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尺规三点分60°角的代数模型(pdf)

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    发表于 2012-2-2 23:28 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
                                            尺规三点分60°角的代数模型(pdf)1 f! ^/ A. V" C* u7 j; a. Y% r
                                                          苏小光
    ! W" j0 |' [  m( d' o  U             一  背景资料) d" E3 {! [; K0 X; L6 b# p
      尺规能否三等分任意角,是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角,是因为6 x, _" c! h6 c2 h& |, S% b7 I
             cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}, J0 ^$ `9 Y4 ]! x
           当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时,& i6 g9 E. |' E( Y# N: C+ m# }
             8x^{3}-6x-1=0,
    ; t6 c- |4 ~* t  o5 p' F& W% ]* z. [8 i 这个方程没有有理根,认定尺规不能三等分60°角,从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]$ \: R/ F9 g, l. |
    要否证尺规不能三等分任意角,就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
    ) C1 h+ B1 h8 C6 Q7 h        \gamma =20°,
    5 [. |. t. z9 a3 Y则尺规能三等分60°角.
    / N9 g4 I% N! X- U. B二  代数模型+ r  g" M8 D9 c, N4 O/ c
          tan\theta =\frac{sin\beta }\left (  \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}# z- E7 S5 n6 K7 I& d. a
    当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
    $ }- w$ p+ \, c4 b  tan\theta = 0.1763265306
    ' c2 b% P8 h7 p所以  \theta=10°, 显然  2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。- _% ?) |& P8 C. \
    三 代数模型的几何解释(或作图)6 C" D2 p7 W6 C+ M/ g
    作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°,得到Rt△ABC,令\beta =∠BAC, 则2 I5 ^1 A& s  y0 ]8 F/ |
    sin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},$ \$ M$ K; W" c% U0 l4 R) y/ s/ H" ~
    Rt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体,其底面圆周长( x1 y  S# D4 Q  P  e# ~
      l=2n\pi,3 l$ c- B& Q8 A  I8 o7 x7 r
    圆锥体的侧面展开图为扇形,圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等,扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则" H7 R7 Q7 Z6 n# ^! c0 a( k/ g. w% j
    l=\frac{aR\pi }{180},
    8 K+ n3 n+ f) y6 ]8 N9 V( W9 H$ e
    + R1 j3 @+ w8 B+ a# k% F    2n\pi =\frac{6na\pi }{180},) b: F# }$ ]* r3 g- U* t
    所以,a =60°.+ O+ g+ U5 ~; o! p1 q: ]
    在Rt△ABC中,
    ; f: N4 I6 s3 S& @  h- P% K6 t; ~. Rcos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
    $ `2 p2 M: e* a$ Y  v2 T所以
    1 M4 n) E% e0 d; `# CAB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
    + p0 {% t5 E. Z* v1 y, Z以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则* ]% _  p: F( K% \" p/ y1 @
    AD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ).
    - z, R" q) l/ o3 O7 L: c以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
    1 r  ]) A  P. p3 j  AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
    ; p) {9 r' @  y& h( t4 V以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
    7 c' a$ @1 m/ t! I3 ]4 dAF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}& q" T) Q- n3 o9 j
    以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,' t7 H% f" C$ X6 i) @5 p) M: s
    令∠FAG=\theta,则4 {/ F' J+ o7 x3 X
    tan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}}.
    9 d  t5 w) B! f2 Z) r注[1]: 初等几何研究,朱德祥编,高等教育出版社,1985年2月,177-179.
    7 D% |+ e6 s  d; s6 c& |
    " x0 v  Y# B+ W, C, K( @
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