哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
/ n  {% H- F7 M: E6 K! c; n1、质数表示式的由来
  f* x$ V. x8 }/ w. u已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
# ?1 X: A8 q* h. v- }- V/ d: M. s将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
6 B8 t* @5 W4 b8 \以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
0 t2 I' y# w& U8 C则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
. r  Y7 ]% d* K( c/ v5 k将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
, p: L! T# g0 Y" u" c* z" @" Z 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
; }2 K' ^- d6 W9 n: i, j2 E) c  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
9 |, z5 M/ Y0 l2 R! q% e. \设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
) I8 K4 G$ y9 A- p, j& ?. z9 a3 z根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
, q  b& [' F  o. [用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
' _/ L! n4 R  x. u- B0 t; c4 lPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
8 x' \. U! i9 L6 v: D; W. |这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
5 [* a9 m' q; d- X9 R; v/ g即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
: h- r  @+ q2 [0 I& R3 }/ G6 |2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
/ D" t; ^1 M9 s2 Q# @) |8 g6 d2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
* S' v7 s6 p7 B3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
4 o: i' e1 w1 ^# E* H7 f& q: D: ?4 y在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
! `/ e+ n0 S; p- f即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
( v3 b1 P9 [& z. Z- P" @( ?7 D或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
/ u! K  p( y0 a8 R由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
' _, D: b+ c  W; x4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
" S4 H8 z* A  S* L0 J- u0 e由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
6 ?- i3 F  f: ?) R（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
  w  h2 I( M0 |& Y若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
3 r9 O; z9 H; U1 |9 y（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
; l5 d6 a! Q. V0 o9 s3 h2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
# e4 J# S0 Q; Q. K, x/ P即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
4 p, Q! f4 ?& t! b8 H设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
/ {3 C* J  a+ S1 b3 t2 `/ @+ j5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
8 S7 j& G/ y" D4 r例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
) |. b2 C. D0 h9 V; Y2 x7 U2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
' Q) [6 e$ F' c% P) e4 _1 WM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
. s" Q8 X0 E: B  GPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
  \3 ]2 |1 x% i4 ^6 _Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
* Y) Q% r2 C" k+ a2 V9 qPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
+ y( `: o. x9 E* w7 d
6 `! f* z8 o5 l4 f, p由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
1 o6 t3 b2 f: U/ }" {) j根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
( ~( }2 v8 z/ I/ Q6 g* n然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
2 o! P: v" N. L2 B9 A+ X9 m已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
4 w( ^( `3 A1 O$ K6 u& @) f三，也可以这样证明
) t5 \6 V, a3 U6 ^( m1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
* ~  n/ e0 G1 d; a$ M% r设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
2 Y, T% i1 v  q3 b若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
) Z# j, Q6 v+ u7 q  O或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
$ \& }1 h' \. ~0 BPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
( ]* d! N, S/ P+ c代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
% z  w/ c( J8 y7 J或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
% I0 @  M4 @+ o. r由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
; g" @3 |4 @3 A: ?3 S5 e7 t当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
* {( u- {. k( J: X5 J+ M' _, q/ A设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
, n! [1 o$ k9 e3 X) c4 n5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
; J- }8 J5 W" O5 ?3 A代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
( c  G( d: v" e1 E+ m( ~或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
6 O  V: s* x% p4 S/ e即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
9 d5 V# L3 U: W! H  ]& X7 [9 L若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
9 z, O( W9 _# G, O  f% u) ^: ^若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
/ `) v  m) N0 K  R; e同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
) f7 S5 @" s1 W4 M; f即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
1 k. |5 w0 W# j( c: Dn为偶数2n=0,4,8,12……
# x8 ~/ n( w' ?$ |& t( s3 |: f4 s$ \2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2 E6 D  e% j; C2n’=0,2,4,6……偶数集
2 L' w" L/ S9 B; ^$ ?% in为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
" Z2 o1 i9 c7 N! ]. KPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
. A" _0 D4 \4 l1 _( `设  Pn=2  或        Pn=3
; {' I& |0 y7 U& o% h 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
  L. D! G8 M9 Y* A& K' M3 g% n四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
1 ~% C3 \  G  t# H4 Z+ L% c9 F; iPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
9 {$ Q. Z% t7 [) Y& ^Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
3 W4 D0 W! ~6 Q5 _& e" i# L由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
, n0 c: U- M. O# X- Q- R) M     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
8 R- d1 `; m* O! E  w     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
/ T; }8 {6 y! f, Q" w/ `; M# J1 f     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
* u8 E7 n9 }# L/ L+ [0 ~: v6 M    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
; _1 h' M1 j$ b0 q. n8 N3 _+ \; G    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
2 ^' t1 f/ L# O; s    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
" }+ J3 q2 B6 m8 y) p) S2 KPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
  _3 G! A- g! g5 x$ k) s0 T# c 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
; w$ C+ k9 h* u, i+ ]即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
  N* ?) r. w7 w  y+ o% D) c" _1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
' Y+ J* S: c3 E" p0 G; I                                             =0+3+8+3=3+11
% D7 K! `8 r) F8 P1 C: u" i                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
( v% i+ m! _2 {- r                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
( H1 k3 u- z' [9 @3 }5 h  `第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
# w6 W  \* D3 @# sPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
$ ~$ r! W- E0 P      =2+3+16+3=5+19
/ Y  Y2 M! _' I8 U0 ~: L      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
+ H! \# y4 b$ U2 y9 }* w2 ]            =4+3+28+3=7+31
+ x. j; O, ?+ j" ~8 X1 U# }3 {            =4+3+44+3=7+47
6 `1 W0 i4 ^5 v            =4+3+50+3=7+53
( C1 m- X1 a" Q8 F: J又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
+ I! d8 n6 @2 q* n! \0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
' k+ V' p; i) s* K0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
$ h) o9 ?. n& o( I                                           = 34+3+58+3=37+61
* _! B/ p2 ~1 H; m  v2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
6 m4 D5 d- Z% X+ `1 q! Y综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
6 D1 \7 ?* O& R: x                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
* u/ X. g2 a' i2 M1 @0 U$ O                                                   =n+3
9 S* Y; Z, s2 j! `9 @# ]% j                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
9 M# c, s: m7 [" n7 l0 D- A7 i2，质数表示式的证明
7 t) B9 z& k  X( |, G(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
1 ^4 a( R$ {) F4 [& q' e设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
6 @. x1 G/ i2 w      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
5 M" ?) w2 k+ j4 E6 j1 X% F0 r' H又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
" K" X7 x$ U7 y: w' r2 C& _2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
- ~( E! x' ~0 U# Z& ], O/ J2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
' M' j- A+ B* S2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
- B# m* b3 @, z% C* q$ J  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
+ g; W) }! O2 t! ~3 x  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
0 W" Z! A& \$ A8 O2 n6 W* {0 O  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
* r+ c# i2 [( sPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
0 O5 ~" m8 c0 r( Y7 q! U( z2n=4n’+2n’’’ ……（3）
; {- C* h: y2 X" F, i; _①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
+ m! u- L' T# h2 Y, Z- q! W3 M2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
6 E. K; y; m# O8 q②解方程的步骤
( O" y$ Y% b1 d+ H' Y5 l3 U1 g设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
6 v8 x9 M0 P0 n! ]. d$ b& o* g) s即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
$ s% x9 M  c7 a: V& G# X已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
, v% q7 Y4 ~6 V0 u得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
3 d) x' B& I/ h, U' TPn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
  x. d4 {8 X$ p/ r) d即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
. p9 `, ^; n3 B' ^* M  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
! ?& y; ]" r) M' G9 w则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
6 W% v' [) E; z) ^( O6 r即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
* g1 _8 \9 N, ?换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

3 用数字来检验质数表示式的成立
, J% l8 R3 D+ l已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
" N+ z8 b* z% w) q! \设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
' V0 @" J* m0 q   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
8 y5 I, N+ m" d1 ]5 v2 j      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
- r/ [; w& y' G  ?; q      16       16       0         8        8       11       11          22
$ b! }. o& D0 t3 r8 C, e& \     18        16      2         8       10        11        13         24
0 J1 O1 h6 s9 f% T     20        20      0         10      10        13        13         26
8 |( E( b- n* @4 q2 j5 G, \7 ?- C     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
) C# d0 T# F( Z5 o4 I' V$ Q     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
2 u2 h  q( F" t  R) D六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
& |% B# x, K+ p1 |0 ?; K) p1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
# z- J4 l% D  R; C) b由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
$ N( E$ ~3 i; h" d2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
/ h3 ?$ l! Y5 w2 ^ ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
& d! b4 w# p& p3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
- {  ~% M) Y0 w鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
1 }6 K; K( d0 I9 i- I" g0 U公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
5 S* l8 B! E: p- _3 }$ O公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
$ @* }7 J0 J4 `! C! k9 K如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
+ V. r( P/ V) `  ~8 N5 j; n这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
4 o) G6 G9 J( M1 O因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
) }3 S$ T6 v+ P1 g' `4 J, }  q   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
. Q% d* j3 T! m0 \9 {注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
( K$ t/ V* p, V0 H- e/ n- j; b则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
4 g3 G, {. d) U3 e- U. ?8 H" w" t/ r5 L* o即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
& y  E7 j5 F: p8 p- g; ^由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
# e# ^9 c6 s" I$ O; DM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
: ]/ `* ?9 g( _  g' }9 Q( D. {例
pn        3        3        5        5        59        61
4 f8 a! t1 p# g% t4 A
Pn’        3        5        5        7        67        67
# F; C, k$ t6 d  g# k2n’        0        2        0        2        8        6
0 v; O4 x5 D) U3 C1 X& e9 j2 ?n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
- t$ `! B* N! {7 ?即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
- s2 N9 g: k) Y; ~: x2 L) Q9 r2n’        0        2        0        2        8        6
- m. Z) e/ w7 vn’        0        1        0        1        4        3
6 r% s4 I6 t7 h/ ^0 @Pn        3        3        5        5        59        61
0 ~8 o: S- t) y+ T( [! x; d$ VPn’        3        5        5        7        67        67
( ^, w* E/ q/ T6 w" p
2 K( w+ n: Z; B6 ?注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
/ r, y, P, E* |1 a0 n& n                                          3+5=1+2+3+2=4+4
7 M+ X7 V& I0 m4 ^! |+ G                                          5+5=3+2+3+2=4+6
9 M! P" P" g9 R9 ]2 ?# `: b  P5+7=3+2+5+2=4+8
8 r* R+ r6 X( N% v+ S7+7=5+2+5+2=4+10
. x( y" c7 T! u( {/ S: m59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
" j, ]0 K; m- k# M当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
! V5 o$ H" c) ^1 h' D若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
+ K% q0 O& d! I8 E1 E; P% i即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
+ ~# g/ i( Z) D. d. U( D; u, s5 |  n笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
2 v8 c8 R$ j: V6 ]# p0 w& b/ I邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
/ K9 J: c1 E: T0 W& A籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府

) K) T( a$ O2 U
2 g' P% k5 ^5 H7 S9 n" P: T- b# t

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
; M; \2 x. Q4 s2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
6 {: @/ ?. t- \5 g' C/ B即Pn=2n’+3
3 F! i5 U3 S7 q4 I是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
* C3 u# O0 w, h' u即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
. K# X0 n; i9 ^# g' ]  G# n2n’’
& b6 j- P  u# R# A  s使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
已知Pn=2n’+3
, O& f1 W5 C$ Q8 e( UPn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
; k& _5 W+ p" g: O得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
4 b  D! g: f, s! |7 u$ ~& z7 x2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
+ Q! f$ T/ n3 a) T9 p& J$ p又已知 2n=2n’+2n’’
代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
! t, B) S/ i, i8 \Pn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
. F8 Y/ P' y4 l) D, O5 B