高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
- d7 b: Q) v  \  o6 c# p摘要
& A5 d! i( Q1 y7 s2 A1 ~) p        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
/ I% e6 {% w% p2 h+ ~- s! R        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
% C: b6 O4 d  q2 U' i5 z( Y4 H, V        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
5 J7 y9 K) Y5 T. X/ E3 H6 T7 @       
7 x/ B+ B5 Z2 `2 C% K, ?       
       
       
       
       

       
       
        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
) A0 k7 u* s4 H% t       
       
       

问题重述
    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
; `9 ?5 M  j; L2 q5 B; B问题分析
        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
定义及符号说明
0 Y, I4 {- N' y：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
( K1 [$ Z, o9 p4 {( v：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
- P' v) q4 F- }: \：某一年高校招生人数；
) Q9 T. ]8 l. @7 T+ M- [" P( `3 K0 v0 z9 Y：某一年中学招生人数；
% N( [' }% r$ l" `2 W4 N：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
5.1 模型Ⅰ的建立及求解
    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
) L5 U; l% ?6 }        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
        （图1）
* T" h% m/ \/ F( m% i: \         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
% q2 y& N( j) z- U3 q        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
% n" D0 {) m4 ~        （图2）
        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
7 c* @0 \6 A) r0 @, U4 e6 a+ R5.1.2 模型Ⅰ的求解
+ \( [3 U- d6 O        拟合所得函数为：
        ；
; a; J1 l# U2 q* [3 r! ^7 O        带入，得到：。
6 D7 l" J4 M" c% O! l5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
/ Z" Z$ Z6 {6 @5 D: T% R! R5.2.1 模型Ⅱ的建立
提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
8 G* z5 l; f( O& X: a( u# f某年份的中学招生人数如下图所示：
* C' S( V# U' A# o6 l* o: o) P（图4）
8 w/ x0 z2 ?$ H1 Y" w, \* c建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
; `5 a4 |5 H. J. S（图5）
模型Ⅱ的求解
; K3 G  Y% c( p% r% M* u& W+ n5 c: U7 d对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
2 E9 c  w& {* G' M) L将带入上式，得到：。
- B4 D' i/ S7 @5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
% B9 [; L1 d, N+ d2 `: m（图6）
某年份的中学招生人数如下图所示：
; U, R$ ?! R4 @  d, j（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
2 V9 l6 T  A7 r7 E对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
* f( p+ i- J4 K. Z2 H5 V0 b. l0 q% m        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
        将，带入得。
. G" Y6 U6 _& t* x4 F! Y4 s模型的评价与比较
/ c% v+ x# }+ S4 [        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
1 ]! Q; l- v; l# k3 E( _' N; [        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
$ i' D; c- M: J1 y! {        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
5 v& g  _, P0 i        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
6 H2 G4 Z7 k/ u: h% b- v参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
附录
8.1 模型Ⅰ程序
1 X% U1 a* K& D0 w4 [x=1994:2009;
y=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
8 A0 t6 _" N# M. m1 v, G2 Pz=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
& r% i/ e3 A3 G% J# m0 T" JA*[2013^2 2013 1]'
ans =103.0261
% k6 G( u! L6 T8 n; v5 G2 `
; V) O. J! L. `7 S8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
* k& l. y. G. S# c3 _2 f3 eplot(t1,x1,'*')
0 X6 u6 l) F3 B9 b: ?a=polyfit(t1,x1,2)

2 @' y- F( u/ tx1=[85.31 2.4862 125.17;
: R" J/ ?" I. C4 n3 D1 A96.87 3.2745 119.41;
/ j) _$ m. n$ L" m105.22 3.0211 112.21;
116.95 3.2972 115.88;
5 ~! ?% {3 S6 K* x120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
115.14 3.5023 125.52;
115.3 3.6067 125.17;
2 i- D9 |3 l7 f9 r, o' U3 u115.58 5.7878 123.3;
115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
4 Q" i: {; m0 b7 [122.97 5.6544 139.14;
141.95 5.6950 154.67;
5 r: c( B7 x6 S, a/ X/ i6 O159.91 6.2994 167.06;
164.88 8.2410 169.69;
167.96 12.4817 178.19;
( N9 Z; B: j" Q* t  U188.59 18.3553 201.28;
$ b& v9 }4 b& U! m+ |2 {205.62 21.8719 222.2;
222.82 27.3894 234.18;
9 G& c& T7 }% n$ ]  Q5 ]) k5 F213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
- V1 E5 h; @( T- `, f1 H196.7 44.5034 192.94;
& N% n3 `/ W* S  ?4 l8 Z! u191.02 45.3479 192.32;
$ `2 ~, l8 b3 |- x# }5 k172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
* \+ B3 |1 H# m8 @' ]];
x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
) x9 Q/ n1 V/ a# \5 j$ V[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)

8.3 模型Ⅲ程序
t1=1999:2009;
x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
# l5 X1 i; {$ p# `plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)
7 Q- [' y8 r% i- z4 H$ i
( t" H; Q; f8 b- S% \( Nt1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)

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我使劲回复，就是为了看一眼论文啊

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