哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
1 }' m, Z, U& o. u) a! f    一、质数表示式
% k: j2 R' _* [$ q1、质数表示式的由来
% ^. N+ T; v) o5 X! z7 b0 M% O- o已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
% H& s  |' n8 p已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
7 c% ?7 s% d$ @) p; b3 p, C则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
0 t. E" G; `  j/ u9 p; R/ X将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
4 a, o6 m/ }, m' A即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
8 ]# b5 Z# O$ b) j8 E2 Q由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
! Y6 s7 f3 o! M! N" N由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
; {5 y8 L3 k' K- ]2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
% T' I! o" h" T. O( i9 l  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
# M2 o5 M- U: ]1 ^7 k即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
3 b3 t( C1 i0 c这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
/ {# D) {6 v. L/ q: r* J* p2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
' }) }7 [5 j- u/ w3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
! z  V  ]' J+ a8 |0 v# M5 j% d在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
% G, ~. k' n! F& c4 g- `# b. T代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
+ x' q8 g" X, h* p代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
0 |' ?" K4 e5 U3 Q% [2 R从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
7 M! L3 I' G; ?& G8 P/ _3 t1 T由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
8 Q) O& @3 i$ C4 Q! h3 Z, N1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
1 @1 d  r1 C0 M7 S, `同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
1 ^: J# B0 K/ c' k' z& e$ D! u: }（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
! ~/ N4 P$ I# {" o2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
8 B( z+ Z( N1 x: R) ]即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
$ q7 D# }8 ~$ n% K! Y3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
7 G: E7 v9 V% J& F9 L7 R设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
0 {& L+ g- r" `) u" B* c5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
; k( h4 `/ I- @! C2 u* z; I! D% g+ Rn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
% C+ p, [  z5 G) \Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

) x+ h1 F; }( q由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
8 i* c# ]0 g3 }& d* x6 J又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
' R; V1 }5 `8 q: ?9 k7 Y1 B! {则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
$ |$ `/ s4 g4 e; l& S8 U% ]M=11111111111111111+3=11111111111111114
2 y  |+ E% Q. g% g7 }, E根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
1 w$ `- b  I6 K6 S8 T/ g$ S* ^已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
" A/ ~  p" F8 w) I0 u' u" {Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
& m* ~# M+ B6 q5 XPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
6 S# _+ j7 `* e- K3 w% s9 X5 k
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
$ U+ T# t- \, ?' z& U设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
! q4 l( V2 X! V' J若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
+ @+ x% c3 \5 I' m3 p（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
  k4 S6 ?0 r6 r, ?0 i/ E代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
7 n! p5 u0 z' \2 V2 J& V  o4 M当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
, Q( d' x. G8 G: ^7 v# \设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
  o  W) [; i! ?& t' a5 A& G" D5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
" d0 P7 v  g1 {  V6 p; R或Pn*+Pn*+1=6+2n
+ d* k9 t$ L9 r/ N2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
  D/ l- u  J  l* o; Q( o0 S即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
8 d# V- e* F' @, r在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
4 S2 {% t2 B9 Q& Q% R3 r' u代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
  |1 ^- z* L. Y0 O0 \若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
# |0 _5 i" y: v' s$ ?  X0 X/ t同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
7 m' _: p5 ]$ [6 G& C( C& m2 ?9 Sn为偶数2n=0,4,8,12……
3 {7 X- G& a& P5 W9 C* ]( N& ^2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
( D+ U* E2 Q8 @# v* s  d7 Cn为奇数  2n=2,6,10,14……
+ i: u3 N! a1 c5 B; r2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
+ h) r% B* _6 Q设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
. f" |' S! Q( Z" U; d* wPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
& A; A3 j* O( v, dPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
8 @- ^+ c* b: d& L+ P! p2 I$ \6 A或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
$ p9 P2 v! }2 f( U( h由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
8 l8 M1 s) f- J2 p（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
" ~$ k" i& W9 Z5 _2 d# T) B+ `                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
  P  o4 d: C! m* b得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
2 g+ v6 W: t; m     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
1 X  c4 E! @! |, y8 t! p    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
1 [3 E! u- t  m1 W* P    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
9 E8 q8 P9 p: a" F$ {8 e  R8 L    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
0 H: V7 m5 f7 f* E4 q5 ]      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
, H  r' P( `6 s（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
. T" w; j8 G" u1 O# e% f" ? 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
" P1 P! h3 j" h- g1 L即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
  g" Z8 k' a. N0 r$ m* V第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
! B! J7 f1 s$ T                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
5 I6 \) w3 P  ]: e9 S                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
8 k6 U% s' Y! Q                                             =0+3+16+3=3+19
) r7 s8 s9 |( T" S1 S                                             =0+3+20+3=3+23
# r) J$ G3 y# u3 C: j6 G/ Y" d$ Y0 I第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
1 A3 v4 a) Z' x* W5 `' p* T) l即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
. L) U, w7 I4 V) y; I4 z第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
& P' z- h7 n" B; V( a0 S) l            =4+3+28+3=7+31
) V5 u0 e' {1 s/ m6 }, A            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
: U% g  D( l3 K$ Z; z" Y  b3 [. B# p                                           =28+3+64+3=31+67
$ [8 ^+ O6 Q% j% q                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
) u7 s* L5 @- D                                   =28+3+94+3=31+97
: e, [7 F0 K! `+ \4 ~                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
: g) Y6 B% E0 G% i                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
! o# h: S$ m0 G# z' L- ^                                                   =3,4,5……
& M  S) E! o; D6 I' g即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
/ o1 i% u3 R; F; F2 O2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
9 B3 J. y3 V# _+ H得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
. x. k& N5 p6 v      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
5 i# t) k' S6 j+ @  _2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
9 a, x! k$ i1 ?. y6 X4 Z% ]Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
( U" ?) T: B3 p& a5 S3 ^2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
1 ^$ q2 H; L3 _! p; Q. g9 j- h  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
( M5 w* x5 x: t* O( Q) D  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
& m0 l8 Q& d4 |! l  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
1 n) R; _5 _! d. H  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
- K: ?- z  w3 ~! _  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
# @. V3 k8 T+ R) ]  [" E1 Y! \（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
' z1 @# V: Y( }# p7 s2n=4n’+2n’’’ ……（3）
( {4 i, w+ o$ k* L: o) [①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
0 p+ D" `& x* q6 ]9 R. M3 E" y设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
- d( V1 t4 d0 f; \确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
6 g, m) |1 n( w; M+ t6 V* |即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
9 A0 i8 ?5 A2 ]* X6 l# O2 c又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
3 w! l9 S! L3 @   
% E8 e/ \5 \; x. u& ?" F0 S$ e2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
% {' M# e7 M: x# m" r/ T1 \Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
( O: i) R. F0 T即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
- h3 Z8 P) h) c1 a1 X  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
/ X& K/ ~% v! x已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
; r6 G' a. V* r- k即Pn’=2n’’+3 也成立
* E9 L. y0 A. X9 k- \; a3 k由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
9 E  K) h6 a, J5 l8 }9 g由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
* \* S! I& }- I/ S0 }换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数
; n& L. {4 ^9 Y; W
3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
; w" E6 n5 C* B, N2 Q. z/ [设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
5 l: O- M) N6 B, |: l4 H3 _' V" T   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
. P& f; R( \1 J9 ?$ O     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
* h( d. k3 A, ^9 O# V5 X5 p      10       4        6         2        8       5        11          16
  ]  Z9 _7 X# h$ d$ X% Y7 o      12       8        4         4        8       7        11          18
" Q; q0 J8 o4 ~& F$ x" u$ z% y; B' @      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
: T& Z5 [' G9 I8 w' v% V     18        16      2         8       10        11        13         24
% o! n, Z5 X. z: g' B2 C1 X     20        20      0         10      10        13        13         26
) i& U& y' v. V3 a# X) S     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
; x5 V: W" H( T, M. t2 w     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
+ \* h' d& Y" \4 o# n" y9 B' ~     122       116      6        58      64        61        67         128
7 Q8 r- ?6 z* J( X( ~ 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
: J6 o6 V8 Y5 _, D' m  _, ?$ a9 s/ u六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
, X0 F( x/ o! f7 r( V) j9 r. N2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
/ t7 ?2 P! G$ d6 T; |' D/ `③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
; l' h4 c$ c, e- y( k& T( u; I ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
3 v. ?) z6 \3 V2 p鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
6 a+ ~. {4 [0 Q8 v& b' c注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
) J# z  x: l5 o1 F1 v) j8 \( D如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
4 r' T7 w; U! X( b. s2 R 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
4 x2 y. M' P7 v/ X) j% Q# H已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
6 {  M, d! v, w3 k7 ^! U+ U则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
: Y4 Q2 S/ U. X% u1 r- q( s即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
8 ]8 y. R5 ]" o' O, R& spn        3        3        5        5        59        61
1 t- `3 S& E0 h8 L1 D
! y- `" }9 h/ h3 \% o5 i* A( SPn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
- u. w, e! {' S( ^n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
3 M6 F0 ?& e) q$ A2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
& \! B& ~& a5 M- a; z7 RM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2 M6 Q' w  |$ M; u3 f) |2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
- V7 y( u9 ^, }1 ^$ uPn        3        3        5        5        59        61
* E, k- Y. x5 g/ [Pn’        3        5        5        7        67        67

7 F- w2 R) b  W注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
, w1 L" ~) a9 a若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
! Z/ o) D! B! c. e  o2 y% H0 y, x9 w. E式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
3 R) y/ J0 w# x% E+ x8 E  L5+7=3+2+5+2=4+8
1 D; p2 n  V* V7+7=5+2+5+2=4+10
9 G6 F3 x7 i/ X; Y59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
& h, T$ V' B8 \$ p: A…………………………
. H) Q8 Q. M! M  ], L1 G1 w4 z% g! j在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1 ~; ^' ?' N/ ~( Q1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
0 A% p. w) ^$ m6 O若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
5 m- }4 M) R4 h+ j: ]再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
+ C8 |% O) G$ U笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
, N; s9 s' ]: K1 v9 F+ O邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
% f; C1 `% H/ b7 u$ j! q1 }籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
& |1 i1 A  m4 X6 ]# ?

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
% ?$ e  r( f* |; }+ d2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
  x9 z0 ^/ ?9 k5 Z6 O即Pn=2n’+3
& q8 K6 P* l) K是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
0 N3 X- F8 V5 {6 z# g: |2 E/ {8 L! [1 Q但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
3 l  W$ u5 ^$ U  w2n’’
8 `; Y  J9 [6 L4 p使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
已知Pn=2n’+3
) [  ^& ]; M- q/ ?8 L3 K6 g% |! UPn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
8 _' v, m8 u5 Y4 J得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
$ d0 Z% q& C* S# [" N$ [" FPn’=2n’’+3
: h  I- U# I+ Y+ G, V: X又已知2n=2n’+2n’’
0 j' c. x6 D- S/ B% I即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
0 i3 C) V2 u: I