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请教王树禾教授

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张彧典        

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    [LV.2]偶尔看看I

    自我介绍
    从1979年开始,潜心研究世界数学名题四色问题的人工证明,去年由科学出版社出版了《四色问题探秘》小册子。

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    1#
    发表于 2014-5-31 12:02 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    王树禾教授在他的《图论》(2004年出版)第99-100页中,有定理5.6的证明,9 A/ \6 i% S# b1 W7 v" `, A& K& `
    现在转载如下:

    3 h, c7 C5 D! k5 I' L定理5.6 (Wernicke 1904){5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    3 M; z5 `; Q# ^/ R( o1 F9 \3 A
        证明:令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定,开始时K次顶所带电荷1 {7 G9 l& i# J3 ^5 O2 v
    为6-K,由定理5.5,T上各顶总电荷为 ∑(6-K)Pk=12,其中Pk是k次顶的数目,,而K≥5.
    # {8 n6 o/ A8 l: l
                                                    k " l( j9 Z9 ]& V1 F6 S
        把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    ! t& h8 I1 Y; V1 l. J2 O! C. E% p    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象,每个5次顶必有5个开始带负电荷, E! V5 |7 ^" I& q4 w
    的相邻顶,即5次顶与7次以上的顶相邻,最后5次顶上的电荷变成0.

    4 [. d, H1 q* v& |. O6 _9 y' m    考虑K≥7的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
    3 v0 r) r) }+ i5 E  R& A总电荷为
    ) m8 o1 U- O0 }5 j1 w3 ]                  (6-K)+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,     【我把这个算式记为(1)】
    ; r' H% X9 x' p  T  [4 t3 W% _' K5 V于是T上的总电荷量是负的,不是12,矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是6 x6 `" g5 f: g% c. U: J
    不可避免集。
    $ j* U7 f5 ~6 v/ U[证毕]+ B$ o+ w- g* U  e

    $ i+ H. b3 v9 \( }    在以上证明中我们发现, (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,

    . n  }- {8 n2 O. \    如果(1)式中的分母都是5的话,(1)式应该是4 t  p* z# }5 A) m- g/ F
          (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ,只有当K大于7时才有(1)< 0,这又表明开
    ! U# v/ K. @! H头“考虑K=7”有问题了。
    , E) |: L. t2 m& K0 f    [ 野花回复:应该是 k/6 ,]
    1 M4 c9 u+ @+ b& G      如果确定是k/6,那么(1)式为 ' t* [  \8 C, b
       (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,其中% A' L8 I' z7 ?9 i& G7 r9 v$ K
        把k=7带入(36-5K)/6时,得
    ( s  _6 t. n+ O$ m  f# L    ( 36-5x7)/6=1/6>0,显然与(1)式的值小于0矛盾,所以说明开头所设应该为k>7$ J5 o% R5 r5 T+ F* l+ C# b
    才对。但是这样一来,定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
      z: d/ Z6 d( G/ b- c' }$ {3 z' s
    4 _1 ~3 p& w' c9 P7 p
        那么(1)式究竟是什么样呢?是不是:3 _$ S, J( y8 m* `& x) I4 Y& {0 w! H
         (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  (1-1)' Q6 a5 {1 |( R% M, C5 r
    或者6 J% W6 F3 {$ U# `
        (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1, (1-2)
    : s7 ?6 Y( t6 V0 r- v2 D# O, D因为只有在这两种情形下,所设K≥7才有意义。
    " ]# T- r2 h5 r6 t+ ~& v    如果千真万确 是
    (1-1) 或者(1-2)  的话,对于(1)式,我们可以仿照证明定理5.6的思路:! w% G' G, a9 G
        考虑K≥6的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
    $ L9 W( {+ k( l2 {2 X的总电荷为
    , k" r5 e( G; ?7 t. M- Y' L1 F
                (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
    - G$ [1 Z+ ], I   或者
       (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1,
    - g4 {( z" b! X% ~. ?   于是T上的总电荷量< 2 ,不是12,矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
    # G$ q$ Q4 p; y7 p: F   这是因为,比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明,只是前者比后者多考虑了K=6的情形,由于
    # }+ e3 T; i6 |  M; N( L# x6次顶是中性的,它既不需要发出电荷,也不需要吸收电荷,所以可以完全不考虑它的存在,即没有( e, r0 g9 m+ }0 ]7 Q3 e" s( u
    必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
    5 M4 g- g" E* ^9 A/ A" |" B
         如果这个仿照证明成立的话,就说明我在《数学学习与研究》2011(21)发表的《与阿
    . p3 I6 _3 s: f! X沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。(在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可+ h$ {4 `4 |& ]6 A9 S1 I
    避免构形的简化》中有所修改)。

    . a4 |" X( F2 c7 i1 B    我的认识对不对,请王教授指导.% `: f" |+ d, x, m5 y2 M
                                                                         2014.04。09& Y! t5 y1 U, S* x7 p% E
       [野花回复:从这段内容看,此教材太差劲了!!!] : C7 {7 f( ?$ l" F

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