哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
& T! h) w2 K8 ]6 N9 |" u7 G    一、质数表示式
; _- A$ T) p  O. b! h* a' Y2 P1、质数表示式的由来
8 W! e0 V0 E* \* i已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
# L# X' G5 G5 Q5 h将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
' Q. J# T- q/ Z2 I- P# Q以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
6 j/ R  R( c: R4 s; i3 |, ]则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
; q* K+ L5 @; ~0 p; C0 a同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
+ a8 u' k) ?2 B4 }  A由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
& W4 o9 I  b+ O% _7 e  ~即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
* N  R* L$ E& l/ H  l 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
! V9 S: |0 ~; ]$ W& b  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
+ N0 M) y/ h, y; v' v由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
: S7 ^0 Q7 d6 {均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
" C) Z9 h! B0 |$ x  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
7 F* F) w) r1 g& e" V, i1 [设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
& F* x1 {1 L# X8 I根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
; V4 K8 @; @! W, P% d; F4 Q* S3 W2 I其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
. \( y4 F5 f# T2 i/ z: }' d这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
5 D& E' V9 m7 u$ L5 e即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
' N8 d5 d5 V; s5 j2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
; j, a$ a4 ~  q! L3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
1 Q% n3 e# x* }2 j/ ?, ^7 H3 R# Z! r$ P1 p直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
7 ]( G4 h% W9 P8 \( w  t% i- z- C即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
5 m$ [# v7 h! B7 H8 G3 O代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
' V5 y  X9 k) o) Q$ |在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
, g) L: T! }: ?又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
  k9 o. w1 M+ ]) E. F! ^! M代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
. B8 m1 W5 I# e& R8 Y0 s即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
- n( l! F7 e) u2 V或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
1 j/ L/ s! \* k( K# R从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
& t! Y  N8 b( ?# X# Q; w由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
8 V  s: k$ s! G% U2 d3 y) G（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
% v- I2 m. M/ S0 a8 x) ~. h8 H6 j（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
: C$ ?: r; a! b% \2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
, s- @% z( W5 g+ e- `$ h& v8 @, B- C3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
  U( q" ^5 D8 t0 E7 O* r设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
. _* D4 ^- `9 {/ O7 z5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
7 F2 _3 F1 b, L% b+ N. _$ ?例  
9 A2 ]& C7 ?: l5 e! Nn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
/ o% M( r: g: O8 ~0 W) t' sPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
* b: k2 @3 V7 v7 e9 w! _Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
4 U' i  A2 h7 S: a又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
: `4 _3 |: t* G* J' w( u( y/ U6 n则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
$ R( ?' J5 q+ a9 ~* TM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
5 v$ F  m/ n, n" B, C1 _+ ^然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
2 x* L; j2 `7 r: {) c已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
% p1 e3 c+ p; b% `Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
( }2 ^3 m2 b- c% f6 g3 d2 iPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
; a1 R+ m1 e2 M+ [7 _! F$ ~
) k+ m( v9 @( }) I4 m       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
4 u& d) C: ?0 j* E5 k* R设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
8 q. w  e, g$ C' v  P/ A0 M代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
# ^0 b( C: |; K3 h' {& r& z由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
; M- B0 V5 E  x. K/ ~! ^: [! o/ p设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
) v4 Q$ q. y4 d- f+ S+ L5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
: J5 o" w1 F! h( K* \# e代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
/ u8 W; ?* x' v# t- ~或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
+ H% [, ^! k+ c" `即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
. a5 M/ |( k9 M2 B! P& d  W设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
; X4 i; l) \6 b$ g$ F- I得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
% G0 y. Y  B9 a# P; }9 V若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
1 s% `/ D: x2 }+ \1 G; k% E, M  U% G同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
7 e: V$ @) {: J; in为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
$ c2 E! Y, _$ s+ g& v( A# ^! y2n’=0,2,4,6……偶数集
' N! ]. P% m# M. o& @1 V* W: n& vn为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
) ~, Q* A5 R/ j: }. l6 I$ dPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
  i3 `- j6 S6 p! f 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
, d: [2 ?6 U3 e. @Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
5 d! V$ l+ t' S* ^- ]8 X. \- L0 l得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
; Z0 P; m& k* K7 W$ l8 f     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
7 P# p! ?7 X3 [+ l8 l( P    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
/ p. E# z" w- r( U  p! K6 K( MPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
, X$ F+ b! E' N; E1 z五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
% S' s0 q! h5 Y: n: z5 b! L在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
- b2 q. N( Q, r! J% a% D0 S4 F& g6 Y                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
+ V. b( @/ b# s) q6 U' A9 f                                             =0+3+8+3=3+11
' D8 d: k) [* Y+ C                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
4 G/ E+ O, \1 w9 F: T2 I) Z" f& g                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
' W2 J- m; H) [2 j+ aPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
6 C7 h+ S, V6 x* [9 b+ N      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
% E- z% l4 A' P! ~2 w. ^      =2+3+20+3=5+23
" p" @9 L+ _6 z第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
, `' C8 q4 j% B# \            =4+3+28+3=7+31
$ z" Y5 {$ K2 F, r1 C, B            =4+3+44+3=7+47
1 T! L% b& h4 T            =4+3+50+3=7+53
& y. \/ {' k/ r4 ]9 H" R1 k又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
) l$ X& L1 p" C6 ]" ?# ^) o6 a! q0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
9 v0 z& o5 [4 C& K) L它们的偶数公由数分别为24，31对。
/ M" ~9 |# J. Q* r1 }. x& B2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
. e( N# }. ~$ Q$ |                                           =28+3+64+3=31+67
2 Q) h8 }" }$ U                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
+ _( ?+ u5 H7 o; @" m& v+ B                                   =58+3+64+3=61+67
8 a! i: ^5 z$ X- |综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
! o* B8 t  c- @  S5 n$ F2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
5 I# v- x# `) \& e4 z  M                                                   =n+3
. ^) g7 O$ q( i2 X" s$ T                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
' G; P5 O6 T4 k9 e+ ]  O得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
5 k  A& ~- j6 T" w9 L8 _$ _      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
5 M: a  Q4 G) n7 v1 r2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
7 j- h# [2 u; o: o& C' HPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
' p( l. q$ F0 k4 l# t3 d5 `2 Z2 g  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
% s3 W6 f, K3 x4 Q9 o, [7 T  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
% e% J. \6 E: X8 ^Pn=2n’+3   ……（1）
$ ?$ u) y$ s! y0 u. D( H, EPn’=2n-2n’+3……（2）
/ ]' R9 P! R" T: O$ u2 E  m2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2 H) U) D( T0 V+ Q* p/ T2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
7 C  @" `. O$ E  W4 a9 I设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
- y- R) E& @  c已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
7 K7 P3 K! c" A9 `0 J1 J. \1 F即Pn=2n’+3成立
* t1 c9 t" P7 E4 W1 x4 C0 w; rPn’=2n’+3+2n’’’
2 L2 S4 r% S: ]7 b* ~$ Q; ^+ ~  V0 {9 M  =Pn+2n’’’
$ k# [9 w1 c. P  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
! R% b( r! S$ F2 C4 q) j! X! ~" H- W即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
4 K; Y& ?) ]0 C5 d5 a( F# e设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
& \# W% m- e( @3 y  o     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
4 i3 d7 V4 g: u; H! r7 {3 i1 `      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
& z: d) u! a( K4 W5 S( h* V0 c      10       4        6         2        8       5        11          16
( C7 z% g9 Q* {' w      12       8        4         4        8       7        11          18
3 H+ I( U8 \/ T) L      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
3 R8 m% ?1 z$ {     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
1 ^  `4 e1 a, N6 A5 R2 q# g, F, t/ x     92        68      24        34      58        37        61         98
/ g9 l1 h' U8 F) d" o9 e, \     122       32      90        16      106       19        109        128
! E4 g- D$ y  W  g8 h" j     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
, j9 ~* h- x$ \2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
- P' W, ?. j1 g( J" w' m/ w$ b7 t六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
4 Z9 y- [( \+ v- Y6 ?8 A. M1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
: T. D. m, Q& w(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
* N2 U" X, X. B; a8 U: k由上述三个特征得到三个定理（见注2）
# n: @% I6 l; M即奇质数之间的共同规律
. T: }7 g8 a3 r7 h' S& `+ A2，以上证明涉及到五个问题
6 Q# {+ z+ a% i9 [9 t3 d. Z4 X  g ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
' ^/ m3 M7 S* ]- b: b! |3 E. d ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
' b  [: |2 G% V: q. u# v' o③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
- p, U" C9 [7 ^; G. L ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
  L" x( l! i& ?7 _3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
1 ?: P' {& m$ K6 @2 C又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
6 _( Z' K7 X- i5 t; C因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
! t6 |* h. w; X) F' n注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
" B1 D  Z* N+ y1 `9 H* ?8 R1 h! U下面来证明定理一：
. v8 u0 p# h* t. O已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
( ^% I- j# e$ {+ V4 f5 p& m则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
7 y9 r/ n9 t3 n即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
- ^* C: N6 t4 W由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
& y; Y! ^( ]* t: F1 {M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
1 y7 h2 X+ X1 [$ }! x% n- P得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
pn        3        3        5        5        59        61
# G/ }* R! V* K6 @
Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
% ]4 R5 `2 S( P; P% F, b1 m# T由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
" j; R# J& j# w: K9 n即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
& J) T. T* h7 HPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
! J, u# [% \  S. n: dM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
$ D7 w7 e, g0 `- C2 F$ `2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
8 v" z& K1 K6 K! s2 P2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
7 G7 P% w( l: A* n5 y+ S" }Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67
8 p- i! p- ]! \. n* U$ }0 k
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
% [; Y" i  y8 b' t% Q例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
9 i9 b4 s8 m5 v0 D. C5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
& y% o4 A4 u7 ^% z…………………………
. Z( e; N  ^( l! _在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
9 E! u. f9 v# O1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
6 C3 I6 A# G( y" A% e若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
' [. o' L# z8 vM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
0 i5 D  d2 _! ^8 X =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
5 j/ t+ T! W4 d9 i/ b7 v再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
5 o  V$ O! s$ ^即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
  z+ k/ @( [0 y* A4 U笔者   蔡正祥
        2011-8-6
3 \( }# j4 n" f1 e; A: a通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
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( m9 I$ H9 F" x4 \+ K! C9 ^& p籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
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