高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
$ ?; z9 T. B# d" w摘要
8 c: O9 b) B" b9 b  d        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
. u3 l# Q5 h5 A9 o& i       
: S$ n) B* J9 \" @" _       
       
8 d9 }% ?8 ~6 c: a       
8 R( Z* l9 W7 ^( U' b       
/ m6 t: w( V; [2 t" ^) m
' v! m2 e5 n- d1 }8 d+ ^$ }       
8 v5 B8 `) v$ u       
        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
7 t. D2 g$ J4 v: @       
       
  ?4 \# R  I9 _9 E* C       
: s( V( W1 w" u- x7 v
* c1 c7 P6 y$ v, l+ \; q. H1 a* H/ |问题重述
( Y5 `6 t( K7 F/ f* A7 P    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
4 L$ O% G/ E, T问题分析
9 Y4 ~; G! C" t9 H3 h/ u9 {        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
9 a( ]$ v- u7 N' c9 q模型的假设
. z7 T, s" E( Y7 H4 k7 G$ c) t表二所给数据为普通高中的数据。
$ p  P9 P$ c! o" l* |高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
! m6 H* |* x" D5 r定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
9 W% `$ q# r  }: M9 [- G7 Q：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
0 Z2 X! [  ~, }9 J) r：某一年高校招生人数；
：某一年中学招生人数；
! {; L% z  q6 d1 [( a% j：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
5.1 模型Ⅰ的建立及求解
3 p% ^5 a' w5 E5 A* x) b( X" O6 x    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
; b+ L, ^; d( f( L        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
        （图1）
5 d7 x; e- y( ?! O! S         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
* l# q) {& _" v% W9 k, @5 b/ k/ C5 i        （图2）
9 F% R$ h* \0 M' F        对该数据进行二次多项式拟合：
5 x2 f0 w8 ?* a; E: d  K2 R5 z2 T        （图3）
5 k' I7 B  x. I4 j# w2 A1 N5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
9 ~, @1 D7 u) y, o        ；
        带入，得到：。
5.2 模型Ⅱ的建立及求解
. Y4 Q! ?6 q2 u, _- E    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5.2.1 模型Ⅱ的建立
提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
4 g8 _( B+ b- Z8 `某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
% q& L1 k% k' F% E' F% c0 ^建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
2 ]/ b& e2 ]& l$ \  s- h' [（图5）
4 m9 u2 |( ]; f/ ^. X9 W模型Ⅱ的求解
对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
/ u2 v( ?1 g# |4 O对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
4 g2 F# F, ^( g5 E; Y  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
) G" S1 d  C  E3 K   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
1 x* I6 h9 ?; n  T对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
% e; z/ \$ Q2 [0 k1 W        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
  _) ]8 p$ {: ~' m, U        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
        将，带入得。
5 T* E5 [. {% B模型的评价与比较
5 X# _* N1 P/ |0 k        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
+ a+ }6 ^# ~( s7 ]) C: H0 [        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
* H; l+ K0 L, r8 {* Y附录
8.1 模型Ⅰ程序
x=1994:2009;
' W4 ?$ ]. @8 t/ L+ k) Hy=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
# d% W" N( @9 |! H5 Jz=polyval(A,x);
* j" r6 I8 D( N! J- Eplot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
1 w4 u+ M5 X  h1 M. U4 GA*[2013^2 2013 1]'
ans =103.0261
5 E4 ~5 u4 c8 o* f* A
8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
  \0 m1 B: K2 ?) d: ~) aplot(t1,x1,'*')
- _# ?( g, T. Y" p* ^6 ma=polyfit(t1,x1,2)
; X. Q) P" z9 @5 f* @
x1=[85.31 2.4862 125.17;
0 I0 g) _/ k% L! b) {96.87 3.2745 119.41;
105.22 3.0211 112.21;
116.95 3.2972 115.88;
8 |, |; ~3 A' P$ ?5 K, E$ q120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
115.14 3.5023 125.52;
' U  P6 `  D7 i9 i8 ]8 g115.3 3.6067 125.17;
7 b5 ?2 z) g3 z4 u115.58 5.7878 123.3;
115.88  5.7918  125.6;
$ n) n+ c. p5 h8 J116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
# t0 v+ _* F7 v122.97 5.6544 139.14;
& R, j! u) a6 k141.95 5.6950 154.67;
/ d" F3 {9 Y) J1 U* @& D159.91 6.2994 167.06;
164.88 8.2410 169.69;
  M# E6 B# c/ O; r; M% }; d$ _167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
205.62 21.8719 222.2;
7 b7 V! Y1 b2 @: m/ e) `& Y222.82 27.3894 234.18;
213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
' D$ @) ^: ]1 x2 l5 D" _/ s# }$ ?191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
" c0 U; f1 L6 b' `/ Y];
x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
+ h+ l9 `* a& W9 x) O[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)

8.3 模型Ⅲ程序
t1=1999:2009;
+ y/ V4 _+ O: z3 [8 w8 u& F( wx1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
plot(t1,x1,'*')
/ d$ E/ k0 ]$ ?& o, a8 q4 q5 b# `a=polyfit(t1,x1,1)
$ m7 s% d1 [7 {+ I2 E
t1=1991:2006;
$ W  G) U- O* i( ^. d; _! _! }' vx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
6 r8 @" ?/ k* l$ U7 i3 ma=polyfit(t1,x1,2)

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