哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1 l! z% r" \# j' t6 y) W1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
4 T/ l5 X1 @: v0 E' i2 Y" _4 ~以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
) @2 ?5 K) r# Q: d0 D  H1 e& u3 c$ E即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
+ ~2 C: Q& `5 U4 V0 C6 L" D同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
( ~- W( \( n& r5 q6 m: `即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
' T; r* F' ?1 g由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
( @% Y- \7 C) U9 i; h& D& g  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
* _% U$ [2 N# k7 ]5 c3 s2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
* f5 O  g5 h+ o- \) Y) k, q& t( P  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
7 U" {/ n( k+ a# r8 d设2n"=0、2、4、6、8……∞。
. G5 T' s! }8 f: `3 Y即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
. D' |8 ^* M' F  R根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
0 [& h% k* Z! T! h+ S" R1 G                    
7 F- m! {+ y8 H其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
: u* x5 F: @6 H1 b5 i这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
; k% Z/ t+ e) m( r! d( A' V' ]( j即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
. o  b! G# Z9 {5 |1 }  @# M例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
( l5 ^- G; O8 G2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
* c& J' v$ Z1 h9 h" M2 t2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
7 h0 O, s1 X6 S8 j- e; J: I2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
/ v! M3 u" E7 @5 M+ H' j3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
; F7 ~$ L8 j+ h2 Y直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
0 Y) z  H6 t$ L8 y+ X$ s8 g在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
* O/ l4 c* |) W: u( E% _. Q代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
6 N( V5 E& E( |# I1 s) V, p在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
4 K. Z6 Z. p9 H) s* o( U4 B即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
  @7 e& K/ r; w8 {或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
; B5 d' H4 f% s8 v- @1 o! I由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
/ X, T9 }3 f4 S$ ^' u: {; P（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
3 q8 h/ S( d0 i4 ^1 C2 O同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
; X: E- o; I- j9 `( S) V在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
. t0 j5 r# B* M9 v% Y; q3 A（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
' e5 F: ]( Q3 T# |3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
6 j9 F9 y7 |( Y/ |* i3 m5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
! [6 A- H6 S' u* \即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
" e4 C, c1 v9 h3 _+ X6 c0 c2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
9 B) M% F! K' l/ |# m9 `因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
: t8 k% k( \# m9 ]% c则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
1 D( [7 a# z4 h0 A8 s1 |2 o$ {: Q2 }7 A$ eM=11111111111111111+3=11111111111111114
* H- u8 S) y  h. G5 q; c$ k: b) q根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
) p0 h: l/ W% X; s$ s( A: sPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
7 A: G& n% i) B! V% MPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

* Y: ?. g! E" Z4 N$ `# f       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
7 ^) M" \! }- Y2 m$ ^; r: h6 v三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
6 P' S# N/ n1 P" e2 E设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
- I5 E4 O9 v+ ~  @# e* J2 ]( h4 q若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
1 A5 O! s( D( K- d* y（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
: G) A% K( I! E, m# s当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
" @8 p  K1 y* W" Y- `设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
& x/ J3 F6 K4 w- j6 F或Pn*+Pn*+1=6+2n
7 X& h7 `1 f" g+ V1 {. ]$ Y2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
" j2 U5 p9 d: O& B3 {1 }3 b. B$ a即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
7 O6 N; H& E9 T* \2 I在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
# z6 f/ E! W  N7 f$ d7 S若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
! g6 V# j! I! p  g# m4 b得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
6 D2 v5 c& L/ {: J若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
/ [2 }: u" O" P/ b3 i3 fn为偶数2n=0,4,8,12……
; k* a6 {- M$ |& `! Y4 c. `  `2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
7 s9 t- n; S0 H; T9 ~2n’=0,2,4,6……偶数集
" {1 |& q* C9 G* x* L& c! X! tn为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2 Z# ?# g& W4 _* Z2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
4 g* e3 M3 V9 A3 N  F. J将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
1 o3 Z. Y% _* i  C/ n  g 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
) M# P0 T1 C6 G6 [$ T又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
' W% B  F  V2 L8 e, [' a' k/ @* ~Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
3 Y* e4 m  Z$ P1 E  o2 r2 V2 y或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
! T6 N6 K  i/ i' h                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
/ e  L! `" H. ^; A/ J     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
+ l$ F2 e' z1 l, S* _( M0 a0 |     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
3 Q7 |9 u/ ]6 S$ H/ i; s. K  x% S2 U    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
  l- g$ Z  Q, r& C    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
6 P( e: P" |( d+ r) }+ i    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
/ I7 O  A* U( W8 K  Z3 _9 w- o（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
+ }$ N; {3 c1 Q" S# x# m% }8 V 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
/ v$ g7 T6 M& m- q3 d9 S: g即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
) G4 R+ H2 r3 u# _存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
, }. H9 b+ r- L8 |1 p- J$ Q由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
) K+ L& L/ C, q5 Q, a                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
; [7 E! t1 a: g- W  Y                                             =0+3+10+3=3+13
5 R* W/ _% L: x1 V/ ]! U3 ?! P                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
2 U& D: r! L6 r; B# lPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
, d; X+ h5 `; e- a, Y& o0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
) N$ c* E3 J/ Y+ l  E* }0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
  T7 i* |* b+ d它们的偶数公由数分别为24，31对。
! R- M& Y6 Y7 X" W! c. }6 S2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
, a9 z; n6 p" c' J8 T* L# t$ o                                           =28+3+64+3=31+67
* ?8 F, U. l/ Q- Y0 l+ M+ ]  @                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
2 c. c4 O8 p- L                                   =28+3+94+3=31+97
+ n: f6 m& H% n                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
' h8 x4 [. w; G2 K( U                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
8 _4 y9 U) M) f(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
0 N4 G/ `8 n: w  z# Q/ K9 L# c得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
" l7 |1 S8 v# w7 F7 i" a$ k      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
( W& p$ a* t$ g2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
8 l% ~! Y6 O( D( I. N9 c, o& |Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
( O% z  q/ m9 W- s! n  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
, K, `# T5 q. g- D5 y' k  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  T: t$ t! Q% w6 ?  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
: G# V7 ?* l- Z4 r) p6 n) o  A, d+ t- v! m  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
! ^# j5 \( L0 L, S/ _# Y% XPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
- z6 a0 L2 T! C/ {3 E2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
+ y3 U/ i: y4 t. v②解方程的步骤
9 v& Y' _) D" `1 P% [8 v设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
. v+ d3 s* |% i确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
. h4 O& h9 h3 \/ T; [1 [③证明方程组成立
8 Q9 a/ l* g6 H3 Y即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
* E. l  t! U3 e* ~. `) E   
* Z2 K) P5 w, w* [+ Y2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
+ l# F: Z+ N" _; w 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
/ }2 c4 F0 B4 Z% ?; S) o即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
7 b1 ]* m3 e1 M! ?3 E, ?2 y1 R" i+ K& X  =Pn+2n’’’
) V  s. U1 M8 Q) f' C# A  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
  g) h6 b2 B/ n: |* ^/ A则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
" L0 Z4 r, c3 i; L由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
6 I2 ?& r: }( Q$ A! P即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
- a: ~% r7 N- q1 _换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
# M7 m8 J4 v# e. x# t0 d# M因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

3 用数字来检验质数表示式的成立
6 |1 y" V/ o4 Q. p3 G, U! D已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
4 `* }  h# H3 a2 `) ?, g8 I设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
; ]6 J+ W- P+ ~+ J2 ?) I) _, n     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
* K0 N1 \+ f3 \% O      4        4        0         2        2       5        5           10
$ E/ J- h2 ?( ~: L6 `/ j/ m      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
# a/ V8 K! G1 c4 A7 e      14       8        6         4        10      7        13          20
! z/ R6 L" m% W+ {& o6 _5 {0 X      16       16       0         8        8       11       11          22
' I+ p% V, O8 w; h9 r1 T; R     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
& G8 l& {1 z+ o     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
& _, @) o, Q6 o6 T! }. Y1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
9 r, t; g' g: s+ a(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
2 Y) {& T% @2 X, n6 p$ L/ Z(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
' W, w6 O% [1 e即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
) R6 l# o# e( L4 o: x) q5 } ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
& \, x# {7 T8 s; P1 e ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
/ g+ z2 L. g8 U+ j注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
8 w% |- |* P. u6 y6 w, d: ]1 ^9 S. ^这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
) T2 k4 |' E* ^& n: P( \已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
3 j# v  V5 J3 }/ |/ I3 ?! M则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
. h2 p) \, D% j  g6 s由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
4 `% E$ g# h$ Y1 M' _& ZM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
  P" b& P* T0 M- H; J  Q则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
1 A7 H5 ]* v+ P0 W5 \得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
; `  s" @' h: M+ l; @- T+ T6 p例
pn        3        3        5        5        59        61
( T+ m1 f" Q& x0 |, y+ B2 W+ i
- @& L% u, E8 _Pn’        3        5        5        7        67        67
& }! M0 K* z9 I/ x2 c2n’        0        2        0        2        8        6
  F3 w* h$ s0 L5 k( ?2 ]3 N. r& U# _2 N, [n’         0        1        0        1        4        3
* D& ]+ I, c! k" I! DM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
7 h% L) |+ y+ L8 Q' R0 h2 ?/ N4 r由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
3 a( t2 v0 r1 ~1 \Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
$ t( {$ D& F9 e5 r. d8 M1 YM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
8 v5 b" B4 z9 i7 O  O1 \5 bn’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
$ [7 v: Z  \& E% f2 N# p, b4 Y$ g/ qPn’        3        5        5        7        67        67
# B8 I" ~% n9 ^, S, b4 C
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
$ n0 o2 P* J% b, j9 ]/ `                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
. ]6 @8 I" q4 l2 H" n, L5 j                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
4 X8 F" P: \% f+ ?, z- U$ @61+67=59+2+65+2=4+124
" G% X# p" A* J( q$ u/ o( B…………………………
. V6 s: Z1 q  Q* a+ B. \在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
& w5 i- ?3 I  Q& ]6 S; |( @7 uM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
# y. e8 V" U7 T2 b# Q =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
0 M5 a9 j$ \7 e+ D =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
( W* t7 ^7 q9 C( B7 P- S即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
- [* C* L0 u' ^        2011-8-6
" [  w$ h; q% C) K通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
0 ]8 a6 B2 W4 r: q, \  U籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府


1 C7 ?  Y9 Y' ^+ m1 ?7 |

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
1 E' o4 t$ b6 t2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
" ]3 @$ W( \8 T9 V2n’’ 保证2n’+3为奇质数
即Pn=2n’+3
是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
# i, w( M9 K1 {! {6 F( y' V即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
6 k; T5 I! W* y: O/ O& ^/ j% \即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
4 N/ d5 w% C% O) l2n’’
使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
又因为Pn’=Pn+2n’’’
, M# Y' I; I9 }- k, ^5 P即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
0 a  _3 e8 @  P% u2n=4n’+2n’’’
2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
- m% r+ q& n1 S. Z" I$ p又已知 2n=2n’+2n’’
' @. z& q. p- W+ u, g+ m代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
! K: A& m8 O7 w0 A: @由上证得Pn=2n’+3
& @* \# c% n( ?' ?) wPn’=2n’’+3
! }5 h' V# Y2 r: ]  q又已知2n=2n’+2n’’
& @7 r7 p6 b: O- u* W4 F0 V即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立