请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
3 h, c7 C5 D! k5 I' L定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
3 M; z5 `; Q# ^/ R( o1 F9 \3 A    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
! t& h8 I1 Y; V1 l. J2 O! C. E% p    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
4 [. d, H1 q* v& |. O6 _9 y' m    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
3 v0 r) r) }+ i5 E  R& A总电荷为
) m8 o1 U- O0 }5 j1 w3 ]                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
; r' H% X9 x' p  T  [4 t3 W% _' K5 V于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
$ j* U7 f5 ~6 v/ U[证毕]

$ i+ H. b3 v9 \( }    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
. n  }- {8 n2 O. \    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
! U# v/ K. @! H头“考虑K=7”有问题了。
, E) |: L. t2 m& K0 f    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
1 M4 c9 u+ @+ b& G      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
( s  _6 t. n+ O$ m  f# L    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
: s7 ?6 Y( t6 V0 r- v2 D# O, D因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
" ]# T- r2 h5 r6 t+ ~& v    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
$ L9 W( {+ k( l2 {2 X的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
- G$ [1 Z+ ], I   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
- g4 {( z" b! X% ~. ?   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
# G$ q$ Q4 p; y7 p: F   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
# }+ e3 T; i6 |  M; N( L# x6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
. p3 I6 _3 s: f! X沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
. a4 |" X( F2 c7 i1 B    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]

7 q+ V: N: f  V- o
  F1 \7 Z* U+ n

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~