哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
  {, [* T+ a( {9 }将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
% `0 ^0 z( _# T以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
1 ~* \2 P8 i( v* x即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
6 s3 ]! D8 R4 j9 C1 k) ^同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
) z0 M: y. y$ H$ Z% v/ @2 l即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
+ M( G7 z( R' a' F6 z* \（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
1 C' K% _  p) r- H% k! U2 f- B 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
+ u% q% R9 }+ f  q9 K' S7 |( a由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
! z- t9 i$ g; J3 x$ e) u8 Y2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
$ r$ x" d" |4 h* d% \( z' R6 _设2n"=0、2、4、6、8……∞。
0 ~/ T$ n, z! b6 U即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
' |5 L( {5 Z& @5 p( T8 K# z根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
& Q3 k% _- f6 R6 ~- R用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
% o6 |( ~! M: }4 [! ePn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
  P* v& z! ]  g0 w4 o' K3 ^4 B其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
1 L% {, Z/ Q: `5 ^5 G" N这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
, A1 K8 j" b" E! o$ D7 T+ T2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
( w/ ]/ E& D1 K1 t2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
/ X& x! |3 V# K3 _& y. Y即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
$ s/ q, J4 E3 G" ~+ w4 k! I在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
2 F/ @% _8 y. Q& ]- k  j代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
7 A3 @* F( z/ K) `* e  S又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
8 B. |% }) `6 B) u9 V, w代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
, U5 q: d, w  @! s$ v4 Y( M从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
* X# {! n$ e& d& Y4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
3 Q: g+ h3 B2 j- {( ]. k  [由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
/ J+ f  i. c- F9 a9 G  Y; p! g* O1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
6 e' s( T& `0 s9 u9 A8 I  `, J
! V" A. D" S  G, x4 M9 Z/ G; V得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
8 E+ ~. ]! O/ A% `/ N6 M% J4 V若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
) U; w5 [: ]3 s; W7 d/ V/ o; W在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
& }: _% v0 r- Z4 @1 y6 a) j（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
* A" a/ A/ L: k8 L$ y即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
! o3 b9 O9 ?2 p% J1 ^0 V% K3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
6 K$ b& k. P3 B$ K# c即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
5 }$ Y6 ?" V2 T; U1 Y例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
8 I, L4 W! S5 V% }, x# X2 l  E2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
1 {4 Q! [! N; T- p3 b2 M' ^7 uPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
: {; {# @( B' C+ O4 E) t' H因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
% n, ?4 Z+ x8 g  Y; L+ a  \则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
6 s* ~1 q7 ^: I5 G(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
% T& w' w- Z% `7 T然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
6 n( p* ?* ~. N1 n$ a+ ^已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
, |6 ]& r5 \4 Z" d& O" F; W' E1 QPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
+ `# K, S# [, jPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
8 s( e. X  b5 p1 I8 J* m三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
% R3 a1 x4 d1 |3 Q" _- g/ ~+ l1 O若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
% M. G9 a; X3 o若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
9 W9 @7 j7 Z& v5 Y3 h* |' q代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
3 g: n, E, A5 U或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
8 `( c# u/ ]' s8 k; p- t! y设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
# T' f. D( W4 m# A  l* C( C" i在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
  M) j2 F3 ~) E4 D4 @7 X+ M设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
8 J: S* }& S7 d若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
! [( k# G  a& S+ p1 F! \8 w得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
' n$ l3 [2 r0 ~' y* Y3 A8 G1 p即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
4 m. L2 V: [0 f8 S* a( ?; d2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
! \( t: \$ H$ \4 f: p, g5 I7 APn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
- ~. y% N) ^+ t6 G设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
# S# R% |, g! O（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
9 Q) W8 d3 a; V# X$ B* G" p. Y又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
: Y( l" v! s- APn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
) M0 M1 x4 t, G; |0 U1 c' n& o或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
. w6 d" w3 E2 X: Z7 _由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
( U( Y5 R: y. m: R2 L0 @) S: u. y（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
2 ]! _" k5 t( Z# E                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
# L& b) o; Z8 I得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
- F. ~7 E( J* R0 ~     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
- c' q% Z- K) c     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
: ?1 w. o, O. R: M! W' R    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
; C& j9 u: u6 c6 f3 k    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
2 U3 c) E5 k  T" I" |Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
$ j6 j0 t( {/ Y3 Y8 w      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
# L0 p; g' G  p3 j* I" S* y* d& I5 l（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
# d( u3 I% ~# W* B' k) u' X 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
+ x7 {0 l) D3 d* y* \7 s6 P3 d五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
$ J9 s% |4 [' L, C3 A                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
4 `6 a: U  e1 `& V                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
' m7 X( N6 i9 O( k$ P                                             =0+3+16+3=3+19
$ |: A  e- f. v8 ^# K                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
1 l0 ^0 a+ h8 b* e这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
% O4 d. O+ J& `/ e2 a8 bPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
1 p! P$ |; t$ ^3 z0 `/ K      =2+3+16+3=5+19
1 _9 l5 V8 b1 R' P& C4 U      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
- T5 l$ B+ u7 i( t- Y, e9 |' E# ^            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
! ^0 c& \. g$ }7 R4 Z1 [又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
% O" u" w  H2 \( Z# h4 ^& c+ q" _( L0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
3 ]$ g$ f3 l3 U; Z* W, f* v它们的偶数公由数分别为24，31对。
1 K: k7 I: G$ W0 Z2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
# Z9 p% v" N. M# Y3 m" o                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
. d1 h( I. \8 ?) @: d/ v! K: o2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
" G3 \+ G2 h" A/ h. Z: R                                   =58+3+64+3=61+67
! g% S+ l! m; ]6 [& @综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
7 I0 m7 y8 c/ B, I& w, O2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
( o/ K0 J* Q5 i5 P1 H                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
# x& T$ N8 W8 S即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
* C  W0 c6 ~+ b(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
4 g3 S4 a& @% g, G: s      Pn’=2n+6-(2n’+3)
0 u6 i2 D) L5 W. C0 {- b      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
9 d% ^1 V& F' M7 ~Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
4 g4 u) b; r+ |, k- V  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
+ d. S; X1 R! I: m- y  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
" x; E+ t- \( U/ e( C- z  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  Z, B& @/ Y; Q) m/ A5 o  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
% m. v. H! I* Y* G/ T  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
, B1 q6 h, G- y* ?( M' }2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
' H6 t9 r+ C) u, F5 o2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
3 I6 G: K9 L5 l( r9 P设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
3 |' \. L9 k' J5 `5 d即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
% N- e. n, @  G8 g! l, @, s已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
7 U2 J4 D/ ~1 N7 G" F) J   
, o. D% t/ j. f  p: C2 o- L2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
5 ~9 g/ Q; G7 Q/ X( n得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
% S( z. p5 u1 e# ?* APn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
3 }9 e5 @2 o$ ]8 \1 S7 P9 i 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
/ i: A* ~3 s/ A, S3 O( d1 ?Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
6 T: Y2 v4 s6 \$ T4 T, g" X  =Pn+0，2，4，6……
7 Y( I/ T& z- o; Q* J* J! k, }已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
9 O& ]2 H4 y% n( P则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
7 Z7 s  `6 U: u( q. e即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
/ }; L9 u5 o; i' G1 @+ d换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
2 t# Y5 b1 D* u# K( f因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数
  K$ s9 V" \% Z' E$ {# H
+ m1 _5 Y# {* B, T7 U3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
; y7 ~( y2 D9 F. e设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
1 c: e! K9 Y1 ]7 a) b6 ]6 a     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
: k2 V3 h3 G$ V      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
. ?$ J6 O' f) Y$ X' U; C9 z      14       8        6         4        10      7        13          20
, T& ^5 U% Y' }2 Z, T: K" G7 u% w9 S      16       16       0         8        8       11       11          22
4 v$ S  [* z0 h6 }) l& X* O1 {     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
2 I8 v% m: q, C- |$ ~; @     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
" m# n) i- m  {     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
: `0 q1 \) m3 T0 h+ E9 L3 }9 |* I, Y9 u1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
& y, T3 L3 k8 |8 _2 G(3)，它们的分布是不规则的
# O( L' u+ ^7 c5 F6 e7 r6 O/ O由上述三个特征得到三个定理（见注2）
* H9 K+ r5 z) Z即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
% I% ?4 V7 C3 b) p③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
4 h2 L0 p6 n8 `5 v1 @* J ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
5 s) U: x, U  z! V3 `3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
+ X& V+ V& E$ E# i% J注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
7 A, A1 p4 [6 P( ]  T7 @公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
  Y) [' N1 c5 h; Z" ~# e, W% U公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
. A8 h" I1 S! c1 ^如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
! j1 ]& B  n! n* G, @又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
, w: e* b% s# V, g; e! D, @０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
7 u3 Y& B9 ?9 C1 O9 u5 ]8 z2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
- _6 u+ N% e( `2 b& uPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
: P3 s. B5 ]/ A! Q由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
: n/ H0 I' {/ G' eM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
$ t7 A- m! z/ U1 U  V/ N则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
& c1 w8 _# l( M8 J& n2 y' {0 P得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
: z3 L& r+ i' y. G" p$ k例
pn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
+ N- L3 Y9 N  S1 v# e$ g+ m1 f1 ~M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
$ P$ f4 j" `* }  n% W% G+ I- J2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
: \% |7 X; ?0 f) e5 H/ s) @即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
( m2 C+ H3 J2 G9 F  U: l1 \$ x" LPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
* O$ j2 [! r' ]+ C# d$ kM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
* o5 U2 \! ~4 b) I( Q# I2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
6 \+ i9 g% p5 Q8 A3 u/ `2n’        0        2        0        2        8        6
( `! A. W) r; ]. Y, ^n’        0        1        0        1        4        3
8 x0 l: X( X1 _Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
0 m1 m) V1 E+ L# w7 J) C7 p                                          3+5=1+2+3+2=4+4
* M5 `$ f8 S8 o1 T& D                                          5+5=3+2+3+2=4+6
% j: p* l! |# O* E5+7=3+2+5+2=4+8
$ g# M# J1 g$ q8 m) a* i: y# V7+7=5+2+5+2=4+10
+ @, ?( ?( d# e8 e59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
' D0 x+ T1 ^. a在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
; P4 T- e% ?$ ?  D; A2 B: J7 D当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
/ S6 G4 Y- i. u! s8 K/ n0 _! [1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
9 J4 j1 `% F. o# Z7 Y- h =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
1 n: a, Z& |2 i/ t =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
: O# F# s$ L1 I8 P        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
' C3 r5 ?. a0 E7 T6 W( ~0 v籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
% w& l% V( v( r3 k: x/ _
5 r# i8 }: O, L9 C( d5 C: y- _

, j% [" }# ]* L# c( N4 X

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
即Pn=2n’+3
是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
" Q7 y; |2 w3 ]4 O$ W即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
# Y8 t$ j; W7 I' }$ L即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
2n’’
使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
- Q0 p2 h$ b1 U2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
: y1 n1 Z6 M7 J由上证得Pn=2n’+3
Pn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
# ~- u! X. n# h. b