请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
$ S) V1 A" ?6 d/ W1 a" b现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
' s. q$ v' L) N! Y  p' N    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
3 L- ~" V, d7 Q$ t5 V不可避免集。
& I8 H- `0 @! C3 R[证毕]
- a) e/ P% L; k" x- ]/ t
- v( z: @; r0 d    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
8 N3 y1 H4 ~+ K7 c4 q    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
* i. m, W0 @5 j$ ~      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
头“考虑K=7”有问题了。
    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
: K/ [! |. d. |) l8 Q      如果确定是k/6,那么（1）式为
1 F$ E7 ^6 X' M' K   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
% I) m# X% P6 ?' |8 o
9 Z; o  ~2 Q1 J; T2 t/ X    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
7 l. N* t# X/ s3 g或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
; @2 ?" z, l$ h/ N" ~7 s& D    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
$ _  l) @9 p0 I, S+ H! C    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
% `; {8 M; f8 W3 ]. |# x的总电荷为
9 T& `6 T' K! B1 B            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
! G' v7 B( ~7 i& T& G   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
) @1 U  }5 q1 s8 {' o( b. U1 M   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
4 k5 K7 _9 G- P- T6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
* u! n! a$ i( t" Q9 b0 n必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
. H$ @: D) q8 O* z: W    我的认识对不对，请王教授指导.
3 b# ~( g' K1 d+ |                                                                     2014.04。09
* a. g& w& c5 b0 P3 ^4 V$ l: K   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~