高考生源预测

775128646

预测2013年山东省高考生源状况
摘要
        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
: T3 o$ w! s1 t' ^: i) k' `        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
" y: Q/ \2 F) c* H* J+ L       
: I# t! O3 w0 h! ?) s' N7 Z       
       
0 w% v. H+ c) q8 q# {# s       
       

       
       
$ q! T9 c1 F8 ?" d7 i. H        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
       
       
: |* p9 n( o" F) F6 N+ M
问题重述
    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
问题分析
4 T, Z+ u5 ?+ m. @        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
7 _7 m8 h% ]) g7 o0 p$ n5 ]        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
" ?/ G3 \6 h9 y5 M+ Q* ~3 o1 U定义及符号说明
, ?3 ]3 n+ T9 Z1 k! N：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
. p; C" s7 S3 |：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
6 U) X! H: u% x8 e1 d. n  y. @5 n! i/ d：某一年高校招生人数；
：某一年中学招生人数；
/ N* }  ~  w/ |3 }：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
( b7 c; [  o0 w: q' Q# K6 f5.1 模型Ⅰ的建立及求解
    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
- z+ x7 i7 y9 w; V" Y5.1.1 模型Ⅰ的建立
! M1 M- K' _9 R" D3 w7 @        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
        （图1）
( z( W4 ]  u+ O7 v( T  Y         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
( k8 H2 o' N, o        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
8 x; w9 U- U$ m* N& g: o        （图2）
4 k) L9 v% Z* Y8 L$ @- ]        对该数据进行二次多项式拟合：
9 O% d- l1 H6 I0 {, |2 t. D& x        （图3）
6 q  }, e# s- [- L# u; F5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
( j0 s, y7 T1 M4 `) H) O$ r" P        ；
' l* B0 [, K3 [! f! a0 K; I0 i        带入，得到：。
9 e. q2 g& N& v. p7 m# Y5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5.2.1 模型Ⅱ的建立
提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
" P! F! x! x; Z. ]' P: I4 E' p某年份的中学招生人数如下图所示：
$ z3 y/ k; n3 N; S! f% `' @9 D- l（图4）
$ m2 @. }; J) g; y4 S% H- I建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
（图5）
模型Ⅱ的求解
5 Z  x( |: l3 X6 |2 E0 b/ w6 K- L对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
; _: B" X5 N5 A8 C8 @# q( z! v对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
3 m, _9 f) w- ~( p% V2 C6 ~  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
9 N0 X" m5 T. D  X' S  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
) z9 N$ \/ x3 \- Z6 A% B4 O+ }; B（图6）
某年份的中学招生人数如下图所示：
, K# J- t0 ^  x' w$ e" w（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
* k8 D# a; B$ c) D4 c$ J   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
  W, E2 |6 ^/ j5.3.2 模型Ⅲ的求解
对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
1 D! _+ G" I& r8 x2 S) k        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
! E% r; f: q" D1 |+ h        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
. b* \2 j8 X" E& P; v8 e1 W# [5 I        将，带入得。
- B2 w; o3 o+ _0 {模型的评价与比较
        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
. L0 a# `) ^1 ]/ f; P* H% `. W" v参考文献
2 W, w0 t; L3 [2 k( }姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
" {- A7 [6 v! V3 }: Y附录
. m) ^& L9 R, ^! z- h. y8.1 模型Ⅰ程序
; w- [9 h1 m. Bx=1994:2009;
y=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
% d+ W" [) v  GA*[2013^2 2013 1]'
+ J% q6 ?0 j: r0 r: hans =103.0261

8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
) z. T# |) _2 N4 F5 z& ^: Ex1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
; O6 w3 f7 Y, Z; W1 `' Mplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)
' Q0 t- K+ C1 l2 O& Y0 F5 ?; h
5 X/ P& O' ?+ t( c% G: kx1=[85.31 2.4862 125.17;
96.87 3.2745 119.41;
  y- w% q/ A# J105.22 3.0211 112.21;
116.95 3.2972 115.88;
120.41 3.5714 123.8;
9 I) u! f* A  D! s; {" x. C118.61 3.4308 125.02;
115.14 3.5023 125.52;
+ P" r3 C; @+ X5 I; L! `115.3 3.6067 125.17;
115.58 5.7878 123.3;
115.88  5.7918  125.6;
1 T3 R" w; S  U8 _116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
122.97 5.6544 139.14;
141.95 5.6950 154.67;
6 q' b9 V( n: B6 q% P2 I$ P8 [7 o# I159.91 6.2994 167.06;
164.88 8.2410 169.69;
/ h  O1 L4 A* K' W2 A167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
6 l' P0 k3 v. h6 P205.62 21.8719 222.2;
, h5 [6 r- k, n  O" v222.82 27.3894 234.18;
213.8 32.7452 220.94;
# {0 Z8 O1 {* v; R1 p4 v, b207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
9 F6 t8 a2 {# Z191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
' C9 l. J9 n( C158.65 50.1082 164.6;
];
- M% F7 a( N0 f: t' dx=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)

3 ?; v; E- E# @& C+ Z8.3 模型Ⅲ程序
5 ?( Y$ A* v# `# bt1=1999:2009;
+ C6 C1 E# a9 G7 }! dx1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)
5 b' _( L! `, \9 s% G
: m# n3 w/ R) `; x# V3 V) z+ x' ot1=1991:2006;
, A7 [3 ^3 S3 l4 z# l0 ~4 lx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)
3 ~" T; f( E9 a4 p$ {9 \8 e

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