哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
) t- D; `& ^3 T% \4 l; O1、质数表示式的由来
0 |: `- A) y- o: G$ o已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
$ W; U* \; |' m3 t5 h1 {. [将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
  S/ u' h. P, _6 g" X7 J以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
, N% B( k) O% M$ O则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
5 Y. Y. C% _' i) E6 H& G! ]6 Y将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
# i+ r& o$ J$ a5 f& A/ V& S! ?% K即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
+ c9 A, M" o. J+ w% y: E9 }（2）式为奇质数表示式
- a. j# N9 D5 C7 T% u7 S由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
+ U6 n; D1 `0 k& T# W$ Y 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
! v$ l2 `+ [8 z* a  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
  R& l2 G# [/ _8 ~" [3 T" ~由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
+ r: R6 {; Q* u3 S' B均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
* I. k, Z9 }/ k) i/ @  t2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
, q& N1 |9 n. q8 H# M& `设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
( ^. u  w+ @. h: J根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
7 i/ M2 j9 x& \$ ^# P: D9 w; m用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
) a8 E4 @$ y  |0 T7 Y即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
# }& |  F6 c! z$ b0 E: u) g例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
7 v* u, [" [8 H8 U3 C6 N2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
5 B7 d6 b/ j$ Q在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
; t% @9 }: @! p  Q4 F代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
, N+ h! P' R/ U6 `代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
( Z4 V& [3 g# f5 f" c' a* w) J6 A即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
+ M$ Z) m5 N4 L  S从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
# B) C% t4 b; b: j- H4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
; D5 z+ @* s& z' M/ {+ q由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
8 f! E$ ^7 N1 v5 g' P（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

3 G' \5 i  C1 s1 y得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
  L" j) b/ ?' a& c6 x在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
5 x; K  A6 T, N+ y; ^n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
% o2 s  R0 ]  D9 k* w+ b$ i- E$ k2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
; f" W, d. C6 kM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
8 T$ a$ o" I& x. _) n. {Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
( V# z. `: m/ @& ~6 v" l8 H9 l* PPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
5 H" h: d- W  V0 @; F/ x
# j7 u: r& Q$ i: |7 x/ {- T, y由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
. ]3 F6 y: V0 X8 J3 X8 I又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
5 d0 O! H+ g1 R- z) |- M8 V$ L则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
& H5 v; p( a* r( k: E6 Q; s* g4 ]根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
$ \( P& @: q7 d7 `0 _8 y2 q) ?4 ~0 i然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
3 p9 J: Z/ k8 O6 C: z已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

- f  }7 y3 K" [       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
0 W9 C" j' G! [5 t4 m1 h0 `三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
" [) T( [& L4 ]& ^" |* Y设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
/ f" M7 X5 ~: z代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
; z5 Z0 x" Y/ q) M, J或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
. d' ?. g: q8 a由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
: K2 y' V, O6 X' q% \' m0 p+ l设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
& g+ P) s1 L, Q8 g* t8 v! q+ P4 D$ Y+ {代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
* A2 _5 ~& J% J7 Z7 _, H或Pn*+Pn*+1=6+2n
5 C' z, E& t0 z1 k5 _1 h2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
  P7 i5 {2 ?) @5 g- @! M8 L即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
) x2 j/ k/ s0 P# |在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
/ p7 R, e4 A' N; [5 \. }代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
/ L2 N" f; i: ]) B设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
* O! }2 |4 z( g* `6 K0 O  D0 @得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
0 G. |2 W0 N! \/ A/ C+ B若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
7 x. J: t/ f- ?% o即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
; d, k$ K+ x9 x7 E, L: @) }: Bn为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
9 P+ I$ x* [: }5 F. g* |0 I( s2n’=0,2,4,6……偶数集
# u; {5 r0 B4 P* T# G8 J! I0 O) Dn为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
! i$ w. L4 o0 T- U4 MPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
' V6 U1 _$ p. ]3 i8 M+ x5 h4 D（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
$ o9 c. z8 L( A+ h7 n! S& g又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
/ S$ e& s$ K" V3 W  e( oPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
* U; a+ h- e( S* y. W5 J或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
  l# H% R$ j  I" `+ |由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
: f$ @, u4 q) T; _% w$ \5 e$ o                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
9 B0 s) [) I* O: X6 A得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
- j2 f9 H3 V* k. B) K     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
4 K9 `4 S9 `& n! B% F7 U/ T& [& ~% T     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
/ J* N0 W' u! w! y7 O( V     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
* I: l: T1 g% K2 t+ s    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
6 d- m* p7 ]( g: t. j7 _2 ~    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
# O1 s1 H/ l" D6 n+ c; gPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
- `" G' t! ^  K: G; P: q      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
* w$ S: E, \- j) m2 E" C8 d2 |8 Q! p 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
- {; Y; A4 J$ T$ K( ^存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
; E9 U. t  x  R& e1 h五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
; V9 X  {1 S8 Z  V) z在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
- P! d0 l& [- V                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
! t" U# A# T' d- E) c, y- D                                             =0+3+8+3=3+11
5 l0 c! ]) Z. [+ K) f                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
  Q0 `! d6 ^- n' n3 \" B" |, d- G) x                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
2 P, C8 Z1 w7 U( ?第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
4 N# [8 n' d0 E7 e; }/ M这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
7 a; I( S5 m0 t            =4+3+28+3=7+31
: r  ?1 y2 [: p6 q            =4+3+44+3=7+47
. g8 z/ c: t. K; q" H            =4+3+50+3=7+53
8 H" d3 U* M, T. V1 ]0 r5 ^又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
3 f  S" F, @6 H, G6 E0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
9 N6 ]: P! y& E7 W                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
  X0 M" \" W' }" D5 T- r% {( r                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
$ K9 u4 F  g9 W) z3 E2 y7 W$ @                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
* K, d8 T  z, [' V2 \" J; Z2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
3 [$ f3 o% h% E* U得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
7 V2 w7 s! S" y7 T  G又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
' ^) e5 r9 o) ]7 w# r! L" V: l% OPn=2n’+3   ……（1）
& X+ F4 B. h  _7 g6 UPn’=2n-2n’+3……（2）
) K$ _- b- [. _3 M" \* n! K2n=4n’+2n’’’ ……（3）
+ m) c1 S; G# Q% U  ?+ s上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
  }8 r8 u1 l, Z' `; R, P2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
, v3 }0 l  O9 _! K1 R! V- U  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
! n, K5 N. r3 L; q! z  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
. T+ l  Z8 B- e0 i" y  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
+ s3 X8 D, B; V2 i) _Pn=2n’+3   ……（1）
, P2 g$ R8 ~0 T3 y5 n$ i) hPn’=2n-2n’+3……（2）
! {* h7 H/ Z) Y% O- b% p2n=4n’+2n’’’ ……（3）
& o+ y) s/ [: I7 h+ Q' h4 k, B①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
, C4 C& C4 U. r0 I2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
0 [3 }# M# ~+ h: h' w②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
) O, I. ?5 M# {8 P0 C③证明方程组成立
1 ~) _$ Q9 f; R9 k/ A, o- Q" A即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
7 v4 D5 _  D. w+ [% B- |" E! V/ m已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
; c/ w) e: j6 G5 B6 w3 m又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
) |) Q+ v& N6 C" f! R( @3 c得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
7 Z+ X/ n% h9 I2 Y即Pn=2n’+3成立
  s: G3 C2 Q. V5 I! O% RPn’=2n’+3+2n’’’
& E% g6 a- |6 i* e# D8 D# ]# u  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
( J/ w+ O) }" k( G- N7 F: S& O* r已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
1 {: m9 k) L5 r0 Y( P* L即Pn’=2n’’+3 也成立
6 G1 H# g; w  J( ^5 R由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
/ g% l, C6 x& o; `; M即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
2 d% S- R* Z$ w8 _8 W换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
  w8 B/ H1 F" x' a因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数
1 c. U* |  F/ M% |% q2 b9 |7 N
3 用数字来检验质数表示式的成立
/ h& R. k1 g% r, D6 ?已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
" H# `( X# F- w& e7 h   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
( }' B' q, b- e8 q) T- ]     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
9 `( h3 n. j, C& P1 }9 ?) {2 c      8        8        0         4        4       7        7           14
( \% ?( V1 v2 p" ]9 V( V7 B      10       4        6         2        8       5        11          16
% q3 k3 `+ E8 I! h/ D: [4 E# d2 B/ @      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
5 s+ R8 V" X4 G5 }- v      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
5 j4 C& {' B$ H" U     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
* K9 D5 M3 l6 ~' h) \7 C7 g4 x1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
& P# y, C& T! B由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
- i; s2 b6 u' O: F% s; y3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
! B! h  ~  Q0 a$ e1 L& v4 Y因为因素与理由意思相近或相似
/ f* a7 l9 [5 `公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
- `( G, j( `& }7 @０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
! V' z5 _  v9 G, l# M 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
. c. s( M- W, ]$ J( ]+ m' a6 K2 {2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
+ q5 T3 L+ f/ ^) A& J2 J注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
% b3 p, }) y- J* s下面来证明定理一：
5 H; r5 @2 f  K. m/ Y( K. K已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
2 T. c, }+ |5 U6 lPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
' X5 F. I" L& \4 t- S" I" t/ E由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
/ ]) o7 v+ t! d; E则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
* [6 v' D7 ]9 c. ?" O0 H4 |% x即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
# N/ C/ _; X9 t! C# Y8 P1 [得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
% h" U# ~8 j$ @8 x6 S例
pn        3        3        5        5        59        61
) e! R. i. r* v+ h$ w& r
Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
  c# K; a; f2 _$ L8 N% V3 q- r: ~9 p2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
7 L; F9 ^0 x4 GPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
9 @0 a; Y: i1 Y$ f- QM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
3 @! k4 {& A4 g6 ?, \3 |2n’        0        2        0        2        8        6
- N. E5 R. K3 m5 ^( bn’        0        1        0        1        4        3
4 q9 h+ U. }" A- F# k) _+ zPn        3        3        5        5        59        61
3 i5 K4 z% K8 h- `$ g. zPn’        3        5        5        7        67        67
3 B: Y8 Q0 r& N- z/ \! d0 G
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
. P8 W, b# x7 h: k$ I+ e若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
4 Z" ]. n$ n7 K8 r3 `式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
4 f4 A7 _2 o1 z; D1 Y例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
) s, _3 [/ l, R! C4 X" n8 |59+67=57+2+65+2=4+122
. G" D. l+ G  n61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
$ V  g( \0 f3 Z( l9 W6 O当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
! _# z* D5 |: Y5 T& B) C; [5 l若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
( n# u# J! j" d" i4 \ =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
9 M, L0 c' G4 o! {再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
  ]' j0 O  e/ @% w; Q        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
$ L: p; F# T) e3 |& H% @邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府


/ X- O( l8 l. ?$ X

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
& S1 _. @$ _+ h. ]* {  S7 S2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
即Pn=2n’+3
1 _0 [" L& s8 I" g; h# k) [是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
7 q1 p* g! E% C2 I" ?即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
# @' }/ h" C0 o) k. B即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
2n’’
使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
3 w( t; Y) @. Z+ r又因为Pn’=Pn+2n’’’
, F! V4 ?; J+ G) _& w4 P5 Q7 _即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
已知Pn=2n’+3
. O$ {, o# k2 }6 M/ @. M$ ~Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
( W  ]: X) A* T" {& }  r' `) u$ b得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
- O; e& O* q4 H$ t0 }7 a2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
5 v( o, {% v% Z* x3 v代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
5 P7 o1 N) g4 m" y. sPn’=2n’’+3
6 a3 r* f  M2 k- N( ~又已知2n=2n’+2n’’
+ P9 Q/ i  i2 F' t7 j2 j- ]& J6 E即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
$ C# Z2 A. p, K2 Y