尺规三点分60°角的代数模型(pdf)

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                                        尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
                                                      苏小光
             一  背景资料
  尺规能否三等分任意角，是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角，是因为
5 ?! a2 L2 B9 g7 _1 T% ^         cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
       当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时，
         8x^{3}-6x-1=0,
* E( F+ `2 K4 X+ F/ T 这个方程没有有理根，认定尺规不能三等分60°角，从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]
5 T# B3 X, E! L- _; J! G; g要否证尺规不能三等分任意角，就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
        \gamma =20°,
) M# J- A2 J) G4 N则尺规能三等分60°角.
/ h' f# m& `. P3 B二  代数模型
% Q- @- g) V: e* _5 O+ _$ l; O      tan\theta =\frac{sin\beta }\left (  \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
7 u( W0 z0 d! {& A6 Y当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
  tan\theta = 0.1763265306
% L# U* g' g2 @  b7 E所以  \theta=10°, 显然  2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。
三 代数模型的几何解释(或作图)
1 ?0 [3 h4 `: h$ u+ B7 X$ Y作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°，得到Rt△ABC，令\beta =∠BAC, 则
3 @$ I2 m3 o3 wsin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},
Rt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体，其底面圆周长
  l=2n\pi,
圆锥体的侧面展开图为扇形，圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等，扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则
5 W/ m. G0 N5 k' {6 N3 \l=\frac{aR\pi }{180},
即
    2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
所以，a =60°.
在Rt△ABC中，
/ h9 h# T: y- e  u8 q4 `* dcos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
所以
AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
" T) P+ Y4 }5 NAD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ).
以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
  AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
5 w3 e6 O! C: j: Z; ~8 M0 M+ J. d以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
# {7 B' y* C& D# LAF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}
以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
令∠FAG=\theta,则
tan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}}.
注[1]: 初等几何研究，朱德祥编，高等教育出版社，1985年2月，177-179.
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