哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
) i0 i; S, a/ H4 V) T. V已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
5 R1 G; s5 M1 @# V以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
+ }0 K$ F- Q) w) A6 D; w& ~+ c. G则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
- y/ f. }9 B. J; A$ b- D即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
) U* b2 _% a: X  K6 p( c$ x$ f（2）式为奇质数表示式
+ T( M6 S- z' {* }$ ~. J7 U. V由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
) x" b9 d2 \0 G7 h& c% z3 m+ P/ u4 ^: E由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
; e: w* a* i! M" A" u* D3 b均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
* X' R, _4 R( A% D设2n"=0、2、4、6、8……∞。
3 f7 r% z( U, k  r即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
9 B% `' R3 v2 i2 v; y1 X6 h, n根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
5 Q7 U  m  K. {+ g0 `Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
8 T8 k! r3 H, A  r3 V( }                    
& O& q1 u( p: W/ k1 n0 h+ f) x其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3 y* w1 q, G) i' R, v5 k5 n3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
3 s2 {4 e  s0 _即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
1 s0 l, h. r5 I3 ?4 q+ r6 ?在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
& W& f2 i5 ]( g! w! S- C: _在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
% l- J4 C% S. W* X3 Q/ Q4 h* ~又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
6 {$ y# G/ v+ k即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
, i* k: A2 Q; e, g. ]/ R+ H6 k由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
- W1 H- x/ |6 t1 z$ ~& E（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
( I; J9 o2 B) J) l1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
# H6 d3 ~7 V; g6 N! d- K' ?若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
' k* v& Q0 a5 `0 _, V( \8 c
/ n- c8 x* Y( K% ]' f: T, {得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
0 l* p5 Y- P& T5 o' }同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
* n! X' ~- ]2 G) t; k$ h（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
: K* ?$ l9 z9 O, |5 ~) l! W5 G) ^4 p2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
) u1 Z" c% ~. j8 i, c6 C2 h5 _1 h- _例  
8 {0 l: z0 `2 T0 |/ g1 v6 e0 ^; bn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
) o; g6 b4 `8 c% m  u5 j/ q+ q2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
! e0 {1 Y  S( W  }5 a3 g5 k# }7 B2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
% @0 C: Y) M5 f/ ZM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
" Q2 E6 v! p, z( hPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
( o  Y+ k. t6 r; N; {9 V* fPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
8 w% X& k" y$ `! u6 N/ I" J5 o  a
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
, Q6 c  M6 O% g因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
9 x7 u. k/ b; @! [/ O6 o则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
# \, a9 d2 s( O; q(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
4 m: j2 H8 q$ ^8 u8 ^3 `- vM=11111111111111111+3=11111111111111114
8 ^8 n$ R) v5 s( W/ C根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
/ K6 u: ?3 {! r3 Y9 ^) H然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
* H6 a3 O8 x8 f* UPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
' j) l5 G3 E0 `6 F
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
6 f6 W" X$ T. q0 j# b7 A$ D三，也可以这样证明
2 i- o! h4 q. ?3 U2 N) @2 ]6 k1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
8 P+ X8 w! F5 N2 [; k0 G5 K1 l设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
3 E" X) U0 |3 E& n8 }! ]若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
2 S/ G" Z# O8 c: z代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
5 s/ ]5 ^& z4 l6 k* t# c6 g- ~（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
  e( `( f1 W  e) B" g9 h或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
6 K6 ]5 n( D1 e代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2 r$ Q8 u5 B4 f/ Z# K2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
1 d) j) M4 q% Y9 H. d在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
% I! O% o2 `. S+ S9 W代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
4 u4 W# f4 R; V6 T/ A) |2 Z设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
& J9 T* y6 E: i3 N; M若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
5 S6 Y# {$ M6 C/ [& u% v得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
" G# ^: \/ ]  x6 k4 {若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
8 K1 |% n4 w/ K$ F同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
* S8 I2 r1 X4 R2 }n为偶数2n=0,4,8,12……
6 j! Y+ p! ~, M2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2 S1 H' ~( k/ R6 l4 L, `6 N) v4 d9 [5 N2n’=0,2,4,6……偶数集
, u$ N% ^1 ]7 p- H; On为奇数  2n=2,6,10,14……
: A1 U; h0 ?! g# @; v8 d2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
- e( q1 T+ m* A: R4 _, k7 u2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
. m0 V; B6 i) g* D2 G. C# C将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
5 y# E. y1 O$ T& S3 g 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
) [1 m8 S: @& c3 P  `（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
6 w- b2 E+ ]" Q2 ]0 B; m得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
& b0 l0 g2 P& s  Z1 b7 N     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
% T7 w; M; S8 l9 h8 P$ p! z6 x3 z    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
8 u3 Y; T. J0 e0 W1 ]    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
$ M, ]: C# N. Q5 v# J4 H    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
2 b$ O! {+ L) O$ n    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
  d% T; \: g. C/ W" U) Z) E（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
1 ~! y: s' W+ D, S9 k即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
8 y, @/ G3 f: [$ ]  W五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
! ~, Q# W) d( D. w6 ~第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
% [* q0 _' F; q) s2 m' I; M                                             =0+3+4+3=3+7
4 M* M2 J/ y# v( b7 u                                             =0+3+8+3=3+11
( E) G: S4 s+ ]9 n$ R& N8 o4 I; ^( p+ c                                             =0+3+10+3=3+13
& G; b1 W6 Q' f6 S+ c! }                                             =0+3+14+3=3+17
0 F8 A+ ]% l& Y% [5 Z4 W                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
# N" E, H4 \( K% q第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
, W5 a# E" J! [- V. c" p0 v$ P这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
% N. T& J" a- K/ Y) v0 K! c7 U" y5 PPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
  z) \( h; c, d5 B5 R4 S      =2+3+10+3=5+13
/ T: |& @1 K5 m      =2+3+16+3=5+19
; R8 I5 P# @! g) l! i1 J2 v      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
! d& Y2 n0 S+ P% ?: x# T0 v            =4+3+28+3=7+31
( B4 b' J7 ^) c8 @5 s            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
2 P) o; b( M  w  w, y1 W又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
  n/ w7 \+ o* _; U& ~$ Y. t# B0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
1 T/ X8 z% o$ B& w/ y2 r( g                                           =28+3+64+3=31+67
. P' Y4 O  c# k9 x9 G) v8 Y! q                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
3 X9 z% a1 B! a& h  d2 r1 O& H                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
6 D/ b' D' o9 `% n0 L( P$ s                                                   =n+3
6 K, b/ B. H* }# G  k                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
" v+ E3 R. L) X! b; n2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
9 r3 }! J* r% z4 f8 T. c" F1 u% y      Pn’=2n+6-(2n’+3)
5 z& A' L1 q( i) @      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
1 ^" Q9 l8 w6 e7 c3 c0 i1 cPn=2n’+3   ……（1）
! A9 I8 m5 C) uPn’=2n-2n’+3……（2）
" r" n) y* l9 v/ M" b( t8 t) e4 H2n=4n’+2n’’’ ……（3）
4 k) R! M( M+ t# \) ]- Z" O上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
0 X- @. a' d" ~+ [, J1 K  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
: k- K& p; }9 @' a: k2 G, u  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
# }( S# u! j2 A9 Y% ?  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
  E7 T) F; X  M% MPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
0 N2 ]$ v( I/ s设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
; @/ b5 w+ L4 R8 Y) n9 m确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
8 c- T4 H  l' L; w1 |- G即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
8 Q- s4 m. m1 ~2 D; U# P2 \2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
$ |0 a! |4 \6 t! ZPn’=2n’+3+2n’’’
+ r, P# x% C: ? 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
+ p3 F2 `: v# D+ G' g7 N) Y% T即Pn=2n’+3成立
+ U: [9 r3 M: {1 S/ jPn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
0 y" l4 d9 m' x0 U/ R即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
$ _' ^, f- h7 `3 j0 L0 X9 z/ [     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
" \; ^3 Z0 c; `      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
' C5 {. t5 x- T     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
" N; K1 }# c9 N6 L- U$ k3 K& p     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
8 J$ {3 X) \, n( n# `     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
( G# b) R- V: [/ u六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
8 p+ K- |! U6 o; g(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
* d# B) g7 u8 f3 g: l) B: d5 C! z即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
8 C) F" t- \3 \; i③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
& X0 Z8 o. a6 B- R; C. Y% j% g鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
8 Q+ ?% N5 C# r' q; b& C注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
9 C+ z# G5 j. Y' S4 m7 \) G- a因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
5 Y0 `% C  }2 j. o# i1 R公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
' a& K6 y) g. t, C又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
0 n) }7 O$ s& t6 V! N4 z因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
5 x! I* l* R) g* {% _( p. C   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
$ w: v( M) ~2 r8 E! m* B3 X" q2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
- c& M5 ]2 h# J6 N5 g" B3 i则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
! R% y8 g, p4 h$ @+ eM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
9 [' S+ E( D! T由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
$ v% s( r  [$ r2 j9 f则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
* n" S& X/ K& H1 C( g即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
$ b- b; }) h4 c+ C3 F得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
pn        3        3        5        5        59        61
: P2 C) |+ L1 I& e. J0 `2 w
Pn’        3        5        5        7        67        67
: v, y5 n$ g' R4 M- D4 i2n’        0        2        0        2        8        6
' s; b$ f7 a" N; ?: J8 [1 _n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
9 `( U8 S4 @: V$ O5 O4 F由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
: h/ `  \/ F) O3 E4 a2 Z+ n5 u( BPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
) o3 x6 v, k; E" l. x& |M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
- J& M1 g' l0 P/ W4 lPn        3        3        5        5        59        61
! C1 f) B* g) N. D% H' iPn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
6 }! E; @8 z7 N' ~. r# L. j! b                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5 @2 Z6 n- [! t. u5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
5 i' D' W/ m% A$ k# x59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
4 `5 v( ]& Q) T& d; _+ N) B当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
) N# H! S  `4 T/ A! c# S. ~1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
2 _: [2 T9 C5 e9 `M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
( ?( W6 u" B2 ?3 `' k再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
3 `* V! S/ x7 y, O3 U  M* d1 ]        2011-8-6
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