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哥德**猜想的证明# h8 F: o+ H4 C: o6 j/ Q( S n+ @$ C
一、质数表示式4 c- o& K9 F: @9 w
1、质数表示式的由来
) i0 i; S, a/ H4 V) T. V已知;P=2n+1为奇数的表示式,式中为n=0、1、2、3……,自然数集。因奇数中含有全部的质数(除2外),所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式,所不同的是其中有一部分不是奇质数,如:9、15、21、25、27、33、35......等等,这说明7、(9)、11,13(15)17,19、(21)23,23、(25、27)29,31(33、35)37.......) G+ V3 F# Y; I- l+ D+ O
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7,11、13,17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式,必须修正或选择。7 z) j& H8 L, x
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)" z2 ]; P$ l6 i: r1 P
已知两个奇质数(Pn’,pn)之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2,又知奇质数加1等于偶数,用2n表示,即Pn+1=2n,则Pn’=Pn+1+1,Pn’=2n+1......(1)’将(1)’式代入(1)式:pn=2n+1+2n",得n"=0即pn=2n+1
5 R1 G; s5 M1 @# V以上说明,若两个奇质数(Pn’、Pn)之间的距离为2,即N=1,n"=0
+ }0 K$ F- Q) w) A6 D; w& ~+ c. G则该奇质数的表示式与奇数表示式相同,为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7,11.13,17.19,它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。# v; g, V6 n+ S3 X& R
将n=1.2.3,5.6,8.9代入p=2n+1中得3.5.7,11.13,17.19。当N=2,D=2×2=4即Pn’-Pn=4,Pn’=Pn+1+3,Pn’=2n+3......(2)’’代入(1)式得n"=1,即Pn=2n+3如7.11,13.17,19.23.它们之间的距离都等于43 n* c% X q% Q& ~( M. U
即N=2,n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23,/ h4 F: T; w: [, @
同理N=3,n"=2,N=4,n’’=3......。即Pn’=2n+5......(1)’’’,pn’=2n+7......。如:23.29.31.37它们之间的距离都等于6,即N=3,n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。' i5 C# N2 b, a4 `2 J# E) Z3 u
由上可以得出,n"与 N的关系,n"=N-1。
- y/ f. }9 B. J; A$ b- D即(1)式可以改为pn=2n+1+2(N-1)或pn=2n+2N-1......(2)
) U* b2 _% a: X K6 p( c$ x$ f(2)式为奇质数表示式
+ T( M6 S- z' {* }$ ~. J7 U. V由奇质数定理1(注2)得M=Pn+n’( ? W2 y0 T4 y; d% m
将(2)式代入上式得M=2n+2N-1+n’ Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1. [ c5 @0 K" c% C2 s( h
因pn=2n’+2N-1 则Pn’=4n+2N-1……(3)
) x" b9 d2 \0 G7 h& c% z3 m+ P/ u4 ^: E由上得Pn=2n+2N-1......(2) Pn’=4n+2N-1……(3)
; e: w* a* i! M" A" u* D3 b均为奇质数表示式 (2)(3)式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合,就能表示所有的奇质数,由此只能是奇质数表示式的基础式 u" h" U2 S) S4 [
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。 * R$ _5 ^) r$ B0 @" ?" b
假设:两个质数之间距离不包含整个偶数集,如不包含2n"。
* X' R, _4 R( A% D设2n"=0、2、4、6、8……∞。
3 f7 r% z( U, k r即Pn'-Pn≠2n"……(4)式中2n"=0、2、4、6、8……∞
9 B% `' R3 v2 i2 v; y1 X6 h, n根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……(2) Pn'=4n+2N-1……(3)( \: T: N& ?- j! `- B! H# C8 O* v
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n
5 Q7 U m K. {+ g0 `Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -(2n"+2N-1 ) Pn'- Pn=2n"……(4)’
8 T8 k! r3 H, A r3 V( }
& O& q1 u( p: W/ k1 n0 h+ f) x其结果(4)’式与(4)式相悖,证明(4)式是错误的。- V! H$ B" l) y w( ^4 u2 L p
这种假设不存在,证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。) [ P4 e- b- u7 Z% R5 a
即Pn'- Pn=2n…(4)’'式中n=0、1、2、3、……∞3 M3 x: h! _, H0 }2 D; e" }8 g
例如:2n"=6,2n"+1=7,4n"+1=2×6+1=13,13-7=6) _$ `% `2 ]) k6 q! S# d) }
2n"=40,2n"+3=43,4n"+3=2×40+3=83,83-43=40* e$ ^1 ]. ^0 B
2n"=80,2n"+3=83,4n"+3=2×80+3=163,163-83=804 r: I/ ^# }; o# p" o# S' A
2n"=100,2n"+27=127,4n"+27=2×100+27=227,227-127=100
3 y* w1 q, G) i' R, v5 k5 n3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明: o. t8 }; \! g% f) ^8 m* v! c0 h
直接证明不行,亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
3 s2 {4 e s0 _即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……(1)式在理论上成立或n为自然数集时(1)式成立。
1 s0 l, h. r5 I3 ?4 q+ r6 ?在(1)式中设N=2,2n’+2n”=2n,即2n’,2n”为2n的偶数公由数(注1)- R3 I' H2 w9 F" k- q3 _& K
代入(1)式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……(2)
& W& f2 i5 ]( g! w! S- C: _在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
% l- J4 C% S. W* X3 Q/ Q4 h* ~又因两个奇质数之差为偶数,用2n表示,即Pn’=Pn+2n5 K/ I$ z, c/ o E1 `% Z
代入(3)式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式,即(2)式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式,即从理论上成立,
6 {$ y# G/ v+ k即证明(1)式在N=2,2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立+ e) a- q4 J& F$ |: d, g" W a! O8 B: S
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。9 k* }* ?& }5 }) d
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。4 ^' [1 f0 e: j7 r4 H
由此可以证明(3)式 ①为恒等式 ②等式左边或右边表示两个奇质数之和 2 K6 U" R8 `- r# z6 i- [5 x
4.将n=0,1,2,3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0 3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4 5+7=2+3+4+3=6+6 7+7=4+3+4+3=6+8 5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12 3+17=0+3+14+3=6+14 5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120 61+67=58+3+64+3=6+122……
, i* k: A2 Q; e, g. ]/ R+ H6 k由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……(2)Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立, 从这个意义上讲
- W1 H- x/ |6 t1 z$ ~& E(2)式或者(3)式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………(3)*为质数表示式 在(3)*式中 Pn* Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’ 2n’’为2n的公由数 Pn=3或Pn=2 (注3): d7 N5 E9 L3 i k. C: R
二、证明n为自然数集时(2)式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立,
( I; J9 o2 B) J) l1、在(2)式中设2n’,2n”为2n的最后一对偶数公由数
# H6 d3 ~7 V; g6 N! d- K' ?若n为偶数时,2n/2=n,2n’=2n”=n,代入(2)式,
' k* v& Q0 a5 `0 _, V( \8 c
/ n- c8 x* Y( K% ]' f: T, {得(Pn+Pn’)/2=2n’+3=2n”+3=3+n……(4)1 l7 {' N# y& X: J' }" K+ X) k
若n为奇数时,2n’+1=2n”-1=n
0 l* p5 Y- P& T5 o' }同理得(Pn+Pn’)/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……(4)’6 `! @ i4 U# j1 r$ t. V
在(4)、(4)’式中设Pn=3得(Pn+Pn’)/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……(5)
* n! X' ~- ]2 G) t; k$ h(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……(5)’
: K* ?$ l9 z9 O, |5 ~) l! W5 G) ^4 p2,由奇质数定理一、二(注2)得知(Pn+Pn’)/2=M M= Pn+n6 Y1 x. Z" q- X! G8 F
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数,将它代入上式,从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数1 F( l9 h. v1 ~5 Q, l. S7 o5 ?
3、当n=0,1,2,3……自然数集,2n=0,2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60,60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60,61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60,61……∞/2,1+∞/2)/ X( ^% z8 D' i, ^) O5 c
设pn=3代入得M=3+n=3+0,1,2,3,4,( {# Y) T, I9 R1 U
5,6,7……=3,4,5,6,7,8,9,10……63,64……3+(∞-a)/2,4+(∞-a)/2)[a>2(Pn+1)]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.- u8 u% i$ T9 |) U; z. o
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
) u1 Z" c% ~. j8 i, c6 C2 h5 _1 h- _例
8 {0 l: z0 `2 T0 |/ g1 v6 e0 ^; bn 0 1 2 3 4 5 6 60 61! ]* P. t! D; I4 I
2n 0 2 4 6 8 10 12 120 122
) o; g6 b4 `8 c% m u5 j/ q+ q2n’ 0 0 2 2 4 4 6 60 60
! e0 {1 Y S( W }5 a3 g5 k# }7 B2n’’ 0 2 2 4 4 6 6 60 62
% @0 C: Y) M5 f/ ZM(2n’+3或n’+1+3) 3 4 5 6 7 8 9 63 64# {6 A# s1 h9 V8 s% l
Pn 3 3 5 5 7 5 7 59 61
" Q2 E6 v! p, z( hPn’ 3 5 5 7 7 11 11 67 67
( o Y+ k. t6 r; N; {9 V* fPn+pn’(2M) 6 8 10 12 14 16 18 126 128
8 w% X& k" y$ `! u6 N/ I" J5 o a! m/ |$ k8 B P- Q+ M" T
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集,pn+pn’=2M=2X(3 4 5 6 7 8 9……)=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。4 I$ U( C( R1 b+ B) o5 A
又例如,2n=22222222222222222 n=11111111111111111
, Q6 c M6 O% g因为n为奇数,2n’+1=2n’’-1=n 2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110 2n’’=11111111111111112
9 x7 u. k/ b; @! [/ O6 o则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
# \, a9 d2 s( O; q(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
4 m: j2 H8 q$ ^8 u8 ^3 `- vM=11111111111111111+3=11111111111111114
8 ^8 n$ R) v5 s( W/ C根据定理三,因M的左边相邻处找到Pn
/ K6 u: ?3 {! r3 Y9 ^) H然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n 求得 Pn’% P. z& A" U6 |* r( a
已知 M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111 n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
* H6 a3 O8 x8 f* UPn’=11111111111111114+3=11111111111111117; N% K9 W b$ R% w- w
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
' j) l5 G3 E0 `6 F5 N" e5 G# H3 W3 U$ S
=2M=11111111111111114X2=22222222222222228
6 f6 W" X$ T. q0 j# b7 A$ D三,也可以这样证明
2 i- o! h4 q. ?3 U2 N) @2 ]6 k1, 在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……(1)式中
8 P+ X8 w! F5 N2 [; k0 G5 K1 l设2n’,2n”为2n的最后一对偶数公由数
3 E" X) U0 |3 E& n8 }! ]若n为偶数时,2n/2=n,2n’=2n”=n,4 q# I8 G# N+ |% [7 x# B6 u
若n为奇数时,2n’+1=2n”-1=n
2 S/ G" Z# O8 c: z代入(1)式 得(Pn+Pn’)/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
5 s/ ]5 ^& z4 l6 k* t# c6 g- ~(Pn+Pn’)/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
e( `( f1 W e) B" g9 h或(Pn+Pn+2n)/2=n+2N-1=n+2N-1 # e5 f* W! e( j3 g* a# v: ]
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1 得Pn=2N-1
6 K6 ]5 n( D1 e代入(1)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn- a( t0 T7 k ^6 ` w/ Q. m
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)) H) w: M) v( Y! H, |0 i) R1 `
由上证得 Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……(1) 在理论上成立; g$ q3 M& f1 j& X/ O* Y$ z6 P. } O. {
当n=0,1,2,3……自然数集,2n=0,2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60,60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60,61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60,61……∞/2,1+∞/2! D7 [7 d4 q s8 P5 D5 }
设pn=3代入得3+n=3+0,1,2,3,4,( }# z5 c' E4 z5 z8 F) @- U( T. v
5,6,7……=3,4,5,6,7,8,9,10……63,64……3+(∞-a)/2,4+(∞-a)/2)[a>2(Pn+1)]0 ?( z) R0 u7 k* I1 x* r
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n/ r$ J, }1 b8 P( T T8 Y# V
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2 r$ Q8 u5 B4 f/ Z# K2, 因两个奇质数之间的距离为偶数 用2n表示+ `6 e7 f- F* l5 `- l/ z
即 Pn’=Pn+2n 得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……(1)
1 d) j) M4 q% Y9 H. d在(1)式中 设 2n’+2n’’=2n 即 2n’ 2n’’为2n的偶数公由数
% I! O% o2 `. S+ S9 W代入(1)式得 Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……(2)
4 u4 W# f4 R; V6 T/ A) |2 Z设2n’ 2n’’为2n的最后一对偶数公由数
& J9 T* y6 E: i3 N; M若n为偶数时,2n/2=n,2n’=2n”=n
5 S6 Y# {$ M6 C/ [& u% v得(Pn+Pn’)/2=2n’+Pn=2n”+Pn
" G# ^: \/ ] x6 k4 {若n为奇数时,2n’+1=2n”-1=n
8 K1 |% n4 w/ K$ F同理得(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn" J- v6 b0 o6 s" U
即 (Pn+Pn’)/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……(3)
* S8 I2 r1 X4 R2 }n为偶数2n=0,4,8,12……
6 j! Y+ p! ~, M2n的最后一对偶数公由数为0、0,2、2,4、4,6、6……
2 S1 H' ~( k/ R6 l4 L, `6 N) v4 d9 [5 N2n’=0,2,4,6……偶数集
, u$ N% ^1 ]7 p- H; On为奇数 2n=2,6,10,14……
: A1 U; h0 ?! g# @; v8 d2n的最后一对偶数公由数为 0、2,2、4,4、6,6、8……
- e( q1 T+ m* A: R4 _, k7 u2n’+1=1,3,5,7……奇数集
. m0 V; B6 i) g* D2 G. C# C将以上数字代入(3)式得(Pn’+Pn)/2=Pn+(0,1,2,3,4,5,6,7……)自然数集9 ^( n( N% h7 C
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集 & n- f3 b8 K# O7 Q
设 Pn=2 或 Pn=3
5 y# E. y1 O$ T& S3 g 代入上式得 Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n& R4 D; [& K0 L- l1 R- B
四,奇质数定理三的证明% n1 y( K* d! G6 F! b4 f( q: `
(1) 已知M=3,4,5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集2 m. t+ c; F; [8 k) C
又已知Pn’-2n=Pn Pn’-0,2,4,6……=Pn! }6 w+ q: O6 ~: u# d
Pn’-0,1,2,3……=Pn+0,1,2,3……=M# B7 O5 y; ^# Q& @8 n2 C
Pn=M-0,1,2,3…… Pn’=M+0,1,2,3……. ?0 B5 b% [, g7 D
或 Pn=M-n’ Pn’=M+n’8 _5 ^# ?2 [7 H* c: W% _
由此证明了 Pn=M-n’ Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M 成立
) [1 m8 S: @& c3 P `(2) 实例说明 Pn=M-n’ 即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0,1,2,3,4,5……2 m6 {# N. U2 ]: U, s
Pn’=M+n’ Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0,1,2,3,4,5……
6 w- b2 E+ ]" Q2 ]0 B; m得 Pn=3-0=3 Pn’=3+0=3 M=3 2M(Pn+Pn’)=68 m8 Y6 z: c+ c
=4-1=3 =4+1=5 =4 =8
& b0 l0 g2 P& s Z1 b7 N =5-2=3 =5+2=7 =5 =10; H' I6 K2 M8 ~
=6-1=5 =6+1=7 =6 =125 S0 o) x1 x/ g2 U
=7-0=7 =7+0=7 =7 =14
% T7 w; M; S8 l9 h8 P$ p! z6 x3 z =8-3=5 =8+3=11 =8 =16+ }+ t3 D6 q) }" U
=9-4=5 =9+4=12 =9 =18
8 u3 Y; T. J0 e0 W1 ] =10-3=7 =10+3=13 =10 =20
$ M, ]: C# N. Q5 v# J4 H =11-6=5 =11+6=17 =11 =22
2 b$ O! {+ L) O$ n =12-5=7 =12+5=17 =12 =245 ~. X3 l4 j0 u, ~' T4 Q
Pn+Pn’ =3,4,5……-0,1,2,3……+3,4,5……+0,1,2,3……6 P# r4 `$ y9 G
=3,4,5……+3,4,5……=2x3,4,5……=2M=6,8,12……=6+2n
d% T; \: g. C/ W" U) Z) E(3)已知M-n’=Pn M+n’=Pn’ : Z3 ^1 Z% j9 a* X7 H7 m4 @6 @+ E
或 M-0,1,2,3……=Pn M+0,1,2,3……=Pn’
1 ~! y: s' W+ D, S9 k即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0,1,2,3……处( y( {3 Q- X1 j( X/ I( a
存在着奇质数Pn M的右边n’处 存在着奇质数Pn’ 且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’ 例题见(2)/ [- H. J" s% G3 |, j
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
8 y, @/ G3 f: [$ ] W五、质数表示式的证明6 X& Y* `+ C' b& _# [) T. _
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………(3)为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……(2) 在式中 Pn Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’ 2n’’为2n的公 由数 Pn=3或Pn=2 ! d: N& @6 A+ j- B v, C
在(2)式中2n’+3 2n”+3必须为奇质数,即Pn=2n’+3 Pn’=2n’’+3
! ~, Q# W) d( D. w6 ~第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0,1,2,4,5,7,8,10……时2n的第一对偶数公由数2n’ 2n’’代入(2) 式均成立,2n的第一对偶数公由数为0,0、0,2、0,4、0,8、0,10、0,14、0,16、0,20 代入(2)式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3% t" J9 x6 {4 S0 }9 ?; B
=0+3+2+3=3+5
% [* q0 _' F; q) s2 m' I; M =0+3+4+3=3+7
4 M* M2 J/ y# v( b7 u =0+3+8+3=3+11
( E) G: S4 s+ ]9 n$ R& N8 o4 I; ^( p+ c =0+3+10+3=3+13
& G; b1 W6 Q' f6 S+ c! } =0+3+14+3=3+17
0 F8 A+ ]% l& Y% [5 Z4 W =0+3+16+3=3+19' _7 A. Z' T# B" {/ @" j1 D" e
=0+3+20+3=3+23
# N" E, H4 \( K% q第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3,6,9,11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0,6、0,12、0,18、0,22 1 l# P% M* ~& r% Q: I# u: \" J
即6+3=9 12+3=15 18+3=21 22+3=25
, W5 a# E" J! [- V. c" p0 v$ P这必须启用第二对偶数公由数2,4、2,10、2,16、2,20 将以上数字代入(2)式得
% N. T& J" a- K/ Y) v0 K! c7 U" y5 PPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
z) \( h; c, d5 B5 R4 S =2+3+10+3=5+13
/ T: |& @1 K5 m =2+3+16+3=5+19
; R8 I5 P# @! g) l! i1 J2 v =2+3+20+3=5+23/ s8 z7 x+ z* b8 Y
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2,3,4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数,如n=12,16,24,27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54 它们的第一二对偶数公由数为0,24、2,22、0,32、2,30、0,48、2,46、0,54、2,52即24+3=27 22+5=25 32+3=35 30+3=33 48+3=51 46+3=49 54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4,20、4,28、4,44、4,50 将以上数字代入(2)式得 Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
! d& Y2 n0 S+ P% ?: x# T0 v =4+3+28+3=7+31
( B4 b' J7 ^) c8 @5 s =4+3+44+3=7+47/ J/ W4 L" a9 J% R& e" k$ T
=4+3+50+3=7+53
2 P) o; b( M w w, y1 W又如n=46,61,2n=92,122它们的偶数公由数如下6 L# H2 @7 v5 _
0,92.2,90.4,88.6,86.8,84.10,82.12,80.14,78.16,76。18,74.20,72.22,70。24,68.26,66.28,64.30,62。32,60.34,58.36,56.38,54.40,52.42,50.44,48.46,46.(24对)
n/ w7 \+ o* _; U& ~$ Y. t# B0,122.2,120. 4.118,6,116.8,114.10,112。12,110.14,108.16,106.18,104。20,102。22,100。24,98.26,96.28,94.30,92.32,90.34,88.36,86.38,84.40,82.42,80.44,78.46,76.48,74.50,72。52,70。54,68.56,66.58,64.60,62.(31对)3 }2 t4 i; ? X
它们的偶数公由数分别为24,31对。9 y. P' I0 ~1 [ F6 s4 L. Z* F
2n=92的有第 9,15,18对能用 即 Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
1 T/ X8 z% o$ B& w/ y2 r( g =28+3+64+3=31+67
. P' Y4 O c# k9 x9 G) v8 Y! q = 34+3+58+3=37+61* W' K& g, z8 R6 t
2n=122由第9,15,30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109 ! A/ w& B0 `; _1 {
=28+3+94+3=31+97; u2 a. @! x! r/ `, v0 S
=58+3+64+3=61+672 i; b" Q4 r4 N; q( y
综述以上 质数表示式(2)式中 n为自然数集时,2n的偶数公由数2n’ 2n’’ 有一对以上使2n’+3 2n’’+3 均为奇质数 # T) I7 ^( s3 |. O
2n的最后一对偶数公由数 使(2)式变为(Pn+Pn’)/2=M=2n’+3=2n’’+3……(4)
3 X9 z% a1 B! a& h d2 r1 O& H =2n’+1+3=2n’’-1+3
6 D/ b' D' o9 `% n0 L( P$ s =n+3
6 K, b/ B. H* }# G k =3,4,5……: I* e( A7 x' ^, w9 ~
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集 根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3,4,5……=6,8,10……=6+2n
" v+ E3 R. L) X! b; n2,质数表示式的证明* e* `$ Z/ ]% y. w' t1 |- P: c V
(1) 已知 Pn=2n+2N-1 9 L5 e$ L7 ?' F! T! |+ i
设N=2 2n’=2n 代入上式2 z% m9 r/ Y. l% ~6 {6 m
得Pn=2n’+3
9 r3 }! J* r% z4 f8 T. c" F1 u% y Pn’=2n+6-(2n’+3)
5 z& A' L1 q( i) @ Pn’=2n-2n’+36 {$ o1 `7 Q% E
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’; M6 q) A. K$ T: ~7 F B- \& |
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’ 2n=4n’+2n’’’
1 ^" Q9 l8 w6 e7 c3 c0 i1 cPn=2n’+3 ……(1)
! A9 I8 m5 C) uPn’=2n-2n’+3……(2)
" r" n) y* l9 v/ M" b( t8 t) e4 H2n=4n’+2n’’’ ……(3)
4 k) R! M( M+ t# \) ]- Z" O上式中 n=0,1,2,3……自然数集 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’’’为Pn Pn’之间的距离 Pn+Pn’=6+2n( h" h( H7 q6 @- m
2n=0 2n’=0 Pn=0+3=3 Pn’=0-0+3=3 2n=0+0=0 2n’’’=0; a) I$ J" N: U! y1 K. f5 \) s% U" g J
=2 =0 =0+3=3 =2-0+3=5 =0+2=2 =1
0 X- @. a' d" ~+ [, J1 K =4 =0 =0+3=3 =4-0+3=7 =0+4=4 =2" F2 K8 ?) ^+ N
=6 =2 =2+3=5 =6-2+3=7 =4+2=6 =1
: k- K& p; }9 @' a: k2 G, u =8 =0 = 0+3=3 =8-0+3-11 =0+8=8 =4
# }( S# u! j2 A9 Y% ? =10 =0 =0+3=3 =10-0+3=13 =0+10=10 =5, G8 z, S2 X; l- I5 A
=112 =16 =16+3=19 =112-16+3=109 =32+90=112 =45# i! E, G/ Q8 q
(2)方程组
E7 T) F; X M% MPn=2n’+3 ……(1)+ [3 B( R! Q) U- \1 [. |
Pn’=2n-2n’+3……(2); v% F8 E( s( o3 k/ u& |
2n=4n’+2n’’’ ……(3)% j* m* \$ Q, e9 A2 x# p6 B
① 方程组的特征或要求 n为0,1,2,3……自然数集时方程要成立0 ^3 d4 r5 E+ Q( f. H
2n’+3 2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对1 K( Q3 v* d1 _
②解方程的步骤
0 N2 ]$ v( I/ s设2n=0,2,4,6……偶数集 根据2n的偶数公由数2n’ 2n’’ (2n=2n’+2n’’)
; @/ b5 w+ L4 R8 Y) n9 m确定2n’ 求Pn=2n’+3 Pn’=2n-2n’+3 根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’$ @' v$ R0 a$ b: d/ `
③证明方程组成立
8 c- T4 H l' L; w1 |- G即证明Pn=2n’+3 Pn'=2n’'+3 $ T: U8 |; n% s/ j9 f
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n" `+ L5 L' G2 s, q3 j! W: {
又已知Pn’=2n-2n’+3 2n=2n’+2n’’ 2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3 & g" G$ o% V( N) c) J C
8 Q- s4 m. m1 ~2 D; U# P2 \2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’ 2n=2n’+2n’+2n’’’1 T* p$ T7 D6 _
得 2n’’=2n’+2n’’’ Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……( x4 b% c# D. `5 H6 V
Pn=2n’+3
$ |0 a! |4 \6 t! ZPn’=2n’+3+2n’’’
+ r, P# x% C: ? 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0,2,4,8,10,14……除6,12,18,22,24……之外的偶数集,因6,12,18,22,24的偶数都可以分解为2,4。2,10。8,10。8,14。4,20即2n’可以避开6,12,18,22,24……
+ p3 F2 `: v# D+ G' g7 N) Y% T即Pn=2n’+3成立
+ U: [9 r3 M: {1 S/ jPn’=2n’+3+2n’’’9 B* G! a4 h8 \; ^
=Pn+2n’’’; X4 p* R; r5 w' b) f c% [# a
=Pn+0,2,4,6……9 Y! L6 u7 ]1 Y8 C/ K6 Y
已知Pn到Pn’的距离为0,2,4,6……, @1 j, v8 Y. E" \1 W
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
0 y" l4 d9 m' x0 U/ R即Pn’=2n’’+3 也成立+ C. x3 v( F" x$ Z! |' h' `4 Q
3 用数字来检验质数表示式的成立" q# B4 V) x2 b1 X) p9 X
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n Pn=2n’+3 Pn’=2n’+3+2n’’’ 2n=4n’+2n’’’7 I. Y. [' l' C4 a5 `) R9 N- J
设 n=0,1,2,3…… 2n=0,2,4,6…… 5 H4 G7 L4 Q1 y4 e8 c
2n=0 4n’=0 2n’’’=0 2n’=0 2n’’=0 Pn=3 Pn;=3 Pn+Pn’=6
$ _' ^, f- h7 `3 j0 L0 X9 z/ [ =2 =0 =2 =0 =2 =3 =5 =8; [. f; U7 t' z" ]! e& V% V
4 4 0 2 2 5 5 102 R- Y! D, i9 \- q4 ~& ~5 j
6 4 2 2 4 5 7 121 W! @! A: l7 c& t M
8 8 0 4 4 7 7 14& V) y7 d6 c0 S$ D3 R9 W
10 4 6 2 8 5 11 16% u+ i5 U# A k* R4 l
12 8 4 4 8 7 11 186 D8 g+ D" N$ p6 }( T! }: R) ?
14 8 6 4 10 7 13 20
" \; ^3 Z0 c; ` 16 16 0 8 8 11 11 225 F0 x9 z3 V8 L, o4 L5 ]/ t
18 16 2 8 10 11 13 20; {% h0 Q/ n! B6 s. i! I1 I y
20 20 0 10 10 13 13 26
' C5 {. t5 x- T 92 32 60 16 76 19 79 98 4 Q x! d* x# U* I L0 d
92 56 36 28 64 31 67 98
" N; K1 }# c9 N6 L- U$ k3 K& p 92 68 24 34 58 37 61 98& P# ^ B* N2 j. S
122 32 90 16 106 19 109 128" A* b& }& K# o# m: B$ p1 i2 Z
122 56 66 28 94 31 97 128
8 J$ {3 X) \, n( n# ` 122 116 6 58 64 61 67 128% _; E' p- {1 ^$ X# K7 x
2n=22222222222222222 4n’=22222222222222220 2n’’’=24 e d6 I ~% `
2n’=11111111111111110 2n’’=11111111111111112 Pn=1111111111111113 Pn’=11111111111111115 Pn+Pn’=22222222222222228
( G# b) R- V: [/ u六,奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法7 `) \/ @7 L3 h- R
1,以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即(1)质数除2外都是奇数
8 p+ K- |! U6 o; g(2),由于是奇数,它们之间的差为偶数 即Pn’-Pn=2n$ Z+ E3 v, A8 J4 [ c2 x, Z4 j- h4 G
(3),它们的分布是不规则的; o6 N1 T" c1 v u2 O; _, w& r
由上述三个特征得到三个定理(见注2)
* d# B) g7 u8 f3 g: l) B: d5 C! z即奇质数之间的共同规律1 w1 ^' S2 Q: ?& n
2,以上证明涉及到五个问题+ m/ Q$ i: M) k( y9 m, k
① 公由数理论。注1已经说的很清楚,是大家可以接受的数学公理,无需证明和检验& A, ~0 _& q- m# F% Y. e& X/ @' `- A
② 最后一对偶数公由数也是存在的,大家也可以公认,无需证明
8 C) F" t- \3 \; i③ 由最后一对公由数求得(Pn’+Pn)/2=Pn+n=M 的方法也是正确的4 v* b& S! u8 h/ O% x3 a6 B
④ 由2n 的最后一对公由数,求得M=3,4,5,6……或M=2,3,4,5……也是正确的6 R4 y: e8 R- _7 }5 D
⑤ 通过定理三求得2M=6,8,10,12……或2M=4,6,8,10……这个方法也是正确的。& a; E, E; ~2 G/ K h/ T5 A8 h6 z
3,公由数是鄙人发明的新概念,新理论,正如王元所说,它是一种新型的数学模型,它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想,以上三者缺一不可,事实上没有公由数新理论,也没有质数表示式,数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前,即使是数论专家也无法证明猜想,数学家希望催生新的理论,公由数和公和数是最基本的数学概念,犹如公因数和公倍数一样,无需证明,可视为数学公理。
& X0 Z8 o. a6 B- R; C. Y% j% g鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
8 Q+ ?% N5 C# r' q; b& C注1:为了便于证明和计算,俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
9 C+ z# G5 j. Y' S4 m7 \) G- a因为因素与理由意思相近或相似3 y' M w! B& O7 `
公因数与公倍数相对应,俾人将公由数与公和数相对应,前者是乘除关系,后者是加减关系。
5 Y0 `% C }2 j. o# i1 R公和数和公由数定义:任何一个数(自然数包括0)都可以分解为两个数的和,这两个数的和为公和数,而这两个数为它的和的公由数8 f" F8 q3 b( u7 `
如:1、2、3、4、0 可以分别分解为0、1,0、2,1、1,0、3,1、2,0、4,2、2,1、3,0、0,以上1、2、3、4、0为公和数,它们的公由数分别为0、1,0、2,1、1,0、3,1、2,0、4,2、2,1、3,0、0,特例0的公和数和公由数相等$ E; H( f# R6 Q ~+ i& Y
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集(包括0)
' a& K6 y) g. t, C又如,6的公由数为0,6 1,5 2,4 3,37 i$ S% ~ Z9 k" q; G
0和6,1和5,2和4,3和3的公和数为6
0 n) }7 O$ s& t6 V! N4 z因,2n’ 2n’’为偶数,只能取0,6,2,4同样,8的偶数公由数为0,8 2,6 4,4以上情况是显而易见的,不必证明,可视为数学公理,以予公认3 K3 N, x/ i3 ^, V- k
任何偶数(包括0)都有一对以上的偶数公由数
5 x! I* l* R) g* {% _( p. C 设2n’ 2n’’ 为2n的偶数公由数 则 2n=2n’+2n’’ 或 2n’=2n-2n’’ 2n’’=2n-2n’
$ w: v( M) ~2 r8 E! m* B3 X" q2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’ 2n’’=2n-2n’ 来表示5 ]0 |- e J: p# U/ R
注2 在数轴上,任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数(Pn+Pn’)/2之间的距离相等。即(Pn+Pn’)/2-Pn=Pn’-(Pn+Pn’)/2式中Pn’>Pn(定理一)。# l, Q% }7 s9 K9 o+ }/ y2 x
下面来证明定理一:$ F+ U* r# \7 p4 B% Z' v
已知:Pn’-Pn=2n’ 因两个奇质数之间的距离为偶数,可用2n’表示。
- c& M5 ]2 h# J6 N5 g" B3 i则Pn’=Pn+2n’ 将Pn+2n’=Pn’代入上式得(Pn+Pn+2n’)/2-Pn=Pn+2n’-(Pn+Pn+2n’)/2/ S2 G. @+ L: E( D& P" K
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’ n’=n’ 定理一成立/ q( `3 o# d8 s' Y
即任意两个奇质数pn,pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等,且=n’(奇质数定理一)2 k/ ?7 Z5 q' K, E% k: n
由上得:Pn+n’=Pn’-n’=M 即M=Pn+n’ 2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
! R% y8 g, p4 h$ @+ eM=(Pn+Pn’)/2 即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
9 [' S+ E( D! T由上得到第二个定理:在数轴上,Pn’与Pn之差的二分之一为n’(即Pn’-Pn=2n’)
$ v% s( r [$ r2 j9 f则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
* n" S& X/ K& H1 C( g即任何两个奇质数pn,pn’之间一定存在一个正中间数M,且M=pn+n’=pn’-n’(奇质数定理二)
$ b- b; }) h4 c+ C3 F得Pn’+Pn=2M. M=Pn+n’2 g* E' X0 ~3 {6 v" V
例 # l% s, b |0 N! f( A0 ~' n1 i% M9 O
pn 3 3 5 5 59 61
: P2 C) |+ L1 I& e. J0 `2 w. y. L: Z1 R5 o, E& d: S
Pn’ 3 5 5 7 67 67
: v, y5 n$ g' R4 M- D4 i2n’ 0 2 0 2 8 6
' s; b$ f7 a" N; ?: J8 [1 _n’ 0 1 0 1 4 38 t# _) W- J \
M(Pn+n’)(pn’-n’) 3 4 5 6 63 647 ]+ A8 I/ i! B- p
2M(Pn+Pn’) 6 8 10 12 126 128
9 `( U8 S4 @: V$ O5 O4 F由上得 Pn=M-n’ Pn’=M+n’ 由此得到第三个定理(即定理二的逆定理)2 ^+ }' d3 M9 i7 A
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数,则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数 pn pn’且 pn=M-n’
: h/ ` \/ F) O3 E4 a2 Z+ n5 u( BPn’=M+n’ 得 pn+pn’=2M
) o3 x6 v, k; E" l. x& |M(Pn+n’)(pn’-n’) 3 4 5 6 63 64; y p6 Z" Q; j- o
2M(Pn+Pn’) 6 8 10 12 126 128% u* [! a: f6 h1 d; z8 ]
2n’ 0 2 0 2 8 6( m& [9 k" C1 Z4 c* s& [
n’ 0 1 0 1 4 3
- J& M1 g' l0 P/ W4 lPn 3 3 5 5 59 61
! C1 f) B* g) N. D% H' iPn’ 3 5 5 7 67 67: W" p6 e1 Z2 A, `8 X
- S8 [1 u" p( t5 R8 J
注3:在(3)*式 Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中 " l2 S9 J3 i) D; a
若 Pn=2 代入得 Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……(2)’! [5 O( n( _8 N9 [
式中 2n=2n’+2n’’ 即 2n’ 2n’’为2n的奇数公由数 (这里0既是偶数,又是奇数); y ~' V- t) K& g' ~; n
例 当n=0,1,2,3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
6 }! E; @8 z7 N' ~. r# L. j! b 3+3=1+2+1+2=4+2' L8 D, S' o1 v3 v2 y8 L
3+5=1+2+3+2=4+44 m y5 h8 c! }, B! O4 R
5+5=3+2+3+2=4+6
5 @2 Z6 n- [! t. u5+7=3+2+5+2=4+8, I. S7 O, S2 Q% S* |
7+7=5+2+5+2=4+10
5 i' D' W/ m% A$ k# x59+67=57+2+65+2=4+122' L0 W' }3 z5 Q9 ~5 Z3 v5 J
61+67=59+2+65+2=4+124# g! h" ^ E1 p8 I4 t/ p
…………………………3 I( B# ?7 j5 a1 G6 [( u
在(2)’式中,设 2n’ 2n’’为2n的最后一对奇数公由数
4 `5 v( ]& Q) T& d; _+ N) B当n=0,1,2,3,4,5……61,62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
) N# H! S `4 T/ A! c# S. ~1、1,1、3,3、3,3、5,5、5……61、61,61、63,……∞/2、∞/2。! h/ H) f9 L9 S' _$ g: B
若n为奇数时 2n’=2n’’=n) o) f& L1 t& i3 A1 U) y
若n为偶数时 2n’+1=2n’’-1=n 代入(2)’式 再根据奇质数定理 得 (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
2 _: [2 T9 C5 e9 `M=2+(0,1,1+1,3,3+1,5,5+1……61,61+1……∞/2)( U7 W$ e( d8 O3 K' H7 ^
=2+(0,1,2,3,4,5,6……61,62……∞/2)/ V3 M' L( K2 V. `; @
=2+n=2,3,4,5,6,7,8……63,64……∞/2
( ?( W6 u" B2 ?3 `' k再根据奇质数定理3,得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63,64……∞/2)=4,6,8,10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n( K/ o1 v- v3 T" I7 }# D2 z
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。* [' N" ~6 Y3 e
笔者 蔡正祥
3 `* V! S/ x7 y, O3 U M* d1 ] 2011-8-6
# N$ j! ~4 l3 R" A2 F4 P6 \, A5 b& Z通地址:江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室, r5 E- R: \- I, s. c
邮政编码:214206 电话:0510-87062749 18921346656 15370276856
( S: i8 H4 G' E7 u8 n1 g1 {: B籍贯:江苏 宜兴 工作单位:宜兴市张渚镇政府6 C% e1 ?7 k* \
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