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请教王树禾教授

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张彧典        

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    [LV.2]偶尔看看I

    自我介绍
    从1979年开始,潜心研究世界数学名题四色问题的人工证明,去年由科学出版社出版了《四色问题探秘》小册子。

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    1#
    发表于 2014-5-31 12:02 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    王树禾教授在他的《图论》(2004年出版)第99-100页中,有定理5.6的证明,
    1 G" _# m5 }+ B  x. e2 W现在转载如下:

    3 M4 I" u9 @- c9 _0 s$ o7 q定理5.6 (Wernicke 1904){5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。6 D+ y$ t! f4 @
        证明:令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定,开始时K次顶所带电荷
    - P# E! q! u4 s8 b为6-K,由定理5.5,T上各顶总电荷为 ∑(6-K)Pk=12,其中Pk是k次顶的数目,,而K≥5.

    " P8 M7 U7 m* M7 Y% z5 F% d                                                k 0 p1 U9 I% o# W- J/ A
        把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    , i) i' J2 p. q5 V9 e" a    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象,每个5次顶必有5个开始带负电荷
    : n) _9 w3 D. T* q) V的相邻顶,即5次顶与7次以上的顶相邻,最后5次顶上的电荷变成0.

    4 F" d  I6 ~9 s/ ^9 Z    考虑K≥7的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
    7 P3 ]$ A, E8 ?4 C8 l总电荷为5 p) |; F4 B8 K4 o2 l
                      (6-K)+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,     【我把这个算式记为(1)】2 n9 X! s8 G0 c# X) O8 d. q
    于是T上的总电荷量是负的,不是12,矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
    $ x  V+ L- Z0 m4 @" h3 c不可避免集。
    2 K5 i$ \0 a- ]9 T( m" V0 z4 l& G[证毕]7 H% `' H) s2 t" S% v  e
    % v" l7 ~6 T" o9 `- l9 k- F$ k" K
        在以上证明中我们发现, (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,
    % g: u$ J) J3 l  Q2 T2 D! r* D% N
        如果(1)式中的分母都是5的话,(1)式应该是
    2 y2 n8 i- w, W  l! ^9 w      (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ,只有当K大于7时才有(1)< 0,这又表明开" K# w  A+ W2 {% {& B2 E8 b- L8 t. n
    头“考虑K=7”有问题了。
    1 a3 h) X$ D; `5 Z1 y( j: V    [ 野花回复:应该是 k/6 ,]
    1 d0 Q2 h# ?/ ^, ~5 w      如果确定是k/6,那么(1)式为 3 R( U1 [' H  w# h
       (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,其中
    ; N3 k0 B4 b# T& s" h1 O. n4 ]    把k=7带入(36-5K)/6时,得
    - ^( ?3 F; y( H) L    ( 36-5x7)/6=1/6>0,显然与(1)式的值小于0矛盾,所以说明开头所设应该为k>7
    6 d& e4 a: q! I& x8 y0 G才对。但是这样一来,定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
    4 T& Y% @' f9 O, F0 [2 S" X) X& M" Q

    0 W% P1 L- O4 l5 ~8 ^/ h; |& G    那么(1)式究竟是什么样呢?是不是:
    / k) |4 b/ o4 u9 i     (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  (1-1)
    / T  }0 s% ~$ G: x" q或者
    * N" [4 H7 M9 t5 Y# W" Q  s( {    (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1, (1-2)
    2 o" S9 |' h$ b  w# x因为只有在这两种情形下,所设K≥7才有意义。
    7 q1 q5 ~4 [, m5 E    如果千真万确 是
    (1-1) 或者(1-2)  的话,对于(1)式,我们可以仿照证明定理5.6的思路:
    , e. Y& ^+ z! K    考虑K≥6的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
    + Q- x9 l7 D( q* w- M/ v  [% ~! I的总电荷为

    ' _1 W  C0 X# I" K            (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
    9 @! q1 H: c8 q) T$ r( K   或者
       (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1,
    7 R/ L2 O* U; \3 I' O2 x% Z4 l   于是T上的总电荷量< 2 ,不是12,矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。/ V6 L8 x' `" \- x
       这是因为,比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明,只是前者比后者多考虑了K=6的情形,由于: u: E$ ]' p# j
    6次顶是中性的,它既不需要发出电荷,也不需要吸收电荷,所以可以完全不考虑它的存在,即没有
    ) D& S- ^; S+ |) \( C9 Q4 B必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。

    * l& p9 X! ?+ W# {; z" L     如果这个仿照证明成立的话,就说明我在《数学学习与研究》2011(21)发表的《与阿1 X- ~* d7 f( ^0 ]
    沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。(在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可& J7 L4 z- j* L8 G% v% {
    避免构形的简化》中有所修改)。
    4 k9 ?" U: U/ `% _( |* ~9 D
        我的认识对不对,请王教授指导.3 t  g7 f7 B! d. K: S8 ]. R& D
                                                                         2014.04。09% I: c' E$ D" Q$ t: _
       [野花回复:从这段内容看,此教材太差劲了!!!]
    9 q* F9 P- U9 P: o1 |8 a7 _3 |3 i: W/ l% u- p
    / C! |; e7 w9 \( c* s1 W* W% C% N
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