哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
% s7 H0 Q5 o! q$ F' K" n1 h    一、质数表示式
4 E' i- Z5 v2 F" H6 n4 v' [1、质数表示式的由来
( O" w' o. g- A3 W已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
$ R: n1 Y( I6 q将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
2 T/ K' u% ~0 O# z& q7 c. B则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
" F, K9 i3 O- H% b; N4 m3 m同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
  Q' v% i2 b' |. L( u即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
& {1 U& y) U% R. N1 G/ D9 i9 ?（2）式为奇质数表示式
0 t% P) m- M: O. W由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
" _/ s/ X. r$ N+ @ 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
5 D: k4 U" C" x0 g4 P  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
8 k2 d' c- w4 ^5 k即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
3 M! |# \! E2 O$ G' |# w用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
/ k- j, z: S! p) K3 cPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
1 Q, b+ Z; e& K其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
# W. {/ n& s+ d5 {( R' G即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
- h6 l/ r" e& j  E, h例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
: c" \9 ~6 i( u/ V2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
5 b+ p. t7 Z3 F! F3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
- ~7 N& O" T9 a1 S2 Q9 e直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
7 S( }7 K: n1 Q1 K- v  t! j0 p$ s$ k即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
! E8 D4 Y. F4 s& ?: r+ `在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
% w1 e4 G% n1 q0 t% `. h在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
) b% S4 R" ~/ E" M又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
, G  F. G0 R" h7 q% |即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
# e1 h% g6 G) y, C2 N( x2 Q由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
8 G$ K* d- \: L由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
! h) b) j5 F. E" O2 O! q. |（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
. T6 N' O" ^$ O5 o$ a/ o1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

6 v. }& C& k6 ~' T* V8 Q得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
7 `; S. i9 F" s若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
9 l& C$ o( L+ o5 y. z5 q即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
! W; b+ {* V! v( _( h: ^% R3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
+ t" @$ E1 w" w例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
" G) t/ V3 L  P2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
% w' u2 B( }  P2 ~/ p" MPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
* R5 O  w1 m8 ^$ n3 J$ [Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
: O: o+ u4 q( l因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
9 ]  ~6 y0 f1 M# u0 e(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
5 d# `. Z  v0 t" k6 g# Z已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
# ^* A  ~# w1 v2 y9 U
# U- P  d6 n( B  i  i5 v       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
+ [* q- t8 O/ T5 Z设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
; p/ I! Z: F$ H: w( @" ?' y若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
$ C) w% i6 Z- c" x若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
( Q' r5 F* ^- N6 y0 U& M; _+ S代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
8 v- Z# V1 |7 e( M' |5 K5 K代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
8 z+ g/ P- ^. l+ b! v' G: H- c. L或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
$ H9 o8 n' C  N0 s! q7 v当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
$ `$ y; a% P1 u' y5 V( {& r5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
+ w1 G8 p2 T1 t! k9 R7 a# s! n代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
+ U  Y- A" W$ V; Y或Pn*+Pn*+1=6+2n
4 K) G/ U) D( F1 k9 q& j6 y2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
- H7 |/ f9 d, i; k5 ~9 H即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
5 f% \" y3 k. w; l3 A- W在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
% H5 r3 L, c( y" v$ K0 t( p代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
( _, V5 M: ~4 y2 c若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
2 C! ~9 k( z/ C/ k/ j& V: w4 Z+ G得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
8 j1 m! m& \' z! G即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
0 J+ R# ]* R& s2n’=0,2,4,6……偶数集
. T' i+ u8 ^' p. [+ W" L9 k/ j9 un为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
. z/ V6 E# k( E: {5 Z0 D2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
' W  U7 o0 A+ A$ A+ s四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
; n. v& L+ G, P5 G( r又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
& K1 {% }% K. n! J6 NPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
# v( u) j$ u1 I2 S0 [/ PPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
- l6 [) w( Q4 g& x+ D' b或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
9 b0 s% u5 k- {8 M2 K( U- {（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
) p1 a# G4 R+ a6 X" p$ }! E得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
. W7 Z8 ]1 H0 {. [/ R. b2 a$ a     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
8 n. h: e( H4 C& {. D     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
: L2 X3 r; v- B) S' g    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
3 b, }* q! f! ~9 F2 I    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
1 S' N( L5 s0 w0 b5 @' X      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
6 J% p* C" a' H（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
9 k8 \- e! R, O9 I8 Z即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
% C3 R7 }4 D# P3 z1 |存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
( [8 m" x; h8 J; B& R9 Y- Y  \" `五、质数表示式的证明
. A* s; N% ]% [7 E* f/ D4 x) [1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
( c; d7 s! \, [/ \                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
( ]7 c' W* ]0 b                                             =0+3+20+3=3+23
! j, x* T4 S  l/ X) O4 ~. d- o第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
$ `6 \4 a5 I2 q9 B" H1 q这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
" k" K& \; J3 B$ n7 |0 \Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
$ N5 R$ D1 R, \+ K      =2+3+10+3=5+13
1 E( j3 [( E6 Z) U7 Q) P5 K      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
  `1 m) _9 }6 f$ d, v. l第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
9 a/ O( {1 Y; M  g  X            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
9 `  {+ F  j& ?' d9 m5 Z0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
0 _- `$ t2 j$ q' W2 U2 S它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
! H5 l/ X4 h6 J                                           =28+3+64+3=31+67
2 s: n! Q" L$ \& ~                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
4 A4 j: [; `/ T$ {- \8 l                                                   =3,4,5……
* i* g  i, [' g1 p即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
& n) `7 c  D& a$ ]6 S, ](1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
6 Y& v( ~5 q' U8 r5 D得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
( ^: J" f( |- m- G" P      Pn’=2n-2n’+3
0 C( {  T$ o# V- H# w, E9 J9 k又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
; k$ ^# b- Q! m2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
  ^, D3 o: a% x$ X! }0 S7 LPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
7 B6 n, T9 P, y- |2 _2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
" U; q0 ]) L- h# d3 S  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
4 w5 v$ g0 ]& m  Y9 \2 H  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
/ n! E+ V2 A% M' @  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
* b# n) C" D& D. Q/ T% x（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
5 f' ~  ]# U! W确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
8 @. u; A$ R3 J! q' d即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
6 t# @& K% N3 P5 N又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
' X% p1 I( ]8 S2 o2 ^" M   
" G# y4 e8 E( @$ d2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
, s8 ]7 u3 v' F: ~  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
: r+ R2 @2 M1 D6 N) ^则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
- H& H* a5 ^2 {3 \4 I" h即Pn’=2n’’+3 也成立
& @6 w6 `$ J$ j4 m) r: F" M- P3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
! f, v7 ]% s9 E3 T+ x3 ~" X     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
5 W+ t3 z# u- _; d7 g% K- E      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
& _- @, X& @& J$ w      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
+ l' F' i+ t0 I, U4 U      14       8        6         4        10      7        13          20
9 Y9 n* D" W3 X5 I" e! f# g      16       16       0         8        8       11       11          22
' X9 ?' e6 P1 F+ S9 k) k# O     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
2 q! L9 y1 b/ ^) {     92        32      60        16      76        19        79         98
, z& h& C7 B2 m7 H; R0 S- N# {     92        56      36        28      64        31        67         98
" R* u6 M, C' k. x6 v2 k! T     92        68      24        34      58        37        61         98
/ K) y* f5 s) \4 u# {" j     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
, M# F- V& }1 @1 f/ `     122       116      6        58      64        61        67         128
" P/ `- m6 A' G! ~9 V 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
' _) R, }: I! {6 d) o+ u- j六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
+ n) `3 e6 D5 O5 b3 @' e(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
* }7 ^# l$ I2 H0 P/ m" m5 n由上述三个特征得到三个定理（见注2）
) ~, _0 A4 q; ]$ z1 H0 P. m' D$ o8 q. n即奇质数之间的共同规律
7 i/ b+ k2 c4 {# R# a) D' r2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
$ W- V( X( l  h! I; ~5 \5 M ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
) D$ c+ p4 {: H  f& H* i7 G5 M+ T③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
4 L5 u" B# G9 \ ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
+ E1 O0 ]1 K+ _5 T  c- r鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
+ L0 d1 R0 z: x6 F) g" `" N因为因素与理由意思相近或相似
1 F. v# @, z  Y8 t: B% h9 d; i/ s% @公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
/ b3 [" D2 I  e$ X, W/ q公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
# ?- r! g" b3 A. T这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
4 c0 l* J" g- @# K6 C, Q2 |又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
2 ?! R" K$ D$ u  W０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
/ p/ w% d4 C8 T0 c( a因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
5 B# f! g$ c1 P9 r! B   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
+ M  K' ~; {0 Y/ x* I& F2 A. U注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
$ i5 y1 |3 o6 f9 S3 }下面来证明定理一：
, c. I# U5 n" F1 E+ ]已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
& m" U* f* S* z则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
) T1 t( e' N# A3 S% W8 g7 QPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
: y  @9 w- W! Q0 p+ x0 v由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
3 O3 i& c7 h9 S! l则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
pn        3        3        5        5        59        61
" R3 z) v7 {7 a; @6 a6 a, ^1 |
( W- \9 T( O  y# hPn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
" B' Y) N  x2 B! u$ ^3 r( a  mM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
4 n0 I! M( S$ k$ p8 M  M5 \$ e" i由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
: C( _( T, p) G! OPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2 G, \* R- O5 g; k8 M$ a2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
9 k# C7 r5 ?( D* m; ^; P* B2 s2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
3 a3 m- {% Z% C& i例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
; I: I0 i0 E8 x# O: [  i                                          3+3=1+2+1+2=4+2
9 G$ [* U# q. J                                          3+5=1+2+3+2=4+4
: z- t/ c) I, ]! j                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
4 V. X! s( n- N+ ?: m- H! z7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
  ]1 k$ J# t% F3 I' S& h8 L( \; v3 ^61+67=59+2+65+2=4+124
2 ?) ]9 O- M0 ~! b…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
. X* O% H$ f) _2 A/ R0 @( A若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
; Z  L( h& f9 U =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
8 E: p7 z. e% [3 ^2 v笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
) R9 d8 @, f; V" `) Q9 {$ h邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
  j6 u: N; ?$ y, a籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府