哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
0 M1 `- v* u9 }1、质数表示式的由来
$ K  N( |% }( D已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
  k, V+ U: m2 }它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
  e; ^7 w. H6 t将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
0 v6 H8 j6 A* N% P7 b已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
) O! W% l. a' I$ M' W& h- M同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
% ?, n! X) F% }8 f0 V  Q) O# L由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
1 ^' m6 y. `. Y即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
( h6 v# y8 w" l8 S（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
! o8 E! s2 H  S8 ~  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
$ D" T/ P9 ~# S5 d2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
- Y* D" k2 P/ b! W: f4 E设2n"=0、2、4、6、8……∞。
* g! ]: N/ E7 R# R! v即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
5 s* T  r6 V% G& ^% N1 v% S  ?0 `Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
7 |" U, [+ K$ }! P( P                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
$ ?9 D+ G! s: g+ W0 h即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
) k% T# {; ?" b5 f4 L; u2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
4 x9 {' Y6 Y% j9 A/ H1 ]/ A( T/ y3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
0 c$ C  `6 Y$ B* c即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
! _2 O$ U, n3 O/ t在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
9 w9 h( h8 Q7 R) Q) T在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
( X, O" `; W/ ~* y2 C) M即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
3 p' G5 \. a( K5 }# u由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
4 `5 f. T7 j2 y7 u6 h8 `（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
# ^' X: d! D/ \4 `3 f& \0 K二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
' m  V9 w9 B$ o1 L4 B! S1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
- F7 v. p3 X) _2 Q0 ]若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
* H/ P" B' q( _5 L2 O. B
得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
* f' R& _7 z' J（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
6 J# i+ z5 h" S' l$ g! Y9 i2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
. B/ y- o5 O9 v$ @$ \2 T) `即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
! G/ v3 D* F9 i9 }: q9 |. b9 fn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
0 I& X/ t+ u- U4 q6 Q$ b' n) _Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
9 K+ ?# J2 M! S' g4 o4 mPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
& z) P; O: A6 |* p/ z5 @" r. _Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
# m7 D4 D! F3 j$ E/ A
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
! A7 z: L9 F) A; X$ Q3 O* q4 h(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
3 t3 b; b& w4 E8 r然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
' i. _' w! Y& O' T已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
9 y& J* x; a9 L( r
% V& x1 s2 }5 [* I% w% x# @0 C* Z       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
6 O7 L8 H, x* P4 i$ y# J三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
# c: `# j  q0 G2 p& O& |) b9 O# [设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
' L$ E- x4 M  S0 V; g若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
" {& L6 z! B# i: \- U7 V由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
* }* N% U$ S# X: [; ?当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
8 K! W+ }8 K9 H) d7 N5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
$ }! e- H, n0 P$ k0 S: z7 j6 y代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
/ _& P4 Z# y. l) P1 T7 V5 N, X或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
: ?9 j% S4 x3 U7 {, E, x即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
/ D) D  }9 m9 F! z8 D6 b' {" o+ @在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
+ @1 x9 q6 l+ i) q5 p" Y代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
( t  Q/ B; x! `) h* {" ]$ B设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
4 N1 |  V' l/ Z! q1 R/ @得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
) \; [# ^/ \9 \) w) _若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
7 E2 g/ H' e8 _9 [) J+ N5 [5 P即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
5 Z6 x0 `( Q) z& `4 C6 X2 N2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
( K9 X% ~$ |, \) ^n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
/ n" W/ S) x( s$ E! \$ }/ X将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
% f6 Y: g' ~, I- J" @1 d; b/ g4 jPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
1 B( y) V5 W9 v% ]: W) N设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
$ T/ b1 p0 J$ y8 a- }（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
( _1 t8 L& \, Y; MPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
" d3 a) o1 `3 d8 d3 E4 N, l或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
5 ~- F4 L8 X5 i) ^                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
6 z% K  T' z2 g8 _' R& x     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
8 i; b& F- \" c* |7 c/ S" y     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
& ^3 k; k! [4 }  S+ h! c     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
2 ?* X& a7 N' Z, Q+ y  O    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
" Z0 \0 V: G- O$ I# x2 i, n    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
2 e% O/ L8 y) P9 C1 C) ]/ PPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
* k  l& c/ M; @* b5 G8 K* y      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
' y8 b& z$ B" ]（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
+ I5 C' v9 a4 d8 v: l0 v: q即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
$ U" M8 _# X4 v: X4 G1 V3 @由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
2 v, p0 U6 j+ ]# r& m0 |- ~1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
* `4 x9 X8 \% V在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
5 {- l, |1 V' x7 Q; z* a5 g                                             =0+3+14+3=3+17
; c) \0 s  [, {: g6 V7 `! t0 C                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
5 Z" c* {3 b6 N: x2 A1 S  N; c+ y第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
: }1 U& P6 d' Z1 q; p7 x. V# P      =2+3+16+3=5+19
8 k' [! X+ V/ @7 P& y      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
0 v2 J( e' X0 M# f            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
0 j$ K3 ]' j7 F. d7 W# G            =4+3+50+3=7+53
; W) o* B! p) O3 v& V$ m; Y又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
3 Q! [- z+ p) z2 m1 h8 ~/ T0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
: G1 q" c% G! g7 _& }+ Z% ~它们的偶数公由数分别为24，31对。
. U7 m7 u  c3 Z+ m2 B. r# a2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
- N+ b& f" G2 |+ K  C8 g                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
$ o% |5 e0 |$ L1 Q2 r2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
3 O' s% `+ R6 G  \4 j: ~4 O8 U8 E                                   =28+3+94+3=31+97
3 X+ A& H3 d8 `4 U4 O( {                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
6 H5 V+ E, [, a! C8 [" L                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
0 i8 L& r/ R4 ~0 r& a. y7 r4 X0 T: |                                                   =n+3
  k* A( @7 k+ e$ O+ z0 H                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
' Y( o2 o( U7 V设N=2    2n’=2n  代入上式
* }8 s" L' @' S3 d, G$ I3 a7 p, j得Pn=2n’+3  
. Y: V) m& ~8 w3 z: E      Pn’=2n+6-(2n’+3)
. Z% P0 A2 M* E! `+ @. I      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
" k& ^( [8 w' H; }6 ZPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
, i% T' I8 R% K# v! \- n$ o8 S2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
; @( ^6 X3 n' D; j5 z（2）方程组
) e9 ^4 R( T! T4 B# ~Pn=2n’+3   ……（1）
. d0 w' D5 ^$ Y) Q9 s1 APn’=2n-2n’+3……（2）
* |, o# `+ M/ A  u. M3 K% \4 G2n=4n’+2n’’’ ……（3）
, }' x. c/ R2 m$ P- T①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
( |% T" G* F  r: v) @4 G2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
# w: R5 O7 T: {* j6 F, u/ p设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
9 J& E/ b; a1 i- S! _; Y1 y9 V③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
$ y" k  @+ ?8 H已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
" w* Z  q% ?* e' y( ^; V又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
1 u2 P5 w9 r  G7 Y* e  c得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
- G0 \5 c' P! L9 I1 [6 kPn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
& z  s) W+ x+ o6 M即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
0 Y( N3 }  I3 Q9 [1 ?: X+ n  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
3 n, x. Z' O, z" W3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
  c  ^8 A8 z5 o$ u# j) `0 E% T设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
- m" d/ Z/ u- Y/ T& ], b   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
$ I" t' c4 p  h# u     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
- r& [5 i6 u5 c! v$ ]# Z* F/ d      4        4        0         2        2       5        5           10
: z0 X, w: Y' H  e% }+ f      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
0 O4 Y/ F0 [1 k2 x( B1 m      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
# O- Z8 A: }4 w/ }, w. Y" V     92        32      60        16      76        19        79         98
3 z' s) N% L& n7 C4 g7 |& t0 R, C# E* m     92        56      36        28      64        31        67         98
# w" o8 p  d) C* v% x) f: G     92        68      24        34      58        37        61         98
* e2 |6 _( ^$ {0 j     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
- z8 B' x5 T9 g& [% ]$ |) W     122       116      6        58      64        61        67         128
- A+ u9 @7 H( n! C& o; h6 I 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
! [0 P( K* t  Y/ M" x) D. L7 h$ r六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
' b$ ^* C/ T5 v5 k3 [1 p(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
% L( W/ q. p4 F即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
$ h8 ]+ d, p# p  B ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
2 @! Z8 }5 S2 U, J③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
: Z1 r2 I6 \' k3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
; L* h8 O; J5 q7 s' f$ N) V$ q因为因素与理由意思相近或相似
9 I$ `9 a4 r( o; U" u( {$ S0 h: E公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
+ s( G. }! t; V8 v- Q5 p- J/ g: Z公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
. U  t- a. L/ h0 J, l如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
& n' n8 c: d. ] 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
3 o3 F( ^7 C( q) @5 p7 i2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
2 e, O3 h7 L' x1 L% V4 y: p注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
9 f3 j9 D# ]0 R. r' k7 O& i$ x% C8 e已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
0 B( @( c$ c1 i2 l: T! X4 z$ xPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
; I' A$ c: t% q4 ], z0 ^9 S$ gM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
% L. Q+ Y" E3 A; P1 y( N8 S# T得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
" D5 z& C5 h8 g$ y, r, t  q6 \* A例
pn        3        3        5        5        59        61
7 c$ c5 i- c: {
Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
. h  V& r: G0 d& S, M: qn’         0        1        0        1        4        3
2 p' _. j# I* d2 f  k- [M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
4 i4 m% C# H# D2 j8 {$ S由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
$ Q8 I1 l3 @6 d# I即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
1 P3 |. F9 _, U2 ?8 y' \5 D) sM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
9 e6 b& e# |  `6 O! d4 Jn’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67
. j+ t2 t, X5 z2 F! \  {0 o6 f5 y
4 Q& ~5 E# d- ~3 c1 G* b注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
, A& m( ~+ T! V3 q5 M% R7 S( m式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
9 R( ^8 e6 Q) s; z& y4 d0 \$ i                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
) t% Z" m4 i/ ?! h& |59+67=57+2+65+2=4+122
6 x+ y5 v! g- g5 z) f' ^, h61+67=59+2+65+2=4+124
" @+ h, r' A& H) Q% ^5 S; @" e…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
: K4 o/ {1 Q/ }0 {9 H当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
' y3 g+ V; v1 M1 v1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
" h: G/ x: X% p3 L =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
/ `& z8 ~/ g+ [3 { =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
1 I: i9 l! c6 r+ O! u再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
- H2 w1 k" L: r+ i4 t, c7 s( N: t即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
8 g; Z2 [4 u+ D* |# E        2011-8-6
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