高考生源预测

775128646

预测2013年山东省高考生源状况
摘要
9 }0 _, i- h2 u. T6 M2 s        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
. \+ ^4 q: n- i8 [/ x( M2 z        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
+ m# K/ k5 ~: H3 W        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
9 D) p- q, ?4 }3 V) F4 I       
       
7 f% t! a, f7 R* {) Q- k- s       
/ V2 C& B: Y, v       
1 k  s8 g; q4 l, n4 ]6 D       
       
& b8 U, A' j5 s( d9 [
: p/ r2 j1 x7 E+ i" Z1 u       
* F* Q: a3 l) m% @       
" |  @, Z& K# P& x: A        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
/ ]1 w5 K, i. S% o5 ^: M1 _       
       
9 W  {3 M0 P" J1 n- F6 B* K       
: ^: d/ y5 I8 j' F! Q9 i
问题重述
4 Q6 d1 R- m; |- D) z    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
问题分析
        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
) z) v/ Y. A; ^$ p9 e        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
/ I' n9 W+ J* k  W2 I4 L表二所给数据为普通高中的数据。
, D( J0 s4 K, B3 z/ d/ x高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
0 O2 }  a. c7 \% ]$ |$ F( h- j9 z定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
, e( l2 W. \8 v$ H7 ]& ~" _：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
% J9 ]* M) n: c- d3 n：某一年高校招生人数；
：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
5.1 模型Ⅰ的建立及求解
1 o- ?3 }1 h8 \- C    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5 V3 M; l" }" y# y/ H5.1.1 模型Ⅰ的建立
* L) M3 `1 e! x8 I( f# Q        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
        （图1）
) o# B9 T0 `: b" {6 ?1 N) H$ _1 g         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
3 E* }" T! g% E9 Y5 f1 K        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
: K; U+ T9 i" W8 ]8 [        （图2）
        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
6 y$ j, T& ]: Y6 ^5 ]& I1 x5 X( r5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
. l1 h/ w! o+ \# W# ^        ；
7 {- c3 M0 ~& H. a; b; B. |        带入，得到：。
5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
+ C2 c, i; g7 }% I5.2.1 模型Ⅱ的建立
4 S/ P0 V( @, N7 P1 q' m提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
1 ?5 l. h5 ]& w" s. I8 F* C某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
4 j3 t. i2 T3 t6 U# e（图5）
/ H' {- b) _% \* o9 K5 R1 Q模型Ⅱ的求解
$ M% `  c" O. ?) S对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
. Q( Y6 X: D1 Z0 }& J对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
将带入上式，得到：。
( z/ J2 h6 f( d* K# R& v5 q5.3 模型Ⅲ的建立及求解
, }* J% D. S2 l  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
# ]) T3 k; m" F" Y  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
9 Z4 A! i% K' I7 B某年份的中学招生人数如下图所示：
6 t4 I. ]! U$ [* V+ X  ]' Z（图4）
7 ?& q  Q6 m4 T& \2 u7 b# U* f   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
" S& B* o$ c, b+ w   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
- j5 i, x3 u0 {) x& V        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
+ u3 A7 q7 e: a8 x利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
! U* q0 a5 g0 ~$ p" K+ A  o        将，带入得。
8 \: ^# E4 h( Y) l# y- P/ k$ D模型的评价与比较
        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
- P5 J, X% J, T; x        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
4 z% F4 z# @* z        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
1 h' w6 M# G, a4 R; i$ y参考文献
6 B( S+ T- }. l姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
7 s: o2 E, y6 w6 {/ B7 ~3 l附录
) J+ t/ [8 h5 A$ k7 b4 D8.1 模型Ⅰ程序
x=1994:2009;
( T5 g6 f, A/ y, [0 F) N9 Z, gy=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
! b; K2 a, ~6 k! x% bA=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
, s; y* o6 e/ d( _0 M1 Zplot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
  n5 G8 i' e9 X/ R9 E/ ^4 gans =103.0261
# L) `5 ]$ }4 r0 f7 v! e. r# _! a
8.2 模型Ⅱ程序
- f+ k: W" u/ yt1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
% l! i" M0 n6 @' o2 T& p; r' Wa=polyfit(t1,x1,2)
% _- \+ w' ]& ^# h) k9 U
x1=[85.31 2.4862 125.17;
, Y( i; A3 Z, V2 D: X96.87 3.2745 119.41;
- ^( C( U8 |  ]2 i8 S5 w105.22 3.0211 112.21;
% [- w7 r9 G4 l! {116.95 3.2972 115.88;
120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
. y  c  `8 ?* v4 P% U2 j( A: ]115.14 3.5023 125.52;
  K$ J3 b  m  l- q115.3 3.6067 125.17;
115.58 5.7878 123.3;
115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
, Q3 [. G8 M( Y7 m& p118.14 5.5611 132.87;
9 s4 `4 g- ?: P122.97 5.6544 139.14;
141.95 5.6950 154.67;
159.91 6.2994 167.06;
  v7 @8 T! w' N% k164.88 8.2410 169.69;
; P: B0 g( B% t1 @167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
205.62 21.8719 222.2;
0 |) E6 C4 L3 C1 X222.82 27.3894 234.18;
213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
* T' a' M, C' T. s. h, A$ L196.7 44.5034 192.94;
- g1 T" K: D' V  ]7 }191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
];
x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
6 s0 T) r. E" a, d/ J3 S[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)

/ P4 A% i% B  S% h2 A  o8.3 模型Ⅲ程序
t1=1999:2009;
x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
* ^, J% j. [3 x' u0 jplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)

! K, }- y; z# ~5 f/ ]t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
! c+ |: z& G/ y" t) |5 A7 Z/ S  ea=polyfit(t1,x1,2)
. ?9 z, C& |- l& c) m

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