哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
- R8 |/ f/ C. Q" n7 B& N- r- f2 K    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
; g! V6 N+ ?5 ~# D* ~已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
+ j# L$ I' Z8 U; [2 L& G9 L它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
4 Y4 D8 _' _2 j9 P2 ]) M( z" H1 F由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
9 r/ l& j2 K% D( j+ M9 G（2）式为奇质数表示式
0 k9 x9 r& J# T1 q) V+ z0 l: ^& s! R由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
+ M+ q% k4 M/ R" E3 [  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
) P, Z8 T7 K3 Y, V6 l均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
& p' ~# f6 A) M% D" k6 k  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
6 R; E0 a' |" M( \0 X根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
4 q+ Y' f2 r, ]4 V' j: m用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
4 r2 O/ q  Z) _! r例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
1 O) L( ]5 G% B3 z) C+ a2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
9 f' ^2 L4 s2 ?2 ]" g3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
! l  x% Z" d: N直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
' F# d* M" U* Z7 t即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
4 H9 l$ M% E' ^& B2 B在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
( s2 w; H+ H2 F. N) J( i  n: Q在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
; q- B/ q, N7 P% _9 y3 R- e& C代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
3 i( z' Z/ R: h/ r4 H. V* e由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
& x) n" O- C+ O同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
6 I8 F5 ~0 j  F" m* T在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
) ^% y& Z2 H7 ~5 e即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
6 i# q- ]8 X5 e5 F" a3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
+ X& i6 ^  L" V) q9 u设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
& H5 l2 k) ^$ h( c( f4 C2 b例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2 W* j. X3 ~  e3 R, i2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
+ E6 x; u# l! b7 ~# O1 ^1 z) JPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
2 q5 J$ L. |7 X  T, BPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
4 V6 K& S( B) W* v! ^Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
% ?1 E3 k' `- ~) I) L1 _9 N
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
9 E4 }# E; `8 R4 ?0 L因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
) S% {8 S0 S! E" J根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
( L' R* I7 k1 M$ w0 @然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
% X+ G* x' T& G9 K0 E已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
  @. ~4 l4 W7 J) k' V+ c3 J) dPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
, \3 W, J. x+ S5 \# {% }, A8 R三，也可以这样证明
1 D8 b: M6 W0 k( ]9 G) `1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
, `  K) w0 s8 u% @9 u: J若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
  ]+ \1 l- X0 A( e" w代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
: Q4 o8 P+ ?# A! i6 X8 p3 q0 w（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
9 r: T( J$ b9 c; L& G或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
2 I' @; S1 V3 E0 g- ?. ^# ^) VPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
- |3 f, X& r2 m- H5 r或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
2 {1 q( y" `. z5 P当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
: R1 ~* A  A) v' \5 `5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
( M6 c1 G# B4 [" `0 V+ T或Pn*+Pn*+1=6+2n
2 M6 p) Z' C- Z2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
0 T2 v5 C$ W7 B2 j8 q% x即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
7 i6 F% ]5 ^2 I9 [* Q% l: L# R代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
) P; d- I+ P# d7 I: w若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
( R( C5 P% F/ V) }, X同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
2 g) b, C  U1 E2 f! H即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
$ l$ q5 J, E; c" i- e% E0 v2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
. }$ V) G8 O2 ]2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
) s" ?5 d7 I6 Z& T: d7 y% f2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
% K% b* o6 _4 A2 c+ `( a3 Z% n6 g: U将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
* J: D. D1 i1 u% F, k+ p! `' v 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
2 e& q& @0 J* G& m+ C四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
  O2 Y# n, v- O% IPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
- g6 C* l/ u/ l, ~+ g* E或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
) ^+ B9 ^$ I/ k% f: v由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
  a7 X3 a8 G/ _9 S- A: q7 |4 I% X                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
7 Y- ~" J4 ^/ r: N+ M% s* D得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
4 m( K( o! i, Z& \  {     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
: |& b# M7 V, p5 E    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
2 U  I+ C3 j5 I& m2 x    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
6 c4 `& C* l" V2 `/ j（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
! W6 m! d8 W) s  R5 Q4 T; U即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
7 b. y# ?6 N8 j由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
2 n9 G7 V: j, Y( L) j五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
& z, y8 E! T( A  C                                             =0+3+2+3=3+5
2 y# Q4 {2 }: R1 b6 l- J( i                                             =0+3+4+3=3+7
. T4 P& N) f0 v. N% I                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
5 u5 l% F8 A" j0 g# ?                                             =0+3+14+3=3+17
% _& |/ g6 P0 v6 S( Y                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
3 v. P5 K$ s6 v, V7 p这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
& w+ U, {1 y& K3 m: w% MPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
* G  ]- X- N1 W3 k& s8 W      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
7 X$ r5 F/ J& D1 t- J      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
" F& \6 L1 c! v' a: O, l0 B4 L  K            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
' E, E6 z3 L8 O            =4+3+50+3=7+53
8 [- ^+ a4 x8 A, ?3 W+ X6 K! @0 e又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
  ?; U+ H% A: w+ }; g2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
% V5 l7 P( @5 y; a9 j# D                                           =28+3+64+3=31+67
" P- E! U6 M- f  Z" B4 e9 r                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
6 c0 L$ I) b$ x1 k6 P, w                                   =28+3+94+3=31+97
& b' B& Z$ i) w0 Q                                   =58+3+64+3=61+67
  K! ?' [+ c* Z综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
: {# Y+ V/ y" @5 V( P, n8 ?8 V) x2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
  R* \5 I2 ]6 j3 P; T& T5 P3 N0 c                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
: N+ x+ U* s# W3 m即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
" z. e. e( S! `. L1 `' U% X- |4 ^得Pn=2n’+3  
) v4 h; @% y6 B% \) t- ?( Y$ Y: a      Pn’=2n+6-(2n’+3)
, |' W: i! D# B: W6 q      Pn’=2n-2n’+3
3 s- i" e. I2 T% @又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
' d9 m, N( v$ }) `2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
9 v& F' T; R/ X2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
6 s0 |# x, N" T: I* c: U' _2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
* a* D4 C  u& E! K- h5 D" G1 W' j0 M' ?  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
, P. g9 N! a- q7 z* ?  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
& K( x$ K' L+ ^/ w; ~: \' n  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
( @6 S! p# j% G+ v  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
4 M# h) g$ O$ D* q1 U0 q设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
: t( E5 g! H! L  o1 D+ a即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
2 p! o5 @( v% J$ e3 q+ m+ _" T+ y已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
8 \) ], X6 h& J3 d0 d4 ^得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
1 ~3 ^  O7 |* xPn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
4 J$ z( M# \# p! g# cPn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
, T4 t: }! k5 F已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
8 f) T# K! v! N$ w5 O- b- d则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
, S* y! P5 a% B7 t2 z. x( h* B即Pn’=2n’’+3 也成立
由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
8 G2 P+ n6 O+ S# \" G) F由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
1 D+ l' ]. V$ X. P换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数
  W5 A* h  y% B+ |1 G$ |: h1 l0 p
5 m% I+ O' V% ?3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
5 D2 O; u/ _, Q# G设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
- ~( F- H" E* t) S     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
, C" `5 i  K5 N/ x      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
* ^' M+ q' T( P; b: @# v0 [9 V2 M3 b      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
1 t9 K6 p3 W9 m     92        32      60        16      76        19        79         98
2 J( R( q) ^9 v! O7 [     92        56      36        28      64        31        67         98
( j! a( ^1 f8 p4 E+ ~     92        68      24        34      58        37        61         98
5 D$ v) M6 A$ l9 E* k2 j     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
# ^4 D, X& V% x     122       116      6        58      64        61        67         128
# D- L1 l+ V2 w 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
. O, ^5 d$ @% P7 r. G! Y2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
& G% R- D8 h  H% Y) L六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
7 ^) t$ f% T8 h" b4 O1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
! Z0 G( Y  g& D2 K: Z' i/ l" Z(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
- C* |; r/ T+ H1 z' g& Q* A' q(3)，它们的分布是不规则的
% ~/ v: @3 }6 X! w$ o1 F9 Z" o! F由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
# j* W  C2 f' v ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
' ~( S  m$ f# ^* b) w0 @ ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
2 v2 W" Q. a* ?6 V! U& q ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
0 C6 g0 m( b# y. }* J注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
# ]' c" _  ]* a6 y! o因为因素与理由意思相近或相似
* A& O4 x- p/ l1 O公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
: k" I7 `( e5 n' ]公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
/ X; p  s; {( R+ S这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
- I0 H4 I% \+ ]' D3 |2 c9 Q# T% h 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
  v6 F. P4 V- J# [$ w   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
* W/ d, W$ c: R. V注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
' X4 ?% Y$ x5 n% p7 g已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
' T; r$ I3 j2 I" N则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
# ]- u2 L" k; ~7 o, e% n由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
) `( \- v( M, x- _得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
  _, A7 n" R0 L3 g- Y例
$ V& |6 }9 q8 R2 |  H2 L& Fpn        3        3        5        5        59        61
. t% I# U- a- ?: H
Pn’        3        5        5        7        67        67
/ m; Q! H& G1 h8 Z3 }2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
5 w. \! p# W6 ?4 E) ~由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
% n- q  u7 [# L0 EPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
% c! I0 s3 N; x, LM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
1 u( ?( j, Z5 [2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
7 }9 T9 O, S" z2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
( [: Q9 y; Y* m9 P5 Z0 C  dPn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67
0 g" p0 V7 L; }8 i- }. z* I
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
. I. V; x( U- l5 y( w例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
: T% k- @% P& `3 T                                          3+3=1+2+1+2=4+2
& t+ U8 H9 |, m2 {7 Z                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
& n8 C2 U: h% s/ E61+67=59+2+65+2=4+124
3 j9 Y: P5 b5 z: ?+ S* ~* [; T…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
$ }% ^7 }7 `4 \. [6 o8 c) ?若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
7 N' S% O; i2 @' n+ @) u7 j: `9 y再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
! o7 I8 }# G( D3 W5 d笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府


: ?$ B) _2 g9 A

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
% d: D, L" f! R! [1 K, w2n’’ 保证2n’+3为奇质数
即Pn=2n’+3
- A5 R: ?* T  b7 h! [, F- K' p是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
: W! [# x- H2 t但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
2n’’
) l) h( T" C; k( ^% x. H0 H使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
: N! }  V7 v; R4 J已知Pn=2n’+3
. N5 L$ U+ d( {1 |Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
2 }0 V0 h6 G4 R3 X$ C) k# U得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
- d. ]7 f5 T: s! i: X又已知 2n=2n’+2n’’
! E. q$ T7 }, J$ z/ P9 E代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
( Q- K- F) l4 r6 M- w& Z0 W2 o由上证得Pn=2n’+3
Pn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立