请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
' _4 r' I& q# C现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
5 Z6 N. n8 h) `# W8 t" V' G- v) W    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
) M7 r3 r3 N" h9 _; ?为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
# r  W- s( l- j" `% Y) W    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
$ N) s- p6 |. p0 v6 D! p; ^    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
2 d7 n) l$ d0 Y" w3 P# _! }. O$ @    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
1 k3 h: V- D" _7 {' b总电荷为
" i2 I3 M. c: e. M% L) e                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
, R% G  r& ?/ Z7 |% ?$ M2 s8 R不可避免集。
! a0 J* r8 z5 h; t; W6 V7 [[证毕]
8 M8 @7 a, h" B
1 |/ |: r/ ^' _# B# _! V    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
头“考虑K=7”有问题了。
9 [) S/ ~: {( o1 ^    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
' [+ I* \  |, {$ T    把k=7带入(36-5K)/6时，得
5 `( L. }; N7 |: X$ X    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
7 ^, X2 Q2 m" \! p6 Z% N' v+ a: m才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
) q* _4 E. h3 ~或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
4 T! @  W% G# p; [' P7 P& E3 J& N因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
0 Y7 z8 m) z0 K8 k的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
& h: O- ]; F% L; T1 }$ J- X" z   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
4 a  V; @+ w* s1 T  u. d6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
0 m: [) z3 S. f! l+ [沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
7 S3 p4 u2 Q9 b) Z避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
5 Q) X7 ]9 f. v* ~' K

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~