哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
' V4 X0 ^9 I( y    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
/ ^. H' N% ^- S' U: n- u7 ^) p: |- I已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
, D* d# q3 M3 P% o# e8 J它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
2 _* d- ^9 {8 b以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
0 c# _) Z) i/ Y, B则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
% a: Z  @- R  D  z8 C将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
' o: V  r$ L" Z; T! S) r+ j同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
" M* j7 L: _2 r- t' q  g) A# L) N由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
& A: ^7 f7 D0 H; u, l# o% q  e* ?0 Q即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
2 W1 h3 r( T( T1 c+ F（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
6 @' v* I1 z: W2 t7 o' o- r 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
1 v( R1 x) k$ M( p均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
: R4 ]9 [! \" I' n& D4 x                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
0 ?5 \$ X/ k7 K) S8 X4 v这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
/ \% y$ D: T8 X5 Y) b: j例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
0 o* X# i0 h" H1 N& I3 k9 T: |/ {- |2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
5 y8 l- ~* A3 W4 z" [6 ?+ s即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
! p6 ~! l, P$ @& |$ f在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
; I2 K5 j# ^  g% A在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
2 G* b$ w) a0 L又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
( ~/ q% s; [% f代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
( g/ S! L5 I6 \) k（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

/ W( G1 U; a6 H( o( w+ D5 l+ F得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
# y0 P% V7 |; G6 _3 L: w同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
$ @0 s$ u. [$ ~% u; q（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
) e4 c9 z! H3 W; q即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
2 O9 J, m# L" D  a设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
! `5 p" y3 ~. y/ C2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
. Y9 \: x# Q& g1 r' R7 {# |7 \2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
5 Q1 b  R7 C5 x' {4 hM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
: S7 D. v, I; _4 ePn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
& S7 x5 s& x0 V# D5 k3 BPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
9 j6 P) r- E, ~
+ K) _) U; ]. d* s* _0 h由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
; w  ~6 x) R3 L4 ~4 ]+ B8 `因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
9 w% o7 z( ^! ^1 }(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
/ N; R- R! u0 h* NM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
. [7 _: q# W* J已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
4 ]1 K: X/ {* xPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

: r& g5 I7 Y; Z; @( r( e2 k       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
  h0 a! B' z) ?/ H2 v* M+ A( @- ?三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
& Y: s! Y4 f5 u$ H5 u若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
* y! Z/ ?* w- O若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
  Y: s' j: @; P! Y( t0 O8 c. K（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
! x/ B9 ^4 Q0 t) BPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
" W) D0 R% e/ t8 I5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
- F1 t" H1 S2 X9 P1 Q1 ~或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
8 K: e! K/ @, M9 z3 H4 ~2 L  _0 F即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
4 s2 R2 Y( u, h  j若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
4 I; [4 C& Y0 ~" C) p: Z即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
2 O% n7 d4 a2 ?' O' P3 p* wn为偶数2n=0,4,8,12……
7 s! l7 W! u& v( N' U2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
5 I4 e5 c# L: F6 bn为奇数  2n=2,6,10,14……
, p+ K* e' p5 D6 \0 H2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
# G$ R: R* @6 r; r" q, o* M2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
7 E" v1 L) m5 H  ^( ~* W$ |9 }Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
# U) H8 F7 C# J3 o1 F# }设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
3 b$ }( m7 h1 p( i（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
' H2 G% Y9 Z$ A- p4 s& l9 w又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
& Q" X% j4 k; [4 G. L) V: BPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
( o( y6 [  e" L! I; N由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
" x; w4 r6 a& A2 C                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
: d$ K8 X" |! }1 s4 C得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
7 m: Z; a- I7 {. F( g2 \& G     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
. w7 ^1 y5 W$ x8 X/ i* M     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
4 \: D8 W3 x; |( U& O    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
; f7 g- F1 ^( U/ y2 S$ j    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
/ }9 `% O' }0 [( e    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
; B: g- }0 z! f      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
7 C6 S3 E& Y/ e) ~0 q; o 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
( t. G1 }2 Y6 ^+ a/ h  V1 D! r即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
$ ~; N' {2 R! x# F由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
& E- k' ]2 O/ y6 T. s  h6 x/ e0 m五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
9 e9 u) b; f# s在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
$ E! I: j1 S7 m0 ~                                             =0+3+4+3=3+7
) Y4 T; U3 h5 f# g                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
& o. r8 o% D. G7 A, P% P1 ^                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
3 N! C" K" U) X# U第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
5 `) ]2 b9 l. e: T/ a7 VPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
6 v0 z9 v: d3 v- e  V3 L, y      =2+3+10+3=5+13
* o8 N* l" B) Q" e      =2+3+16+3=5+19
- w' W" u0 _; r1 s- G      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
' e" L# r. ^( e' t0 G9 l2 S; S& S            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
2 y) f( j+ S* x! A! u) S            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
: W# x. E  P" P: g; X% W0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
3 \. B, m# d! f1 m4 {; _0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
( |, l$ L% g8 S5 c5 z3 }, T3 r它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
/ o6 z$ X7 [4 P+ _0 F( L" v                                           = 34+3+58+3=37+61
1 c9 K# S( F4 b- r1 J% o2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
( x8 b) j& P5 @综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
- s& F, h  q' j7 M3 J2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
$ j8 n7 R) W* S2 m$ l5 u                                                   =3,4,5……
/ F& a5 S+ @# e5 f; C2 ^7 C! K- ]即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
. K% j) r& s) f, [(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
' `$ B' M0 H) ~3 T得Pn=2n’+3  
1 u2 }! c1 p2 @5 B+ C3 i' @5 I! N      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
1 h" ?% R& V( [又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
6 w4 G" X% c, V- }2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
" c2 x- b; @. r0 W3 B2n=4n’+2n’’’ ……（3）
3 N8 \; }& W6 Y3 u/ P5 h2 T" H上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
: B0 u. E" Y0 M$ v  O  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
) O' G. g" ]* J$ Q$ ^/ u) S9 q  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
$ B; `7 r2 D# C4 V+ Y! j8 t+ C" W  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
* I7 X/ G% e7 ~4 [  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
5 c( ?( l- `# i" G$ ]（2）方程组
& g6 y4 f1 o# u  c2 J4 ~Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
* t; o, o+ |1 E( o$ c, f" _2n=4n’+2n’’’ ……（3）
. k& t% r2 _4 w. v①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
+ B/ h7 d- @1 d- g' o③证明方程组成立
" ^6 H* H3 ^2 [8 Q6 p# w8 o即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
3 y! h# Q8 c9 i, B已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
' x4 k" j7 s  c; T+ Q2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
' @8 z( w7 a  UPn=2n’+3
. b. z2 _/ r4 b% y$ f) E  B% W5 {* PPn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
5 Q6 Y7 P' x: t3 |7 R8 l+ w3 }即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
, e5 G5 J. e9 r5 I  =Pn+2n’’’
7 p1 U( O3 N# c$ T* w  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
' x+ F( W9 ^' E8 m. ?则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
- ~# \  ]. Q7 H& ^) X7 p) R% A) t即Pn’=2n’’+3 也成立
# [( D6 _/ K# M. n" G' E/ N5 H由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
0 ^; o; s) p# R8 r; F1 S+ L即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
. ~6 V% G3 Q$ q6 v* w: ^1 N换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数
: Z& F7 v3 ~; @5 P& w8 b8 H
3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
1 i4 u* A0 l; ~设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
2 n2 G; U# |) ^: ]      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
- D- Z- w! G8 J+ r; f( H5 z      8        8        0         4        4       7        7           14
7 s4 R/ W3 [1 Y" N" ^      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
8 ^9 y) E! B: g5 f! A      16       16       0         8        8       11       11          22
3 [! i) l7 A, o" U! A7 u4 `     18        16      2         8       10        11        13         24
# t7 v) V' d' c     20        20      0         10      10        13        13         26
$ j8 }9 `0 }. M* G     92        32      60        16      76        19        79         98
4 t; b: O2 Z. t# q. ^# O     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
. Z  d: o) I/ B. r3 \ 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
3 @; I1 _* U. |4 o3 ^/ V8 j/ l2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
3 ~/ |2 k5 u9 B  _; O4 B3 s1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
; p7 c7 W5 u- E* @7 ~由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
4 x& W& w! K1 P2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
6 @- H7 }% L6 i* P+ v" l ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
8 Z/ i; c' w: d; x③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
; z3 r; o' i# J0 s8 }3 z ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
  l! c5 M* l' q8 q2 d/ T鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
" z. p) ^. [  F2 j: W: u+ }注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
0 j  u6 g  U$ U& k' k! p- k公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
2 u* Y1 V$ K! l# q# |2 O这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
/ B8 j: [  g) Z- z- b又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
) ?6 W: t' Q& w5 c０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
0 B- _. u1 |$ q5 o- {因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
& }9 C9 ^8 m5 q  j" q5 m注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
, o5 K; b' `4 K2 xPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
* u4 \' ?* t5 \" L' o$ {" j3 r即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
' t# v( A8 H# U( w) Z由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
* t" i$ N/ A3 t: r! t8 V+ XM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
# Z4 y, X4 |' l( w  O$ j# t. H$ h/ W由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
; M6 I6 I8 Q7 U得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
& z" n9 r) Z1 A& V7 e) f( upn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
& R, s' O+ F' B. H& \& b3 t) l9 E. G2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
2 m$ W' J6 K9 K) nM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
. S  j$ A7 s9 w( \6 X2 [( r即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
9 C( A% S/ i8 q) w  m. lPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
/ G+ R8 K. L: {' i' C& ^. R2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
, W0 c% C% b5 y/ o7 }8 n' T: MPn        3        3        5        5        59        61
& U. b- l" g: |4 nPn’        3        5        5        7        67        67
0 j+ O% I5 S( A7 M, c8 i/ J
) u- O) `0 C3 Y. y# g( G1 U注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
2 f; h/ z& l8 R% }" a8 @' t/ N2 u若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
' T8 k$ G  F* r0 y1 L例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
: }* J  v4 D4 g4 |# P' C0 R9 c& E                                          3+3=1+2+1+2=4+2
  }# T. w: e" T" o; V5 r                                          3+5=1+2+3+2=4+4
& K2 ~' x; B) U- N; g                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
1 v0 w8 @/ J& ?% q2 g3 ^59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
+ S* }  }& G$ h" y) k% I…………………………
( W1 y. L+ ?/ U6 T/ x在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
% a7 k  i7 z+ I/ d& S! t  `, E当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
; u6 N) c. H- S  w: N6 [' U若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
% k  B+ v5 w+ v$ K =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
& U6 B9 p3 o( H. z0 k9 A; H =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
5 ~8 C5 ~- W0 ~, d7 f即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
3 o; t+ _2 `/ ~" }. t通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
( h- V! v% g" G" k$ i0 X邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
* E% @! `. }' l籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
/ }! c5 z8 o% `/ A# |


3 M# S8 j" S( y1 H% C+ }

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
" L! i( S- g: X' A. E6 p2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
即Pn=2n’+3
7 _" u5 B, {; J是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
# j4 @& ?2 g& e, N即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
1 I$ S' I4 s! N* r) a$ A但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
$ W- R8 D  K& \3 M% y  _# L& z2n’’
使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
$ M" Z) l. ?: t又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
( p0 f% E( L. Q; r/ p7 u9 W7 ~已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
) Y" G1 n) ~% M: k5 T1 e2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
0 x- L2 Y8 v$ B# |4 k3 ]Pn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立