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请教王树禾教授

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张彧典        

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    [LV.2]偶尔看看I

    自我介绍
    从1979年开始,潜心研究世界数学名题四色问题的人工证明,去年由科学出版社出版了《四色问题探秘》小册子。

    群组学术交流A

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    1#
    发表于 2014-5-31 12:02 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    王树禾教授在他的《图论》(2004年出版)第99-100页中,有定理5.6的证明,
    ' _4 r' I& q# C现在转载如下:
    % L% B, Y$ m" n  P; e2 M
    定理5.6 (Wernicke 1904){5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    5 Z6 N. n8 h) `# W8 t" V' G- v) W
        证明:令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定,开始时K次顶所带电荷
    ) M7 r3 r3 N" h9 _; ?为6-K,由定理5.5,T上各顶总电荷为 ∑(6-K)Pk=12,其中Pk是k次顶的数目,,而K≥5.
    ' e! ?' b/ I! D3 h$ `; J5 @, G3 {
                                                    k
    # r  W- s( l- j" `% Y) W    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    $ N) s- p6 |. p0 v6 D! p; ^    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象,每个5次顶必有5个开始带负电荷1 I! Z: w+ c) @* o  L* q% U
    的相邻顶,即5次顶与7次以上的顶相邻,最后5次顶上的电荷变成0.

    2 d7 n) l$ d0 Y" w3 P# _! }. O$ @    考虑K≥7的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
    1 k3 h: V- D" _7 {' b总电荷为
    " i2 I3 M. c: e. M% L) e                  (6-K)+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,     【我把这个算式记为(1)】) T+ e5 G  O( }
    于是T上的总电荷量是负的,不是12,矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
    , R% G  r& ?/ Z7 |% ?$ M2 s8 R不可避免集。
    ! a0 J* r8 z5 h; t; W6 V7 [[证毕]
    8 M8 @7 a, h" B
    1 |/ |: r/ ^' _# B# _! V    在以上证明中我们发现, (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,
    7 ?/ y. u# M2 g% b" m: c
        如果(1)式中的分母都是5的话,(1)式应该是8 f8 @& f# U' F
          (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ,只有当K大于7时才有(1)< 0,这又表明开! N+ \' D6 H; V: e1 k) U
    头“考虑K=7”有问题了。
    9 [) S/ ~: {( o1 ^    [ 野花回复:应该是 k/6 ,]& e4 s* D! z. A0 c9 P
          如果确定是k/6,那么(1)式为 5 T$ c( ]; Y$ T1 [/ N; T% Q# y
       (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,其中
    ' [+ I* \  |, {$ T    把k=7带入(36-5K)/6时,得
    5 `( L. }; N7 |: X$ X    ( 36-5x7)/6=1/6>0,显然与(1)式的值小于0矛盾,所以说明开头所设应该为k>7
    7 ^, X2 Q2 m" \! p6 Z% N' v+ a: m才对。但是这样一来,定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
    ' S- `; ^& U" k* r1 f# _# ~' x
    / \( f  n, F/ c. P% B& S+ ^$ u2 Y
        那么(1)式究竟是什么样呢?是不是:- l- F- X5 f! }9 }
         (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  (1-1)
    ) q* _4 E. h3 ~或者' k; [; Y! w; @8 }# T+ Q! {. I- D
        (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1, (1-2)
    4 T! @  W% G# p; [' P7 P& E3 J& N因为只有在这两种情形下,所设K≥7才有意义。 . ]0 s+ O, Z; r* o% B1 a
        如果千真万确 是
    (1-1) 或者(1-2)  的话,对于(1)式,我们可以仿照证明定理5.6的思路:% t0 D0 a, t7 R% r/ l& z
        考虑K≥6的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
    0 Y7 z8 m) z0 K8 k的总电荷为
    * A0 C$ D4 ]% Q) {7 j% |- |
                (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   ' t! ?( r# E: p3 J
       或者
       (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1,: F* ~6 q% \8 ?( B, b& U% m
       于是T上的总电荷量< 2 ,不是12,矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
    & h: O- ]; F% L; T1 }$ J- X" z   这是因为,比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明,只是前者比后者多考虑了K=6的情形,由于
    4 a  V; @+ w* s1 T  u. d6次顶是中性的,它既不需要发出电荷,也不需要吸收电荷,所以可以完全不考虑它的存在,即没有$ L0 u' b/ B( D" _& [2 q- e
    必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
    * j8 v! D. p9 E- o$ ?
         如果这个仿照证明成立的话,就说明我在《数学学习与研究》2011(21)发表的《与阿
    0 m: [) z3 S. f! l+ [沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。(在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
    7 S3 p4 u2 Q9 b) Z避免构形的简化》中有所修改)。
      Z6 O! W) V7 [' ~. ?
        我的认识对不对,请王教授指导.7 Y4 ~2 E% [& v, I. E
                                                                         2014.04。09* w- {# P) V& S( G- j6 i
       [野花回复:从这段内容看,此教材太差劲了!!!]
    5 Q) X7 ]9 f. v* ~' K. t7 m$ U$ Y* x
    8 t8 j) D1 B# z0 i" z% h
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