请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
: U* {% h# L  k8 t定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
  Z) v+ C# P7 S, u* u( t' S5 l    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
% f, U- j0 y# k0 x' u9 a0 S为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
9 ?$ u; |7 L( S5 q" J$ j+ ^9 U                                                k
7 v2 p! ~4 E1 B: E4 f& v9 q    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
# K/ z- s: _. P( w& o7 D7 b的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
2 i1 B5 ?) r' u1 w: p                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
[证毕]

    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
1 |5 e( y! [7 F+ v8 y) D    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
头“考虑K=7”有问题了。
    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
+ q, f0 C8 ~+ V2 L      如果确定是k/6,那么（1）式为
' y/ Q* R- |# C& j4 h   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
2 S* Y' ~$ t$ B5 `: `! B, j    把k=7带入(36-5K)/6时，得
: D6 e, h8 T; Y. X3 i    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
+ C. U$ \; x$ N( Z: U4 f& p     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
) h# W0 f& ~" C* H- A$ M1 z或者
; H7 U, S+ [: [' d1 ?    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
- A  ~2 {) A$ P7 l& g0 a/ y因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
$ c" W9 r+ V) R- U6 p    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
# S# }% }9 a; {( Z4 |  X的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
2 ]9 P0 c2 w2 a9 Q  \   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
6 p2 A: n: l$ b4 y" f8 @3 A     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
# u/ B6 h9 b5 b5 A. A    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]


9 b: M- s  I+ O) [( n8 w0 b& Q

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~