哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
7 R5 h8 `" n( n( x) b8 \已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
- J9 C1 I! g/ Z; q. E+ A1 a0 J5 c6 S将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
+ \3 ]4 X6 j* P- w. J' f已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
4 u0 k8 _  \/ \% w以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
/ S( b( I7 S' a3 d" K; \8 @即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
/ }  n/ h& o4 @/ l  K同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
" r3 `% u$ j5 j$ _. ?由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
5 \* d& w& v% ~4 q 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
' g9 t: W* ?/ D由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
/ Q+ L. s3 q9 F9 ]2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
9 j1 C8 n2 u7 U/ f# G0 T: N# Z+ j根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
2 D% X& [  w  H- P) R9 h其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
. g. j5 C  ]! \# W即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
) J) W2 g1 _7 _% K' ~  o2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
1 H: W: t' b& F/ l. M0 a. p3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
2 C, P; h4 Z/ j3 m7 p7 E+ ^0 `" q直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
8 n" s2 S3 N3 s( j1 h5 U4 h' R& [在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
& e1 ]6 B$ T' ?# X& e5 y* U在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
% L; t0 M4 u  P$ R又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
& u/ f9 `$ m4 e代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
1 @! F' z- K8 S1 u由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
0 G4 P# z0 j" G# O! N: D（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
& G( T* E! K# Z& O9 N' N; h9 f1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
7 u# V2 O9 b/ ^# }8 ]" N若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
. x1 U" V# p3 e
; r' F. Z+ L: _4 ~9 a9 ~  m" g得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
3 i1 j. S5 f+ L' K若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
( F8 s! u) ]" P7 K在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
* v" n7 d% C& b( g3 ~/ `* _（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
8 T; n8 k5 L9 y; X% u3 |即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
) X: K' R5 J( l8 Q' u7 R/ s7 e5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
* C' a" m+ N& l  v- U: v例  
' ~3 ^. h8 u6 m0 B. m: ~n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
" u" U( n! I+ K$ v# F2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
4 {2 T$ F9 K, s1 u' u! s) P3 I2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
  T. a% |) T' d+ K8 m; f8 }M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
' Y+ r1 m0 w7 Z. |Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
: d% I8 ]: Y' h' }% D' }Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
8 V3 V1 i* U, Y% C: U5 i& gPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
- g8 D+ C1 y; Y/ f! s& S
5 U% w+ {& Y7 ^- M由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
2 a1 T/ a4 ^& [5 O7 K8 j又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
/ d7 I/ K  p" c( D/ z, e因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
4 Z8 n* |6 B% G# o则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
2 b4 u8 a# m9 x$ m6 y9 tM=11111111111111111+3=11111111111111114
5 w' e5 ~0 P" O3 v+ i& A6 Q根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
; p- D1 J5 F' A, t) ePn’=11111111111111114+3=11111111111111117
9 L6 v& h: R2 H2 m! jPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
6 _: Z9 _0 _. ?5 {, h
5 o3 y7 L2 v  i  E, _& O( _       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
7 _3 `7 d/ Y% S% y6 N6 p三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
1 C! K: y, ^/ t* Y" U1 A若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
+ W0 E/ M! r& K- X7 I. Y0 j若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
, h/ a3 }( W9 ]3 y; Q5 y0 x（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
; d# [; q" Q7 U, f$ jPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
. X1 S2 W5 X+ Z; W: S; b8 ^代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
; v  \% b- N' k6 R; R3 v8 n1 W$ M或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
: f# j  I5 e* k1 y( `当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
7 n8 O. ]9 y* J设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
4 e, }# Q8 n) Q0 S2 N& O7 l, q% h代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
- S! z: C' B1 l, I! t即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
0 ~8 A! m; e6 Q/ ^. `5 z代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
/ W( C" Q5 _1 |) l+ F设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
. K" q$ W* D7 U7 B3 C3 u即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
7 e8 U1 a" n" m  q1 B* A& En为偶数2n=0,4,8,12……
& f" q9 F( f/ U$ |8 a+ Q0 b2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
( v/ ^( c# ]* {6 D9 {  h2 u2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
" f$ O8 O; @! W- O0 _2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
0 U6 I- M7 B- u4 a$ m# y将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
( a$ {9 w8 S0 a, _! ZPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
" I: V2 c! `) M  T- P 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
& p- I; x/ l) T) _8 `（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
% B- W, B6 r" g6 y9 z" ^5 _（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
7 F6 Z# @8 ~, p' J$ m( B得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
: x6 s6 f* U2 x' E     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
, [+ U3 {" a1 s- e0 @     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
% t# k4 G; p1 y6 H- t     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
. T  ^% b, r, i/ p$ u, _    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
: u5 }  y4 V7 T) k  K7 ~" k9 Q* t; E      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
" T, t7 s+ }4 Z' |+ i（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
) s$ a( k$ e0 F' I) x9 c) |) ~ 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
1 ^( [% T7 V; a+ _/ f" e即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
( I8 L* K" J, D  z/ A; M) O2 X由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
( Y; l/ C: l" Y2 k0 `                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
6 Z. y! g0 N$ R1 }                                             =0+3+14+3=3+17
" n  l4 L* {  t5 @                                             =0+3+16+3=3+19
5 M4 L1 j& j; o5 u                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
$ E1 S! d, Z4 _5 e% v2 K即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
, U1 `2 g( ]6 I- r1 r  }$ s8 W这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
, }! D, j0 E; M& L6 s      =2+3+10+3=5+13
8 R& Y( I% `+ h. L% j8 t* N+ V      =2+3+16+3=5+19
7 h+ {% p: H) f. w      =2+3+20+3=5+23
$ i* n1 A4 o1 Y7 f# ~) J4 s第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
; h; Y7 p7 L8 K            =4+3+28+3=7+31
- T: j4 i# n0 }- v# D/ h            =4+3+44+3=7+47
7 d+ Q7 Z6 l0 G. i& U) m) ~            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
$ F2 W% C/ {, z0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
, p+ W& K+ c; Y3 a! _, {- r7 u3 q0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
  W5 K5 U; J. G* O( @                                           =28+3+64+3=31+67
0 p0 Z* [  D( w( Z. W                                           = 34+3+58+3=37+61
- ~+ i! i$ l( u+ |1 L2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
+ K+ u9 @8 X* p8 z$ J" g                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
8 H; J3 R2 e; [/ ^; h* c4 @综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
4 o; t" Q  D0 L1 V% ^                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
7 ]" g5 \8 v) d1 |: }% \8 \3 [3 O                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
( h/ ]7 R+ P( {# S8 E. `5 d" [2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
' b) c' |9 b" j得Pn=2n’+3  
5 i3 s  U2 V, V" `0 s      Pn’=2n+6-(2n’+3)
& {# `) b% @7 T" F; _# n1 P4 a7 ?      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
/ B1 b% ?- k8 e% }8 y2 L" ~2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
9 X4 e0 F# j6 N3 @9 \Pn’=2n-2n’+3……（2）
" Z- d; b# X: g7 O4 L  L+ J* N2n=4n’+2n’’’ ……（3）
4 x1 q1 t; x- x2 k, h上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
9 q8 ?% \+ n0 R" @5 D! B2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
' S; C. [4 s5 l% g/ x  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
" M' |7 l2 M. Y3 @, k9 ^/ X2 H  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
9 X* J4 O8 j# ]4 E+ v9 K0 {% ]5 C0 R  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
% r* W; P4 P: }- Z8 q（2）方程组
- w  R2 ^7 g& ]) X5 P1 I7 JPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
& |/ T. u+ v2 l, ?& t: M2n=4n’+2n’’’ ……（3）
8 d% ~4 F! Z4 V( y0 o2 x①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
% y9 x, ]6 `# m8 H2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
, k# r$ i6 x4 v9 q8 a) O②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
' ]& a. ~2 ]$ A! |( \0 {/ c- U确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
1 c3 M, q/ R9 S: S4 g! v4 b即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
. c4 |, d' x5 p9 ~" q( H! K; V" Y已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
0 L/ S2 a4 F4 ]& U   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
6 u8 n* z5 M2 c* T% v8 R. iPn=2n’+3
& K( }5 y* \. L% P% k+ ~* ]Pn’=2n’+3+2n’’’
! }1 f8 E  ~; K" L$ `) c 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
0 `" s5 U) Z& Q3 [  y* r: w即Pn=2n’+3成立
! _/ u; ~0 Y7 {4 Z6 ]+ `Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
: v# E& H" I( z: B  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
9 U/ H* R1 U9 O3 m* c1 F. ?则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
) J+ D& ]9 U$ n( Z0 w# @即Pn’=2n’’+3 也成立
* s. C+ Q1 m& e. f* @由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
' Q7 e# s; |2 |% m4 K8 \% w由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
8 K! B( S, V+ P% L即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
" a  \( G4 ]# q! H8 R7 g  f换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
8 ?! O0 O% r, ^因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数
* G& H9 B( \$ I5 e3 L" K
1 s( V0 M1 N; Y9 P' t  a, g3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
* X& S7 G# _- {2 |设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
" V4 q  _- U0 e( l# R   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
/ q* l; t. C4 c+ c# O, k2 y     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
3 W  ?2 m; N7 m. o      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
* N2 e  m; T5 P% l5 k% m     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
( ^. K3 n- k7 M0 M0 u     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
* {5 S" r* K; B5 I6 P6 k/ [" U     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
1 H+ l7 z$ P4 z. `6 y' \) G     122       56      66        28      94        31        97         128        
# Y6 E% Y! B$ u$ Q: ]     122       116      6        58      64        61        67         128
: v+ o1 [; L6 ^4 r' K1 j8 r5 q 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
- _, L# f# P. @4 v" @6 v2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
& V6 Y; G3 U( O  y9 ]六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
9 c9 O; T$ d# I+ C0 h0 J" [9 d(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
7 w6 `  q; b( c由上述三个特征得到三个定理（见注2）
& ~0 B0 H: D; b8 v0 l0 w即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
* R2 n8 ~% W5 x) W4 b ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
/ g6 p0 y0 d; T4 l# O③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
: X5 H$ }" L! u ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
* R& |% E4 x1 P( b注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
  i8 ^4 e7 i. c/ u* w/ x因为因素与理由意思相近或相似
3 T) G, a' Z/ ^- ^公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
# L# ~' `; k, b# w如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
$ r; I( ?6 f; L- F' U0 H０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
# c( X: R& i# t* O$ C3 f$ r因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
# I! [* L2 z7 {2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
- v- a; r  @; u/ t& S6 D则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
1 }( j- \; ]( g' Y( x) U! lPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
4 T) v& k1 j& T' y# q4 HM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
5 n0 Y  i9 y" B/ _' N2 }+ q' ?9 w由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
! Y. n% N3 p) L; t( C0 F( c4 @0 ~得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
. J" l7 r, R% V/ ~* c例
: N4 [+ M8 J! B, b: ~pn        3        3        5        5        59        61
, {, D3 q! h- t  r
Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
/ n9 D8 G- M: _n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
8 K% U4 J$ E* L+ @1 v$ qPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
' T/ O0 S+ O' E! L0 ?M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
6 k. K  `; B) }; U2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
" f" b6 }* e  ]3 D% j式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
5 }% _4 l! I( \' s& V/ G! o4 x例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
$ m5 [. f0 l" ~* a* \. q" L; V                                          3+3=1+2+1+2=4+2
7 p, D- K8 {, R* h% ]                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
# ~4 ]: l( L; o+ r; L7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
& a! w; R% \3 G' {& _' I61+67=59+2+65+2=4+124
3 E6 c, e2 E& I3 ^% N…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
, @* ~* y- f6 Q/ |当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
* e2 m" n  h! ]7 m若n为奇数时  2n’=2n’’=n
) n5 @2 C* \/ h$ ~! M若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
/ X& a5 s8 @  z/ H: n% {M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
1 M  t7 U! b: i: o" S$ B =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
) X4 s) E8 m+ S6 D1 b1 Y再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
2 X- [# [7 n2 s2 O2 g        2011-8-6
- ]8 g( B3 Y& G6 {, x, n通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
" \* U0 v# V- I4 z4 S邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
; I0 Q( ^$ i9 C4 b; s: y# \籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
- L7 _  T: S  E2 J9 k
5 T+ y& C# h6 q

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
即Pn=2n’+3
; y" Z7 T# K7 _, p/ H  x是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
; X* `( t- m. d1 L( r2 V6 Y即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
% K. t. {; a& R$ B  Q& c但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
2n’’
使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
) r7 A- J$ t6 m9 q( V; `又因为Pn’=Pn+2n’’’
- ?5 c# G+ v  V4 T即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
" R  t7 B+ ~. _- r; }已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
# z- x, W: F- j1 m5 _0 T# Z得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
7 Z4 @& i' [. n5 O! x$ u9 a; \2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
2 \; K, D  ~% P, [0 u6 K* W代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
8 k7 Z- P% N' D: kPn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
2 @. _2 m& s' G, U