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哥德**猜想的证明

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蔡正祥        

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发表于 2011-8-26 21:32 |只看该作者 |倒序浏览
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哥德**猜想的证明+ M, D9 V& A3 g8 N( O, C
    一、质数表示式; L: c+ K9 J: Y- f  R
1、质数表示式的由来! j' n% F; @) u! ?5 y$ m
已知;P=2n+1为奇数的表示式,式中为n=0、1、2、3……,自然数集。因奇数中含有全部的质数(除2外),所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式,所不同的是其中有一部分不是奇质数,如:9、15、21、25、27、33、35......等等,这说明7、(9)、11,13(15)17,19、(21)23,23、(25、27)29,31(33、35)37.......
/ d# M' `7 N. K3 c* ^. e# |它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7,11、13,17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式,必须修正或选择。
" O/ c" h! T7 Z4 |, ^8 m6 Z将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
' S' V0 U1 j; F4 M! V) B已知两个奇质数(Pn’,pn)之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2,又知奇质数加1等于偶数,用2n表示,即Pn+1=2n,则Pn’=Pn+1+1,Pn’=2n+1......(1)’将(1)’式代入(1)式:pn=2n+1+2n",得n"=0即pn=2n+1( D2 \) W2 c, N9 E6 y5 R
以上说明,若两个奇质数(Pn’、Pn)之间的距离为2,即N=1,n"=08 c, \$ z* k% ~# o- R- ]
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同,为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7,11.13,17.19,它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。9 o9 v. O! V* O0 [1 }7 L
将n=1.2.3,5.6,8.9代入p=2n+1中得3.5.7,11.13,17.19。当N=2,D=2×2=4即Pn’-Pn=4,Pn’=Pn+1+3,Pn’=2n+3......(2)’’代入(1)式得n"=1,即Pn=2n+3如7.11,13.17,19.23.它们之间的距离都等于43 Z- i% L. h4 H, K  ?5 \$ X
即N=2,n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23,
, W" X% w5 |3 Z同理N=3,n"=2,N=4,n’’=3......。即Pn’=2n+5......(1)’’’,pn’=2n+7......。如:23.29.31.37它们之间的距离都等于6,即N=3,n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
1 _0 C4 G/ `! J/ T) D由上可以得出,n"与 N的关系,n"=N-1。
5 S0 O  ^) k. {$ J3 e即(1)式可以改为pn=2n+1+2(N-1)或pn=2n+2N-1......(2)/ ?7 p2 y: @+ p
(2)式为奇质数表示式
) R3 l6 W9 @: y由奇质数定理1(注2)得M=Pn+n’& a* I) i0 \8 P
将(2)式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-16 S+ D% X9 P9 h& E  I8 @4 n0 e
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……(3)
0 m6 O4 E" o- m5 Y6 B5 C+ `由上得Pn=2n+2N-1......(2) Pn’=4n+2N-1……(3)
  i* d" R# W0 D. i均为奇质数表示式 (2)(3)式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合,就能表示所有的奇质数,由此只能是奇质数表示式的基础式* L! q9 n+ p" y- s
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。 $ o" n5 N7 b2 c8 n$ R# Z2 J
  假设:两个质数之间距离不包含整个偶数集,如不包含2n"。7 ~0 K& O5 `. ~9 Y! C; H7 B+ k; X2 j6 O
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
! d8 n8 m& g1 p4 G! {即Pn'-Pn≠2n"……(4)式中2n"=0、2、4、6、8……∞
, H* @) ~& D) D7 C根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……(2)  Pn'=4n+2N-1……(3)
5 \& \2 p* p1 y. V$ q" x% L用2n"、 4n"分别代替2n 、4n    # r0 O  \3 c6 F6 K% P
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -(2n"+2N-1 )   Pn'- Pn=2n"……(4)’8 F# ?2 {* c, S, `( Z
                    
# w5 |/ J( G) l6 ?5 `" Y2 i其结果(4)’式与(4)式相悖,证明(4)式是错误的。
) D! P  m: C9 x0 v0 M. D% q) v这种假设不存在,证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。, s- n+ t- ?$ q# t
即Pn'- Pn=2n…(4)’'式中n=0、1、2、3、……∞
! ~2 K5 T4 {5 G例如:2n"=6,2n"+1=7,4n"+1=2×6+1=13,13-7=6
5 C' @: f* e% ^9 l7 X2n"=40,2n"+3=43,4n"+3=2×40+3=83,83-43=40
8 d7 A3 E" O4 F. f3 q& s4 w2n"=80,2n"+3=83,4n"+3=2×80+3=163,163-83=80
$ b; }9 x  C. L1 L7 g1 G2n"=100,2n"+27=127,4n"+27=2×100+27=227,227-127=100
( v5 I- N$ s1 _! V5 i, _$ N3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明3 _+ m5 u- t/ t& W* E
直接证明不行,亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
* i) `# L. `. @: u, d即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……(1)式在理论上成立或n为自然数集时(1)式成立。
9 ]& i( r5 k8 m0 X5 r: I在(1)式中设N=2,2n’+2n”=2n,即2n’,2n”为2n的偶数公由数(注1)6 [' m9 z) b1 B# j
代入(1)式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……(2)7 ?( b$ P' O) v* n, P' V  b  r
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3): r  o" d4 t0 a" L1 `  R
又因两个奇质数之差为偶数,用2n表示,即Pn’=Pn+2n5 U' d" u8 @7 V3 H: x! L5 c4 M
代入(3)式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式,即(2)式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式,即从理论上成立,
7 a$ s# x$ n$ o/ S% Z: T即证明(1)式在N=2,2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立( q( T0 v5 X( i9 u
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
  x  E+ a& ?/ {( ]" W: B: }# B从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。( g2 E  c' P' e/ s! B8 `
由此可以证明(3)式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   7 u7 t, ~; {$ A
4.将n=0,1,2,3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
" H+ k, f% ~$ }由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……(2)Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立, 从这个意义上讲
+ N. O0 }: |4 d2 h1 k(2)式或者(3)式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………(3)*为质数表示式  在(3)*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 (注3)
4 B$ M6 _4 |* Q7 T% x二、证明n为自然数集时(2)式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立,6 C1 ]+ P/ b, X1 H' J% Z5 j
1、在(2)式中设2n’,2n”为2n的最后一对偶数公由数" s/ `  K: U' E% P. Z3 S9 [
若n为偶数时,2n/2=n,2n’=2n”=n,代入(2)式,
& J& \: e4 C) F8 z
9 T' e9 V# u8 q& c3 I% l得(Pn+Pn’)/2=2n’+3=2n”+3=3+n……(4)
) }( W9 J) p  P- {2 k若n为奇数时,2n’+1=2n”-1=n
% L- B2 }$ @# V: u( l# w同理得(Pn+Pn’)/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……(4)’8 P7 q9 r% Z+ w; W
在(4)、(4)’式中设Pn=3得(Pn+Pn’)/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……(5)
0 }9 k1 ~. q' R0 T4 ?(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……(5)’3 D$ }  ]# t+ A. P2 Z5 A
2,由奇质数定理一、二(注2)得知(Pn+Pn’)/2=M M= Pn+n
2 m, s4 ]; |1 O即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数,将它代入上式,从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数5 N5 J9 t7 Z% h' R+ `, z
3、当n=0,1,2,3……自然数集,2n=0,2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60,60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60,61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60,61……∞/2,1+∞/2). L3 n0 D, ^, c, a: G) u3 x: B
设pn=3代入得M=3+n=3+0,1,2,3,4,
' u9 y* s1 ^6 ]8 @. Y5,6,7……=3,4,5,6,7,8,9,10……63,64……3+(∞-a)/2,4+(∞-a)/2)[a>2(Pn+1)]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.. p: W$ s) P" V" ?" G% j- [
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
0 W5 Q) e5 O0 T2 M4 r例  9 `/ T' W7 n' y* M- n4 v: u
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
# [9 s' Z2 u9 m" G. B2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2 P# S+ x# T% J+ H* [( Y2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60, N+ |/ Y$ A! o: p- {8 w
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
& v& x; C) W+ e- [M(2n’+3或n’+1+3)        3        4        5        6        7        8        9        63        644 \- O% j& u- A# b# Y: v
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61: l! T  k% z# N- A
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        675 R: s" u9 F  \2 j4 e
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128$ o& L5 o" X$ O  N- _6 m+ E6 |8 h9 z

. A5 L( y; v; r" M  X% J; r, |由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集,pn+pn’=2M=2X(3 4 5 6 7 8 9……)=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。4 j. y9 `* `# v& Y# ~
又例如,2n=22222222222222222   n=11111111111111111
! Q! ~' f6 n7 q5 W9 {( l& ?因为n为奇数,2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  3 z! T# X( v7 |
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228) g' O7 I, N' p$ W* K  a: L% H8 z5 |
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
+ l" C% E1 [, j! ?# pM=11111111111111111+3=11111111111111114
4 C" C! h% d* n* e% a4 T根据定理三,因M的左边相邻处找到Pn
. E9 C/ l4 e4 I* |1 [- ~1 w" E! s& O5 U然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’/ o0 H( a, d) T" I( R
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
% k+ {* O9 @5 j; e% ~Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
8 v1 T# X9 @8 [  [4 E  R. QPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
+ ]3 B' Z: E$ U% X4 K8 P& {5 M/ ]  b- u" _3 Y4 c3 E$ b
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
0 p' k% d8 N2 k- T, z% Q三,也可以这样证明
: V. {# m- x2 X) e! h( T1,        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……(1)式中  
) I5 G) J& K! N; |设2n’,2n”为2n的最后一对偶数公由数. R  ~5 s, D" K* ]
若n为偶数时,2n/2=n,2n’=2n”=n,2 Z* ]* i( \5 n
若n为奇数时,2n’+1=2n”-1=n        8 v1 \! v( E0 f; a1 O
代入(1)式 得(Pn+Pn’)/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
; i( k' x: O6 W4 z(Pn+Pn’)/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1% Q7 J5 d6 z* H5 [
或(Pn+Pn+2n)/2=n+2N-1=n+2N-1  8 i8 y6 w, j$ x  z: Q
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1# ~/ q$ u( G1 q9 g1 Y; A) ?
代入(1)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn+ e- ^8 `4 b! h0 Z
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)+ w8 S" ]7 h5 @) u" W! c
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……(1)  在理论上成立' `2 |' M; n2 O) a; N; l  ?- z' r
当n=0,1,2,3……自然数集,2n=0,2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60,60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60,61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60,61……∞/2,1+∞/2
9 c' x9 {3 L: U设pn=3代入得3+n=3+0,1,2,3,4,
0 O/ u' h2 g4 n& R& d8 p5,6,7……=3,4,5,6,7,8,9,10……63,64……3+(∞-a)/2,4+(∞-a)/2)[a>2(Pn+1)]' t6 @4 C3 _; Y
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n0 d" Q2 ~6 Z% t2 f9 c2 ]
或Pn*+Pn*+1=6+2n
$ ]' a; t/ E* g! H. h  u2,        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示( x9 R$ |7 u- u& N- ^6 P
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……(1)       
) L1 T0 R. M" F8 _# w! x在(1)式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
) U% X" D; b! k/ Y3 h3 U代入(1)式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……(2)8 J" I, _! l! j6 }! M/ k( k2 \
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数    - Z: W+ k# W$ h" B1 l
若n为偶数时,2n/2=n,2n’=2n”=n! ~) n0 g" M5 ~1 j+ M, r  Z6 z, m6 t
得(Pn+Pn’)/2=2n’+Pn=2n”+Pn
  J: U2 r/ j& r3 Z8 ^, e5 X3 n若n为奇数时,2n’+1=2n”-1=n9 ^, D3 Z  |. `; j  Q
同理得(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn" s( S9 X& U9 ?4 N, [
即   (Pn+Pn’)/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……(3)
; H+ Y9 p& D0 X  X2 cn为偶数2n=0,4,8,12……
0 k2 j1 g$ ~1 \6 o9 r2 u2n的最后一对偶数公由数为0、0,2、2,4、4,6、6……# b$ z+ L8 W- j- q. M& v; S' _
2n’=0,2,4,6……偶数集
* {5 v% `% ~6 y; `n为奇数  2n=2,6,10,14……
- h, V/ b% l. I" R/ K$ r& m2n的最后一对偶数公由数为 0、2,2、4,4、6,6、8……
: Z9 N' Q* r( f, \' V2n’+1=1,3,5,7……奇数集  9 m9 U% h/ D0 d. b: M
将以上数字代入(3)式得(Pn’+Pn)/2=Pn+(0,1,2,3,4,5,6,7……)自然数集4 [4 U% r6 v4 U$ v  V. B. |
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
: _1 H( I& D+ i% n- N设  Pn=2  或        Pn=34 s# u+ |# J6 c: P
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n$ H/ r6 i% Y: i
四,奇质数定理三的证明
6 I* N, \  C* ^9 C1 L(1)        已知M=3,4,5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集4 c- z3 p% t. C5 p6 {. T1 s7 L6 u
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
6 Z9 b0 ?$ d# h' DPn’-0,1,2,3……=Pn+0,1,2,3……=M. L9 X7 v5 l, q, g0 P6 O: [$ W( i
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……: c7 t9 k, J; E$ S  T% C1 A, L
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’) m+ U) n7 P+ p1 S# k" C  a* ]" O
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立/ S! N) b+ j6 }  {8 O, p
(2)        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0,1,2,3,4,5……
, i" z# q/ T" J8 C/ Z+ z                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0,1,2,3,4,5……
( S( i2 i  U: R. t6 i% ]1 z得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=69 C$ K0 T5 N- ^* P( X+ R
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8$ M. V. B( u5 }0 N- F. [5 F) u! ]
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =103 G. }, D+ w& t' K: g4 h
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12) S3 O" Q' a' q& F% f- x! R/ Q4 b
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
' U! f  S; x5 ~3 q% ~    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16/ e0 \1 ]# S' F- y: ?& X
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
+ f5 F2 L% D0 Q3 z& @    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20# X: Z) E# u5 o
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
6 c- X$ J. E5 `$ |- e    =12-5=7   =12+5=17    =12           =242 |. ~+ _# m+ H& }/ b
Pn+Pn’ =3,4,5……-0,1,2,3……+3,4,5……+0,1,2,3……' N% P! H( O# l7 k
      =3,4,5……+3,4,5……=2x3,4,5……=2M=6,8,12……=6+2n6 ^/ X4 G4 L# D, h% T) X- Z& N3 y
(3)已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
) w$ `8 I' C' t2 x  m4 ^8 ] 或 M-0,1,2,3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
! P# \) R- }, O  ?( A; ]  {) u即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0,1,2,3……处7 f1 S3 z' }5 A& Z
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见(2)' \% H& l- i1 K
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
  ?/ O; e6 c  K五、质数表示式的证明2 t$ c. j' K8 D2 @! H4 e: i
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………(3)为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……(2)     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  . d% v! u' x: e8 A  z4 Z1 Q
在(2)式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数,即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
# W3 ?' F/ j, Q$ b$ C* a第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0,1,2,4,5,7,8,10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入(2) 式均成立,2n的第一对偶数公由数为0,0、0,2、0,4、0,8、0,10、0,14、0,16、0,20 代入(2)式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
, \: M& c' U0 S* ^                                             =0+3+2+3=3+56 x. g9 y0 x, P4 T7 {
                                             =0+3+4+3=3+7% {& ^% q2 V1 S# b2 f, T. D
                                             =0+3+8+3=3+11, N: W# d" `5 ~* ~# k" K
                                             =0+3+10+3=3+135 i$ r) Q2 ~7 Y" H- J6 Y( d
                                             =0+3+14+3=3+17
( |- Q; ^5 ?0 S2 |                                             =0+3+16+3=3+19. v) W/ r8 U( B* s1 a$ A
                                             =0+3+20+3=3+23
# Q( c- r: ]$ N; y/ S7 ]! @第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3,6,9,11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0,6、0,12、0,18、0,22
" g+ S& I; w0 b即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  . e, S& t6 p' i8 g
这必须启用第二对偶数公由数2,4、2,10、2,16、2,20 将以上数字代入(2)式得  q6 }' N, K4 n: m2 U
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
. w8 G! k  A" Z6 ]" j      =2+3+10+3=5+13
  i- `3 @$ B- n5 |! e6 b4 ^      =2+3+16+3=5+19( f* O% P* T4 J0 {3 _6 i+ M! f
      =2+3+20+3=5+23
6 T4 a$ Q. B( s! Y第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2,3,4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数,如n=12,16,24,27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0,24、2,22、0,32、2,30、0,48、2,46、0,54、2,52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4,20、4,28、4,44、4,50 将以上数字代入(2)式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23& W/ q* N0 ^) v
            =4+3+28+3=7+31
% r5 ?7 S* m5 `            =4+3+44+3=7+47
8 M' p) N# g2 P. B            =4+3+50+3=7+53" e/ d  F* {8 b0 A2 K6 J! o7 d
又如n=46,61,2n=92,122它们的偶数公由数如下7 F% u) e8 f% N/ Y
0,92.2,90.4,88.6,86.8,84.10,82.12,80.14,78.16,76。18,74.20,72.22,70。24,68.26,66.28,64.30,62。32,60.34,58.36,56.38,54.40,52.42,50.44,48.46,46.(24对)* Q0 ~$ [6 d! h2 ?
0,122.2,120. 4.118,6,116.8,114.10,112。12,110.14,108.16,106.18,104。20,102。22,100。24,98.26,96.28,94.30,92.32,90.34,88.36,86.38,84.40,82.42,80.44,78.46,76.48,74.50,72。52,70。54,68.56,66.58,64.60,62.(31对)  f$ s; H) N" g( ^9 I! j& k
它们的偶数公由数分别为24,31对。
. J; \0 o! b7 f) N! O2n=92的有第 9,15,18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79 4 c% X( }) `, s
                                           =28+3+64+3=31+67
& x) A$ Q) y) Z- |2 L                                           = 34+3+58+3=37+61; s) e1 h/ q/ s. G. O
2n=122由第9,15,30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
2 @7 Y8 `; h, D% U% O) P                                   =28+3+94+3=31+97+ @8 u0 m8 V8 u% P
                                   =58+3+64+3=61+674 K# k6 T9 ^% G; G2 j) Q
综述以上 质数表示式(2)式中 n为自然数集时,2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
# h  g- t1 K; [2 l! i7 J2n的最后一对偶数公由数 使(2)式变为(Pn+Pn’)/2=M=2n’+3=2n’’+3……(4)! U, P+ P3 [& {) k0 R6 G! M' e: E4 v
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3% |. B- h" @. J4 D" z; }9 }
                                                   =n+3! J2 S' f9 |; S% g7 Q: B; H
                                                   =3,4,5……
7 q, u' U( ?/ {1 j即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3,4,5……=6,8,10……=6+2n
0 C! [# b' z% Q$ r2,质数表示式的证明8 D. s; f7 }1 R: `
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  $ {- o! ]) Q/ R* ]( ^
设N=2    2n’=2n  代入上式
8 Y- j4 U" Q6 [3 K$ a0 }得Pn=2n’+3  
3 d* j; t. H& h# r; M      Pn’=2n+6-(2n’+3)
. P- F$ ~& P  Z8 C: s" v      Pn’=2n-2n’+34 C1 ]5 o! n/ U0 ]. Y/ Q2 E
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
% B7 J- w' t: n3 D& p( ~5 l2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’' ~) n" D# A# l5 e" W7 J
Pn=2n’+3   ……(1)1 `* T( C& X  k. A
Pn’=2n-2n’+3……(2)7 D! `* M3 F7 {+ V) o
2n=4n’+2n’’’ ……(3)
- Z3 e9 ]4 H* H* g% A0 u. R上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n! K6 h8 P6 u/ b% \1 J
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
. @; b! c! {9 P4 d: v. J  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1. f4 L& W+ ]) x4 E
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2# @; E/ v. E0 X/ h
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1( P4 R+ H# W" G0 `" [' [
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
# t% h6 L: b8 y1 Q; b  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =59 b+ v/ H6 v" v* o) S  t" O
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
( R. X- ^2 c+ a( `% h4 _(2)方程组! A% x7 C: `3 Z1 W5 q
Pn=2n’+3   ……(1)8 B0 C) ]; o8 r, o- L5 Y; u5 M
Pn’=2n-2n’+3……(2)$ P0 ]1 Y. f: w1 `
2n=4n’+2n’’’ ……(3)7 o/ z! A. Q- R! z
①        方程组的特征或要求 n为0,1,2,3……自然数集时方程要成立
  _& }1 o3 g  r  J( e& u2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
" [2 r$ a  Y! R5 H( H3 c$ H$ E②解方程的步骤 7 Z( K8 \  v! z
设2n=0,2,4,6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)5 ]1 `4 {% J7 `; b
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
+ V+ R* |# K5 p8 i③证明方程组成立 / V" @1 j. c0 m8 _( V
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
2 l2 V: X  V6 `0 q( l( ]# ]已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n4 r9 M% P5 Y0 M2 R' ^9 v  _* P
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
1 V( z' q- A5 J$ X  `8 O8 O, [# ~. K   
4 D6 V( P3 u/ g7 u8 s; O. Q' |2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’" i3 P6 r" a* o% w' {; b
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……& H4 O" P7 y& O  R7 d% m
Pn=2n’+3
3 r, J0 l! O$ p) f' ~1 v% n6 T) MPn’=2n’+3+2n’’’
; R! V* s; g8 n/ ~ 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0,2,4,8,10,14……除6,12,18,22,24……之外的偶数集,因6,12,18,22,24的偶数都可以分解为2,4。2,10。8,10。8,14。4,20即2n’可以避开6,12,18,22,24……
8 _: b& f( [1 D) p2 n即Pn=2n’+3成立
+ r  m4 n  e- F& x/ J8 ^6 |4 @Pn’=2n’+3+2n’’’
: c- ]4 c3 |1 L3 o, ~  =Pn+2n’’’
7 r2 C' s2 b! \, Y  Q  =Pn+0,2,4,6……
9 t# w% Y! I) a9 Z7 R: _- }已知Pn到Pn’的距离为0,2,4,6……
$ q' [5 x: E5 v1 j. a则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立9 c. E$ m8 h* [8 R# u
即Pn’=2n’’+3 也成立
) o5 ~: y' G5 e: }1 Z7 u2 q3 用数字来检验质数表示式的成立6 C5 T5 V( X1 j# n/ y1 x4 ?* S
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’: f, B" b6 d0 g
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6…… ) f- f1 y' k4 X; u9 N
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6% V& z4 ^% |( D$ @0 _' u2 r
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
# S( [  J1 B. y1 }% X$ r3 w      4        4        0         2        2       5        5           10. T$ d6 a5 }/ ^6 D: F4 a
      6        4        2         2        4       5        7           120 Q2 n2 d' Z9 m: I- R) y
      8        8        0         4        4       7        7           14; Q6 G( m- M( |
      10       4        6         2        8       5        11          16
, i. D% c! t' {! H3 z      12       8        4         4        8       7        11          18
  b0 ]* g6 _; y' g7 c5 @. q2 Y      14       8        6         4        10      7        13          20
& J3 P# I& y9 C( e: W/ K+ ?8 k      16       16       0         8        8       11       11          22
9 f% f, T8 h' x; J' ~     18        16      2         8       10        11        13         205 A5 j. h% a8 L
     20        20      0         10      10        13        13         26
& T1 ~7 x3 O8 j     92        32      60        16      76        19        79         98
* h8 L' G/ \% t6 O& F) s     92        56      36        28      64        31        67         987 @& r4 n+ H8 S+ C# {- M$ r
     92        68      24        34      58        37        61         98" H8 D" P) Z! x& N+ ]9 P+ @
     122       32      90        16      106       19        109        128
( Y8 q& g3 q2 \5 l     122       56      66        28      94        31        97         128        5 P# P5 A2 T, @$ P) B  o$ m  G
     122       116      6        58      64        61        67         128
+ Z  s" b! A# q9 r6 h1 k: o 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
% J* I" r( {( d' X, Z2 j- l2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
+ m- {: N5 p1 |1 ~- P4 T' n+ J% F六,奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
) S" l3 q; ~1 l1,以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即(1)质数除2外都是奇数% R2 G/ ^' P( I! A$ `1 z% @
(2),由于是奇数,它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n2 P( A3 Z# |" V2 ]; J3 C+ x
(3),它们的分布是不规则的2 M, f9 |2 \2 l  f, t: s0 X3 F) a, |
由上述三个特征得到三个定理(见注2)/ s' L" }+ P) m7 e0 d
即奇质数之间的共同规律
5 f" |# K$ Z* O7 x$ ?2,以上证明涉及到五个问题
, G# S. V% _  q# E8 J( s ① 公由数理论。注1已经说的很清楚,是大家可以接受的数学公理,无需证明和检验
% y1 P7 H" b* X4 j- n; @ ② 最后一对偶数公由数也是存在的,大家也可以公认,无需证明
% P2 C8 z& r& I6 Y1 Q③ 由最后一对公由数求得(Pn’+Pn)/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
, B6 g% j' I# ^" T% n0 A ④ 由2n 的最后一对公由数,求得M=3,4,5,6……或M=2,3,4,5……也是正确的
* l+ _% y. U: d, v$ t ⑤ 通过定理三求得2M=6,8,10,12……或2M=4,6,8,10……这个方法也是正确的。" |9 E; i, A. ]' h' p& S  p* J( l0 X6 t
3,公由数是鄙人发明的新概念,新理论,正如王元所说,它是一种新型的数学模型,它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想,以上三者缺一不可,事实上没有公由数新理论,也没有质数表示式,数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前,即使是数论专家也无法证明猜想,数学家希望催生新的理论,公由数和公和数是最基本的数学概念,犹如公因数和公倍数一样,无需证明,可视为数学公理。) _1 H' t( i; m
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。$ u- P$ r: C$ R8 M
注1:为了便于证明和计算,俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论7 [5 F' J" h) w  n  z
因为因素与理由意思相近或相似! p: N3 X3 m% ^0 E
公因数与公倍数相对应,俾人将公由数与公和数相对应,前者是乘除关系,后者是加减关系。; G. O5 b( M0 M$ |; H* T8 Z
公和数和公由数定义:任何一个数(自然数包括0)都可以分解为两个数的和,这两个数的和为公和数,而这两个数为它的和的公由数$ Y( K2 o; P5 _
如:1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1,0、2,1、1,0、3,1、2,0、4,2、2,1、3,0、0,以上1、2、3、4、0为公和数,它们的公由数分别为0、1,0、2,1、1,0、3,1、2,0、4,2、2,1、3,0、0,特例0的公和数和公由数相等: v- ~0 O  C0 M
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集(包括0): x$ o& f3 D; l0 }4 P& W, e  {
又如,6的公由数为0,6  1,5  2,4  3,3# l, `3 T, R3 y
0和6,1和5,2和4,3和3的公和数为6, b' K8 v4 H  D6 ]
因,2n’  2n’’为偶数,只能取0,6,2,4同样,8的偶数公由数为0,8  2,6  4,4以上情况是显而易见的,不必证明,可视为数学公理,以予公认
9 B7 T* d8 B8 K$ Z( D 任何偶数(包括0)都有一对以上的偶数公由数7 `6 Y9 v" t3 f' R6 S
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
, m) a- [2 D+ l* i2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
# o* v+ u' a/ X( N4 O( h- H注2   在数轴上,任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数(Pn+Pn’)/2之间的距离相等。即(Pn+Pn’)/2-Pn=Pn’-(Pn+Pn’)/2式中Pn’>Pn(定理一)。; v0 D5 i( Z0 }8 Z7 R; w
下面来证明定理一:
- V. n6 b. v+ v/ k已知:Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数,可用2n’表示。
6 @) g/ ?$ o: z" `2 ]/ I! g  O则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得(Pn+Pn+2n’)/2-Pn=Pn+2n’-(Pn+Pn+2n’)/2& x/ b( R9 Y$ K% x  U1 T
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立/ Q2 W; N* y2 c; g2 ]( ?7 B) {
即任意两个奇质数pn,pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等,且=n’(奇质数定理一)
9 R5 h. |$ \; g: [) C由上得:Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’( V6 }" `( a3 m* X
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。6 g0 l: u' w6 W2 t
由上得到第二个定理:在数轴上,Pn’与Pn之差的二分之一为n’(即Pn’-Pn=2n’)  S) L8 b0 O* z4 Y2 [: e
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.+ q0 U0 @6 N. q; T3 ^
即任何两个奇质数pn,pn’之间一定存在一个正中间数M,且M=pn+n’=pn’-n’(奇质数定理二)
9 u( w& r- q% d" H9 q. v! m" Q! q0 @得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
" f2 J$ ^2 ?$ W( x* u0 B9 R, A0 r: J# D: o
pn        3        3        5        5        59        61. W6 t5 j" A* b* |: u4 i
7 {  S. a. B) I6 v& c
Pn’        3        5        5        7        67        67
. c! g: \6 v3 Z. R$ K2n’        0        2        0        2        8        6. a: m% ~. A+ a5 ]
n’         0        1        0        1        4        3
$ l5 u' ?# ~! n1 i. \) oM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
% f7 x+ M  H; d( @$ o$ W0 G2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128- m3 c9 w: |3 @4 E
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理(即定理二的逆定理)* H2 b1 _, z- L' X
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数,则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
4 ]% F# Q$ X1 g8 sPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M# V8 C" \/ k2 u( C5 B
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
. O. w" ~1 b8 ~* Q2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128& _3 e# y1 K' Q  l
2n’        0        2        0        2        8        6
% n/ ^. w% X9 p% \n’        0        1        0        1        4        33 t2 S. _6 P6 u
Pn        3        3        5        5        59        61/ M* ?; |* l9 }$ K4 E$ q$ E
Pn’        3        5        5        7        67        679 D, x5 l* J3 ^* L0 F! _9 G% Y5 |

) `  G! h% c# l注3:在(3)*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
8 d4 ^* r7 y  w8 n/ T若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……(2)’
0 D; h" H; }. {式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  (这里0既是偶数,又是奇数)+ ^8 t0 I1 d" W% c
例  当n=0,1,2,3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+04 J& L2 ]* v1 `) E2 t4 {/ e
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
7 b4 v$ T. v% ~  n4 y, B                                          3+5=1+2+3+2=4+49 [6 W% x# ]. J2 }  l) t
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
4 v. N/ G" p7 `) |( F/ i5+7=3+2+5+2=4+8
; _( {; `* o. W4 l. K8 \7+7=5+2+5+2=4+10
) x1 t& h: l) I59+67=57+2+65+2=4+122& K- ~+ ]/ N/ V  Y& a
61+67=59+2+65+2=4+124" O5 ?* W0 e& ]1 q
…………………………
4 R( Y1 ^) ^  c在(2)’式中,设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
6 j* @% q8 ^8 n当n=0,1,2,3,4,5……61,62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。0 G* F3 r# T' e
1、1,1、3,3、3,3、5,5、5……61、61,61、63,……∞/2、∞/2。
% r7 @& C# M2 s6 H7 _  A若n为奇数时  2n’=2n’’=n6 W% F, @( o0 k3 @$ b
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入(2)’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M* h8 J% u( l$ h7 w+ I0 J/ |
M=2+(0,1,1+1,3,3+1,5,5+1……61,61+1……∞/2)
/ l+ z9 v7 k) m& [, D =2+(0,1,2,3,4,5,6……61,62……∞/2)
+ H, r: [% _' o5 b& K7 d8 t- z) C5 N =2+n=2,3,4,5,6,7,8……63,64……∞/2
7 N: |/ C, Y" o3 E再根据奇质数定理3,得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63,64……∞/2)=4,6,8,10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
$ M8 Q. D. F+ G$ R即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
* K$ @: A  G9 f; x8 e$ E! r笔者   蔡正祥
; _$ g2 _3 {) f3 c        2011-8-6) R* ]! D, B: D# F6 E. W- @; P3 v
通地址:江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
+ \" N/ N5 V' \- ]  N邮政编码:214206           电话:0510-87062749     18921346656  15370276856
1 N& x6 O- ^( C籍贯:江苏 宜兴      工作单位:宜兴市张渚镇政府
0 E4 Z. g6 W# d7 t  [' y" O; f" ]* j# F' Q5 A: [3 E0 _0 C

5 g+ z5 Q5 m! b" c, |
1 d% Z: e7 x% k% Y
zan
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