哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
' R( g4 \1 t9 Y1 X. A, A1、质数表示式的由来
2 A3 @: ~! Q- ~. g0 N1 p已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
& R/ _0 r6 z& }9 k它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
3 J, B' S5 d, R* m& U) i) ]则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
4 d$ V+ e8 a9 }8 A6 G( l将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
  o" ~3 q( k1 u( u* a8 O即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
0 |5 F" N# o* }, i% r, i( v同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
7 w! R* u5 M5 }( z# K6 h* s" H由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
  u% d" D; U7 I即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
, v; ?% T7 M, r5 S% D  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
' l' z  n1 E9 K+ t6 [: x, Q2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
7 i2 K4 g: C2 t7 C( M& @. [/ i设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
5 y) ?2 x. B7 d; U! cPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
/ V, b, }: J8 o$ e7 [1 ?  U                    
0 w7 E  V. I( P( x5 w* e# }; `其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
* v# Y, v% V4 O& q! u2 l* d这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
0 ]) R! N. l) |2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
6 i; s+ L0 K+ @. ~1 _  |+ q# q2 U2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
" v( A7 E/ P: \+ A4 a2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
) N) B" _% T1 ?/ S5 n3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
: s) u' E8 G" K4 p8 M直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
+ T3 H2 v7 p6 |3 w即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
" l6 i4 }1 h8 R5 L- w4 |在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
% _  J4 \' @1 ~; N% L代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
/ |( V2 m+ f4 L1 O  d. r在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
8 A* X8 f' o$ I% E9 k, p或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
1 ^7 T1 Y9 s8 ]1 ?从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
+ Z$ \: O  h" h/ e由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
3 F( D  J3 f  A. A（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
- S& R+ `# `' I: ~二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
; q. h. i( i& R" A2 L. ?9 h0 k6 M若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
: z+ l0 B' p+ B在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
+ v4 N7 o$ E/ T: k5 p（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
9 \% `4 ]. @, e# B+ ?2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
" C& Y. ?: W8 n" W' [7 F! y3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
& H3 e5 W) Z$ g1 q设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
* e- D1 U5 I5 G" l( ]$ S5 a即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
% @# O) p9 C" J. ?8 P- b% D8 `; d4 \8 DPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

8 h+ e% \  e' z& Q1 h+ ^由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
( D5 M' X4 b4 s8 N- Y因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
2 i0 A3 H& K* E+ k& E则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
6 T; H+ B' _3 w1 x8 f(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
8 i5 d: l( d  u- G+ F: X" JM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
0 g1 ~! i' |% z* J1 y然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
# D$ q, V, S7 `  a4 M! z" \已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
  T) ]: [' t5 bPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
. i8 N$ ]8 C. s8 N% r1 ]1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
$ S1 N$ E6 p+ r设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
6 w" U+ Y) x: M" Z5 n+ i7 H1 y若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
; M: w, W: u4 M; x若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
: {& c: U' r6 J: h代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
( n' v9 W3 [2 z& v: `  @* g（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
/ ]' s5 k  ?: f" V. n" Q1 x* C8 P$ U或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
: o8 B& T9 h" X4 h( K7 o* u; fPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
/ i+ `& f3 Q  y2 h2 i代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
5 I7 l5 S( W0 ?6 ]6 A& T由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
" d1 ~% ?) T) g6 n: g当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
0 Q0 l5 d) y9 h3 e5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
: V+ v4 o4 _8 {8 [% k& y3 Y在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
$ y; W; y3 M6 h2 z* K8 v  |设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
7 x. p. z2 \1 b& I2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
; ~* M6 b$ I) i  l9 E6 A3 L3 [2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
, I, k, Z1 H( O: f8 J; ^- j- N2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
. e9 ~) K  a6 ]7 h; ~Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
& ?, J, k, t4 [设  Pn=2  或        Pn=3
8 f& f2 L1 W) `+ z( G 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
: a( @, n7 K8 q* zPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
. G$ v0 Z3 J: |0 Y3 t( dPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
; t/ \& ?$ N; N. O$ b4 C, O或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
, l5 x; K% i# S" W) V' \由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
1 W/ e& e; t# y" v# t& J                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
+ W) ]4 M3 C) B" Z( {     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
* X$ F2 ^( a8 s     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
) e' q9 D; s& ^5 o     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
; V' s! V. k! y7 f7 C; T    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
) Z! p" x% \) b8 ?    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
# @7 G8 R$ `. x5 f7 J2 P    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
$ K: s3 l5 i& F8 h* h2 n! Y    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
; R: s  c. {! z$ }9 W    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
7 @: [6 p/ R; d1 SPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
9 i, m  p( ~7 L- A8 G/ W* N7 r 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
! T7 [( x8 U" ?' x/ _0 _7 k存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
9 T; `. }7 y- [" A& [! i五、质数表示式的证明
5 ^9 e8 a5 B3 U5 ]1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
, {* @' q& G, @+ j. t3 X第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
4 F7 ~* x' \( X2 g  J0 n" y                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
% p5 s5 z; Y6 N/ f                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
- P, Z) n3 k% E! M- ]; I                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
0 C  U  B. D* A即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
' N. m4 J+ E* B! w( L: p' h7 z这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
; ~5 T: N* D' wPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
; {) p& H( d8 A8 n      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
3 p: g0 A$ R; L; O" ~      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
# D8 m/ k$ M' J  L; ]& ^4 y& A            =4+3+44+3=7+47
' E, F9 }7 B4 n) y5 u            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
" M7 `; X& ^8 M8 {+ }它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
' N& ^: O+ q3 \                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
6 a5 G8 H2 L- m3 c$ t% n$ h2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
6 J( g" S: e) g8 R6 ~6 U: o                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
3 Q- A, m! v8 s* P; x. n2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
4 d# d3 u# {8 z; x                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
# l# V% h6 _$ u3 g' l即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
" H2 f; }& M3 p; v" F设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
) n1 J' F9 z: D! _( u      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
* b2 |- [4 d+ Y& l$ z* R: w2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
' k1 r/ P1 E( q7 D# _  EPn=2n’+3   ……（1）
+ Y( J* s/ _: d7 ]Pn’=2n-2n’+3……（2）
$ b$ [, Q3 D6 ^* H$ C3 U% T2n=4n’+2n’’’ ……（3）
4 u7 |0 j5 C' `上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
: G/ ~6 n/ ^& F, w- S2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
7 E7 Y& Y, Q$ `0 \: ^, }  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
8 k+ I% i' |& Y0 p& F（2）方程组
7 e3 L9 s* C* e/ EPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
" h! `- D, d, Y: J2n=4n’+2n’’’ ……（3）
6 u  Y7 L5 X- U2 I) p2 |+ A①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
3 n. n2 i) L, k8 o②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
$ T% P' v2 V7 ^③证明方程组成立
0 B9 B" U4 N, [0 \& i即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
3 n6 v. q3 d. K" q. b7 [8 k已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
9 C" L/ Y( ?# T/ T2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
0 Q% r, D* d, R0 n( S即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
: Y) d, M, J9 H5 o  =Pn+0，2，4，6……
% L& a* y/ B* i/ ]8 e0 [0 u已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
; \9 ~0 f/ q$ z& F' l. q即Pn’=2n’’+3 也成立
由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
- h+ @+ Y- w; A# P! g由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
" F" a2 D* A& F! {) ], h即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

3 用数字来检验质数表示式的成立
7 ^8 z- N% H6 ~" p1 v已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
/ V8 u. G3 s. q  ^设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
- S1 i$ [! `# A/ ?$ k9 A     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
1 W0 L5 j. X/ K      4        4        0         2        2       5        5           10
5 t  f0 H, u+ p      6        4        2         2        4       5        7           12
6 E5 ?7 c. |& ~8 B- B$ M# M      8        8        0         4        4       7        7           14
5 Y! ]; F% Y, o      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
  x% h! |  {" L, F- @     92        32      60        16      76        19        79         98
5 u+ l0 l- y" n% H- C7 n/ ?# @     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
$ w# w- X/ [* D5 T! N     122       32      90        16      106       19        109        128
3 W7 r8 I- t, e5 H; [) b     122       56      66        28      94        31        97         128        
; F" ]& r; V0 T' y; z3 Q6 H     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
$ c1 ~# E, S6 M$ q6 A# l; N2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
& ?% T3 C8 y4 R  Y六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
% F! J1 n" N( F" y7 U( Z ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
  J$ V7 r" z3 u) E* X2 ]: `+ H3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
, I* y: N% J3 ]# _. s注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
; P+ Q( O. P. N3 ?* m' w如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
/ v) w6 i2 g6 j: k, e, A3 u因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
! s2 m" b5 R9 R8 o8 v* S& U/ I2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
3 a/ O. @, c7 I& V4 t注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
& O9 @: }+ ?" O' g" L( Z) x则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
: o3 I4 Q9 U4 u' E& \' N即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
3 [- {5 R! J! s% f3 {9 ~0 {0 {M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
& m8 b/ t' W6 z则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
. w. o$ O2 ]3 x: \' X5 A6 }, x即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
, S  A1 _5 l6 p: S7 y5 G8 Tpn        3        3        5        5        59        61

6 U" N) f% c1 h( g& w  wPn’        3        5        5        7        67        67
1 ?6 m, b4 h, q( m( M2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
5 f# L2 B' |; t+ f) a' S9 u' F6 p3 A& fM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
8 ^7 ~$ n/ [$ p- p" l) Z. s6 [2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
* G( X+ _: P% |) C由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
% |6 X8 Y% e% U- [' b即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
( c; @6 ~4 e5 m$ M! `- fPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
( y3 b. g/ r) _9 w- i2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
' D, C% ?# V* ?" zPn        3        3        5        5        59        61
. K5 N* h% w/ I1 V8 O, HPn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
1 Z3 C. b& l8 F2 Q2 Z例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
" y; f7 s' ]# A8 @                                          3+3=1+2+1+2=4+2
1 x$ i$ W. a+ K& O* Z                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
/ Y9 ?4 u9 d) B+ Y) ]+ y8 }7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
' N, n1 a5 B4 y; V% Z6 P! }61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
/ O; Q' q& V" `7 l$ m. f+ f- r, i& Z9 V当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
9 K& F- X. W2 S2 @  G1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
- z" y: P( a2 v  m. Q3 Z+ O0 m/ H! b若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
+ K, I( B# p! w& ?4 {- gM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
6 {5 Q; q9 a4 W+ u# n =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
$ ]0 ~4 j  O7 l3 R" ?8 ~+ L再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
9 X7 {8 E0 \, p; a* F( k通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
# u  }) Z9 w5 ~. i& o


, x: y( E9 Z+ r, M/ X

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
& B+ I! }/ S) [8 ]+ t% ^即Pn=2n’+3
是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
) R+ J0 a, B4 ]) n; k" i即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
0 W, W2 T# s$ b( J" x! U5 u但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
2n’’
使2n’+3=Pn
/ c, I) k8 D4 D( N2 F, {成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
! W6 k1 Y* M. _" L+ a' g又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
9 t8 \& ~' t* }7 J已知Pn=2n’+3
8 t5 I2 G' I' bPn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
" ]4 E/ G! J% u" m1 Q% i: H, i得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
) E! _$ k6 Z1 ]) F5 {2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
7 U0 Q! l: k- b代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
+ R. K2 B- {" n1 r6 m由上证得Pn=2n’+3
Pn’=2n’’+3
" o$ y. L1 |: z* b又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
8 N2 }' i) i* x7 L. y