哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
/ d# M' `7 N. K3 c* ^. e# |它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
" O/ c" h! T7 Z4 |, ^8 m6 Z将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
' S' V0 U1 j; F4 M! V) B已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
, W" X% w5 |3 Z同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
1 _0 C4 G/ `! J/ T) D由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
5 S0 O  ^) k. {$ J3 e即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
) R3 l6 W9 @: y由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
0 m6 O4 E" o- m5 Y6 B5 C+ `由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
  i* d" R# W0 D. i均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
! d8 n8 m& g1 p4 G! {即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
, H* @) ~& D) D7 C根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
5 \& \2 p* p1 y. V$ q" x% L用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
# w5 |/ J( G) l6 ?5 `" Y2 i其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
) D! P  m: C9 x0 v0 M. D% q) v这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
! ~2 K5 T4 {5 G例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
5 C' @: f* e% ^9 l7 X2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
8 d7 A3 E" O4 F. f3 q& s4 w2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
$ b; }9 x  C. L1 L7 g1 G2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
( v5 I- N$ s1 _! V5 i, _$ N3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
* i) `# L. `. @: u, d即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
9 ]& i( r5 k8 m0 X5 r: I在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
7 a$ s# x$ n$ o/ S% Z: T即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
  x  E+ a& ?/ {( ]" W: B: }# B从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
" H+ k, f% ~$ }由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
+ N. O0 }: |4 d2 h1 k（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
4 B$ M6 _4 |* Q7 T% x二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
& J& \: e4 C) F8 z
9 T' e9 V# u8 q& c3 I% l得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
) }( W9 J) p  P- {2 k若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
% L- B2 }$ @# V: u( l# w同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
0 }9 k1 ~. q' R0 T4 ?（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
2 m, s4 ]; |1 O即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
' u9 y* s1 ^6 ]8 @. Y5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
0 W5 Q) e5 O0 T2 M4 r例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
# [9 s' Z2 u9 m" G. B2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2 P# S+ x# T% J+ H* [( Y2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
& v& x; C) W+ e- [M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

. A5 L( y; v; r" M  X% J; r, |由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
! Q! ~' f6 n7 q5 W9 {( l& ?因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
+ l" C% E1 [, j! ?# pM=11111111111111111+3=11111111111111114
4 C" C! h% d* n* e% a4 T根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
. E9 C/ l4 e4 I* |1 [- ~1 w" E! s& O5 U然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
% k+ {* O9 @5 j; e% ~Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
8 v1 T# X9 @8 [  [4 E  R. QPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
+ ]3 B' Z: E$ U% X4 K8 P& {
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
0 p' k% d8 N2 k- T, z% Q三，也可以这样证明
: V. {# m- x2 X) e! h( T1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
) I5 G) J& K! N; |设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
; i( k' x: O6 W4 z（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
9 c' x9 {3 L: U设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
0 O/ u' h2 g4 n& R& d8 p5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
$ ]' a; t/ E* g! H. h  u2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
) L1 T0 R. M" F8 _# w! x在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
) U% X" D; b! k/ Y3 h3 U代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
  J: U2 r/ j& r3 Z8 ^, e5 X3 n若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
; H+ Y9 p& D0 X  X2 cn为偶数2n=0,4,8,12……
0 k2 j1 g$ ~1 \6 o9 r2 u2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
* {5 v% `% ~6 y; `n为奇数  2n=2,6,10,14……
- h, V/ b% l. I" R/ K$ r& m2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
: Z9 N' Q* r( f, \' V2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
: _1 H( I& D+ i% n- N设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
6 I* N, \  C* ^9 C1 L（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
6 Z9 b0 ?$ d# h' DPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
, i" z# q/ T" J8 C/ Z+ z                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
( S( i2 i  U: R. t6 i% ]1 z得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
' U! f  S; x5 ~3 q% ~    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
+ f5 F2 L% D0 Q3 z& @    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
6 c- X$ J. E5 `$ |- e    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
) w$ `8 I' C' t2 x  m4 ^8 ] 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
! P# \) R- }, O  ?( A; ]  {) u即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
  ?/ O; e6 c  K五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
# W3 ?' F/ j, Q$ b$ C* a第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
, \: M& c' U0 S* ^                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
( |- Q; ^5 ?0 S2 |                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
# Q( c- r: ]$ N; y/ S7 ]! @第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
" g+ S& I; w0 b即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
. w8 G! k  A" Z6 ]" j      =2+3+10+3=5+13
  i- `3 @$ B- n5 |! e6 b4 ^      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
6 T4 a$ Q. B( s! Y第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
% r5 ?7 S* m5 `            =4+3+44+3=7+47
8 M' p) N# g2 P. B            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
. J; \0 o! b7 f) N! O2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
& x) A$ Q) y) Z- |2 L                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
2 @7 Y8 `; h, D% U% O) P                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
# h  g- t1 K; [2 l! i7 J2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
7 q, u' U( ?/ {1 j即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
0 C! [# b' z% Q$ r2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
8 Y- j4 U" Q6 [3 K$ a0 }得Pn=2n’+3  
3 d* j; t. H& h# r; M      Pn’=2n+6-(2n’+3)
. P- F$ ~& P  Z8 C: s" v      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
% B7 J- w' t: n3 D& p( ~5 l2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
- Z3 e9 ]4 H* H* g% A0 u. R上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
. @; b! c! {9 P4 d: v. J  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
# t% h6 L: b8 y1 Q; b  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
( R. X- ^2 c+ a( `% h4 _（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
  _& }1 o3 g  r  J( e& u2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
" [2 r$ a  Y! R5 H( H3 c$ H$ E②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
+ V+ R* |# K5 p8 i③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
2 l2 V: X  V6 `0 q( l( ]# ]已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
1 V( z' q- A5 J$ X  `8 O8 O, [# ~. K   
4 D6 V( P3 u/ g7 u8 s; O. Q' |2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
3 r, J0 l! O$ p) f' ~1 v% n6 T) MPn’=2n’+3+2n’’’
; R! V* s; g8 n/ ~ 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
8 _: b& f( [1 D) p2 n即Pn=2n’+3成立
+ r  m4 n  e- F& x/ J8 ^6 |4 @Pn’=2n’+3+2n’’’
: c- ]4 c3 |1 L3 o, ~  =Pn+2n’’’
7 r2 C' s2 b! \, Y  Q  =Pn+0，2，4，6……
9 t# w% Y! I) a9 Z7 R: _- }已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
$ q' [5 x: E5 v1 j. a则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
) o5 ~: y' G5 e: }1 Z7 u2 q3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
# S( [  J1 B. y1 }% X$ r3 w      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
, i. D% c! t' {! H3 z      12       8        4         4        8       7        11          18
  b0 ]* g6 _; y' g7 c5 @. q2 Y      14       8        6         4        10      7        13          20
& J3 P# I& y9 C( e: W/ K+ ?8 k      16       16       0         8        8       11       11          22
9 f% f, T8 h' x; J' ~     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
& T1 ~7 x3 O8 j     92        32      60        16      76        19        79         98
* h8 L' G/ \% t6 O& F) s     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
( Y8 q& g3 q2 \5 l     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
+ Z  s" b! A# q9 r6 h1 k: o 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
% J* I" r( {( d' X, Z2 j- l2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
+ m- {: N5 p1 |1 ~- P4 T' n+ J% F六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
) S" l3 q; ~1 l1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
5 f" |# K$ Z* O7 x$ ?2，以上证明涉及到五个问题
, G# S. V% _  q# E8 J( s ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
% y1 P7 H" b* X4 j- n; @ ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
% P2 C8 z& r& I6 Y1 Q③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
, B6 g% j' I# ^" T% n0 A ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
* l+ _% y. U: d, v$ t ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
9 B7 T* d8 B8 K$ Z( D 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
, m) a- [2 D+ l* i2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
# o* v+ u' a/ X( N4 O( h- H注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
- V. n6 b. v+ v/ k已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
6 @) g/ ?$ o: z" `2 ]/ I! g  O则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
9 R5 h. |$ \; g: [) C由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
9 u( w& r- q% d" H9 q. v! m" Q! q0 @得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
" f2 J$ ^2 ?$ W( x* u例
pn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
. c! g: \6 v3 Z. R$ K2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
$ l5 u' ?# ~! n1 i. \) oM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
% f7 x+ M  H; d( @$ o$ W0 G2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
4 ]% F# Q$ X1 g8 sPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
. O. w" ~1 b8 ~* Q2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
% n/ ^. w% X9 p% \n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

) `  G! h% c# l注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
8 d4 ^* r7 y  w8 n/ T若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
0 D; h" H; }. {式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
7 b4 v$ T. v% ~  n4 y, B                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
4 v. N/ G" p7 `) |( F/ i5+7=3+2+5+2=4+8
; _( {; `* o. W4 l. K8 \7+7=5+2+5+2=4+10
) x1 t& h: l) I59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
4 R( Y1 ^) ^  c在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
6 j* @% q8 ^8 n当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
% r7 @& C# M2 s6 H7 _  A若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
/ l+ z9 v7 k) m& [, D =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
+ H, r: [% _' o5 b& K7 d8 t- z) C5 N =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
7 N: |/ C, Y" o3 E再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
$ M8 Q. D. F+ G$ R即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
* K$ @: A  G9 f; x8 e$ E! r笔者   蔡正祥
; _$ g2 _3 {) f3 c        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
+ \" N/ N5 V' \- ]  N邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
1 N& x6 O- ^( C籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
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