ J0 b: k* H
    所以,a =60°.9 ^1 c9 {$ L, x
    在Rt△ABC中,
    / h9 h# T: y- e  u8 q4 `* dcos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },( N' X. N8 \) v4 e7 q
    所以" g! A* l! k$ L+ r& I
    AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.: }* d0 j% t  ]  |' R
    以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
    " T) P+ Y4 }5 NAD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )., c" `! ]/ N2 l2 K; I( Z1 p
    以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则- R9 j( F  B( E; E
      AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
    5 w3 e6 O! C: j: Z; ~8 M0 M+ J. d以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
    # {7 B' y* C& D# LAF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}0 d/ x* p1 @  N4 u7 o* X4 N, M( ?
    以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,# [9 _; J8 n, `  |
    令∠FAG=\theta,则1 R& L% Y/ F! M$ V. H
    tan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}}., f! V9 g5 ?: W! a6 h: h
    注[1]: 初等几何研究,朱德祥编,高等教育出版社,1985年2月,177-179.
    ! G$ i4 b5 Y& m! F" K9 m% e. A* ^  N
    zan
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