哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
  |6 M5 y" Y* U8 I9 {已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
+ [, @" q1 M. Y将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
6 [0 H( U) H& _* x以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
3 V3 O2 G1 s3 W9 X同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
5 Z7 i+ C/ Q9 [由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
/ y* o$ n6 l2 o9 ~! m9 N; x即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
7 r* `( ~) E+ [, [（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
7 c) ]. l% x0 \% g3 H5 s 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
' z; I* d: q/ @1 S& T9 T* d  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
, I3 I! S& k% G, k7 J% [. j6 W由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
+ R  t- k( P$ d; N, P8 s% g均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
# o; F5 f8 |( F) V6 Q  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
$ J; h- f, i9 ]设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
$ Z: Y" S; L! r) Z+ L7 d根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
4 ~- V4 Q; ?" u$ \+ M$ a用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
& ?3 g, N: {9 v/ u: j0 S4 b                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
9 o" Z; z( p8 o" E: I! |这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
" m; b6 a2 d% t. S! f- q2 f2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
( v. d4 H; t5 [即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
- A  H( I4 f% S% M在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
  N: `' K; p6 z8 B1 u代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
# r, }" y0 t; L3 H" p6 m$ K! a; N从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
' M+ Q# s& x4 \, q" n: m由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
4 }( ^& E6 H* a5 T( C0 w（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
2 E0 Z  j% [0 Z' c8 P' j5 J6 p" T若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
" n2 [) _9 O, r
3 E# V+ F& ]' w1 E. i0 U; I; p得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
. }* t. e0 e( M9 f( t+ p7 _  H同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
' D, w8 l: [9 G9 z（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
# i' Q, X$ ?) y) Q3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
" P5 A- h! M/ U3 M, C设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
0 H& @7 D! c  D即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
  W' G/ ^. n5 f. E$ q6 z4 R例  
! H, J! v! ?: w4 @5 Y( ?& Kn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
# c9 C2 X1 U, y7 y6 ^+ u# H2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
/ Q$ h- I6 s( u1 E2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
( r/ h9 O) W: ?5 F' ~/ J$ l9 v/ B2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
6 a) B4 t* w* j& sPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
8 Y8 `  E/ ~5 w# O  p: M" _$ KPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
% X+ O$ u, e& S2 P) ^5 W1 ], qPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
) B; t. X5 `# r则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
% |4 w: {- Y3 r' _, b(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
. z6 r& D! o% \) \$ ~然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
( K4 |: T& V2 D& d: V# Z已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
4 J9 |$ p9 V% O/ z6 {* BPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
1 P7 r- ]  H: {- V1 n. yPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

& Z! T6 X9 `; i1 C' D; c9 ~8 ^2 P/ ~       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
: ^& J" |+ X% f- [7 Q  Y三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
# d) q" y* {( g) [7 Z/ z# b7 S若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
1 B% R8 Z# q" _/ U9 P6 b, M或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
5 l* H3 b; ]/ n% A' f" C或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
& R3 I! H+ _* U当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
# u( |6 C, k/ w: |; z1 W0 M% H0 B5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
7 ?) m1 \1 u) i( S代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
) f3 g. _% d8 H3 L1 a3 @在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
* D9 x: u0 E8 }# J代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
4 r2 a+ N, l( f2 t8 U% N8 Y设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
) O9 H' m! p8 V& B/ y6 p得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
' ~1 H& {# A. e8 I3 h若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
, O9 H* r: _& T& G6 |) w" v% O同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
& i3 ~2 a/ e- H/ J; Mn为奇数  2n=2,6,10,14……
3 G" q8 |, s. N1 f* A2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
5 n# W+ Z* X* u% \# O! D7 l8 z) G设  Pn=2  或        Pn=3
7 z2 [7 d6 ^  p& I6 y 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
% F! @. B; C$ K# A( U% r! F  N四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
* m; D% o) r6 [7 D* C( aPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
) m8 m8 y- a8 r( D- I9 D  m由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
" f4 p7 }- n5 \" ]: q) F（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
# X* P* O! r7 Y+ R: s6 q& V: ?     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
( l1 t- g0 I& N# O     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
, [  |2 a/ V/ n" C3 O3 ~) S' F, r' C    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
; z+ J! W4 L% G8 }( m, U    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
! j$ s4 n" h( B+ s& j, S      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
/ x9 F0 C6 c; [- S7 Y（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
. ?4 o: D4 S3 @; i9 G即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
$ _' `" g" O2 ]存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
5 b" X5 P0 Y5 H; S. R由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
* f. p  S# @# j. ^, j& ~2 Y五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
' ^8 h7 P5 K. S! C+ f                                             =0+3+4+3=3+7
3 x# _0 \6 j9 M- b; J% _5 p" W                                             =0+3+8+3=3+11
" w0 i+ Q! M; ]                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
5 ^& _7 Y& o) d. m/ r/ P                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
% y; w- O7 R! Z+ ?( z这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
8 d% f# I) w8 e4 D0 aPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
1 [& \; ^4 J9 \7 r& Y/ S      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
) I8 s" H+ w; A& a) q* N1 r第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
+ L0 c6 l: m( K( r1 a0 X            =4+3+28+3=7+31
# m3 z9 S# b- T3 e4 Q            =4+3+44+3=7+47
) T" ~, x/ I* ~            =4+3+50+3=7+53
$ `3 u* U1 d0 v: P: w$ ]. n( }又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
2 f- o+ v5 a% m5 L0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
# Z! E& c# T4 b, D0 u0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
' c' ^0 x- N6 v: z  c$ l它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
6 d& r8 x2 u$ i* A* ^- f' B                                           =28+3+64+3=31+67
- X& k, e6 x( W* L( f                                           = 34+3+58+3=37+61
4 ^  w: z, N' A' G/ X/ r. f) M2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
( l6 u' Q4 z+ T1 u8 k2 a6 E8 E                                   =58+3+64+3=61+67
+ O2 R+ x% t5 {- N& b! F& c( s综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
+ V& Y, p% I. p! P2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
1 {2 ~9 U3 S0 ~                                                   =3,4,5……
3 j6 y4 p2 X" o+ U6 b+ l即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
* }% E/ Q0 ]  L# y- H设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
7 _& v) `1 T6 C. P. O      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
- l0 Z1 c0 d  {0 p2 S7 a3 k2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
0 Y5 |& d* q( N' t: tPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
. \3 G8 Z: Z( w. R" k  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
) R. T& n8 O- R. t  H( A* Y  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
% z6 l1 N3 i" H  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
) s8 M6 D, j1 M4 M4 B' |  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
1 }" \. A5 E0 q  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
0 X* A! n+ C1 s$ S. U! E1 APn’=2n-2n’+3……（2）
0 ?' H+ U3 o& e$ F( ]2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
; v. R4 l; D0 C+ `& n- O②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
. B1 Q8 d* ?, S6 }确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
. M* D6 g! L2 z/ ?4 ]9 Y即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
1 w- x% U- H. L, M又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
3 s# ~0 @! g! M1 {9 c9 ?* I   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
2 q! c1 U0 ]9 f3 G, t2 p1 BPn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
0 P0 v3 O: o: J! hPn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
% E- t' n8 A3 F; K  =Pn+0，2，4，6……
# \5 W/ p9 c' P; ~6 X3 z& y; |6 R! u/ Q已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
: \; z6 T: K9 ?8 G5 P5 p- O. b3 用数字来检验质数表示式的成立
1 J9 Q3 `; u) s/ d, ]已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
' F& i+ l8 V. d+ G9 ~1 A( L7 ]设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
' L# c- H6 ~& V8 ]: C" @      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
/ D4 G* ?# E1 Q% c      10       4        6         2        8       5        11          16
7 ?& b& C  m2 A% z. g" Q0 ?      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
$ r% ?& h2 t" H' b" C8 e6 q7 \. S      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
" Z! Z; t/ }, _$ U2 l' Z& p1 b# ~     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
6 @8 \# N7 G+ y# {3 n2 D8 d4 E     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
# J5 ^) \9 j4 A9 r2 C     122       56      66        28      94        31        97         128        
# M" V% d4 W5 u& j0 u2 u# x     122       116      6        58      64        61        67         128
( P0 [/ ^& s: b# [ 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
, C- B1 ^) e5 E) x! g由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
( d; }, Y  G2 ~ ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
4 _9 q) D: T, |1 |6 v. ^0 Y ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
2 A9 q! Q- j" j  A; p8 n鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
* Y& H, C& |; q1 j注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
4 U+ D/ I/ ^5 }% n0 @因为因素与理由意思相近或相似
) ?5 a% Z, o0 H( p$ K  ^6 q公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
# U- L8 I+ s5 Z5 L" Y- w1 a这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
6 r# C% W) H6 T/ _; [) f! a2 n０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
1 G8 z0 s7 ?. W& C! b2 a5 G 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
; |6 \' ?$ Y/ I! [注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
# D* B  g. F# u% x7 {下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
, D  y' T! m- z) lPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
- G4 j; `0 T0 a3 v6 K即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
0 G$ ]- [) R" K; g. H) ?) u由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
: `7 o$ Z' a0 |. k! C, i由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
+ W, k9 P2 r# H; e6 f7 `! @9 T( G得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
" x' C* Q% T6 z9 j  y7 ^2 a例
pn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
- m( T+ \1 c; H8 P* k2n’        0        2        0        2        8        6
/ M1 o0 e+ x2 Un’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
0 y3 p2 I1 \3 {4 q& i2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
$ k. e- _7 n6 V( g由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
, J. e; Y  q$ L; P即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
0 {* i0 X& v, X4 v9 D( e8 K! \  i2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67
& t0 d! o/ |. W; I
" J) p  m0 O/ v0 b. h注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
% e& U) e! S1 |+ t% `/ e2 Q! Y/ X若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
1 V" O/ _7 U' s! g3 D% i例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
7 `8 U0 V/ j- ?( N- O4 z( I. Y$ ^                                          3+3=1+2+1+2=4+2
* w( _( V1 b, M& N( z9 h; N9 T                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
  w3 M0 U# g! l7+7=5+2+5+2=4+10
& N' l; l* O3 y6 _( y" g4 x' I59+67=57+2+65+2=4+122
) n) D4 A/ @/ d( m61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
  B- y% i# V  _5 r$ C$ s4 x4 D1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
; y8 n* p8 k1 n, W若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
) u& v! o# J- m8 U0 `9 d  qM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
" F& c# Z8 v$ M2 k7 W =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
- F6 p5 A6 u+ u即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
" N6 D, D' {3 }# ~        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府


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