请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
1 G" _# m5 }+ B  x. e2 W现在转载如下：
3 M4 I" u9 @- c9 _0 s$ o7 q定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
- P# E! q! u4 s8 b为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
" P8 M7 U7 m* M7 Y% z5 F% d                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
, i) i' J2 p. q5 V9 e" a    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
: n) _9 w3 D. T* q) V的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
4 F" d  I6 ~9 s/ ^9 Z    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
7 P3 ]$ A, E8 ?4 C8 l总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
$ x  V+ L- Z0 m4 @" h3 c不可避免集。
2 K5 i$ \0 a- ]9 T( m" V0 z4 l& G[证毕]

    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
2 y2 n8 i- w, W  l! ^9 w      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
头“考虑K=7”有问题了。
1 a3 h) X$ D; `5 Z1 y( j: V    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
1 d0 Q2 h# ?/ ^, ~5 w      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
; N3 k0 B4 b# T& s" h1 O. n4 ]    把k=7带入(36-5K)/6时，得
- ^( ?3 F; y( H) L    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
6 d& e4 a: q! I& x8 y0 G才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

0 W% P1 L- O4 l5 ~8 ^/ h; |& G    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
/ k) |4 b/ o4 u9 i     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
/ T  }0 s% ~$ G: x" q或者
* N" [4 H7 M9 t5 Y# W" Q  s( {    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
2 o" S9 |' h$ b  w# x因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
7 q1 q5 ~4 [, m5 E    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
, e. Y& ^+ z! K    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
+ Q- x9 l7 D( q* w- M/ v  [% ~! I的总电荷为
' _1 W  C0 X# I" K            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
9 @! q1 H: c8 q) T$ r( K   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
7 R/ L2 O* U; \3 I' O2 x% Z4 l   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
) D& S- ^; S+ |) \( C9 Q4 B必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
* l& p9 X! ?+ W# {; z" L     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
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山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~