请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
4 ^( b; e3 i: O, N; c' e0 H现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
" e! m9 O9 M1 M1 |3 n# {- Z  \    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
0 a: K' f1 G$ b% ~% b* s, v1 k为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
! Z2 e: o9 e- d                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
0 @1 q; U) d% X2 M1 x的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
3 f' |& m0 D9 v    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
6 O* V: U' B' r9 [' d- t总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
/ r6 j$ k3 M, @* @% c) v* j! _[证毕]
) y- \% z: f. m. n
, N' s7 i  V7 h5 G) g    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
/ Q6 e" i  i0 b% e' G9 [      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
, S! }( J, r7 f2 m3 @/ m  H头“考虑K=7”有问题了。
! z0 V  n0 g# p$ L    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
, x8 f4 B2 R2 ~" [5 ?      如果确定是k/6,那么（1）式为
& O' t8 ]5 \3 U7 x6 [- d* c: I6 [2 u- f   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
0 n) E" x  \# L    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
5 G. S0 ?3 e: ~' j. ~8 w3 A+ ?8 G才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
3 n% `/ H/ [: t4 l    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
7 D' d/ E( y) J" ?: X            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
6 t5 p# _0 _% I( W% u   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
! e8 M3 H7 M& z. X& L6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
: u. Z' x! j. ^( ]. x1 F     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
# H, g: s' ^* T5 i% c2 j8 ~: ^避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
' G# s' i3 m5 u0 W% c                                                                     2014.04。09
- v, ^0 b$ ]$ q) `  E- g- D   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]

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山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~