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A题:GPS定位问题' F0 G+ x i8 ]! l) X- A) s- R9 E. Z: e
GPS是英文 Global Positioning System 的缩写,即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成(21颗工作卫星,3颗备用卫星),它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上(每个轨道面4颗),轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。
3 D- z5 {8 N& ^1 F% y& D . Z- s: R! }, c% `% k. q8 U9 k1 l
图A.1:GPS卫星的图片 图A.2:车载型GPS信号接收机
+ G, h2 x+ J: k9 g. Y! HGPS的用户设备部分是GPS信号接收机,它的作用是接收GPS卫星所发出的信号,利用这些信号进行导航定位等工作,图A.2为一款GPS信号接收机。) {/ M) `$ B/ l) o$ R F
GPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息,信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定,为简化问题,这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟(铯原子钟)和地面接收机上的时钟(低成本钟)决定,所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差,钟差是未知的。8 k3 G8 K8 n" _2 {+ p" _$ c
设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标, 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合,Z轴指向地球北极,X轴指向经度原点E,Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系,如图A.3所示。 图A.3:地心空间直角坐标系& p. t1 F* V1 j8 C
表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置,表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
k; W) a+ T+ ^* g+ \表A.1:卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)8 f, t& L+ X( d' h f' m
卫星 X坐标 Y坐标 Z坐标
* R4 ~" k5 ]' l' n% z# f卫星1 8747 15150 101004 f2 X9 ?, q& f) E7 } ^- B# w
卫星2 -9756 16898 5228$ }! {! E1 m4 Q* q7 \
卫星3 0 10100 17494$ T1 |2 c6 ^' C. q3 k
卫星4 -12370 7142 14284
, L. {$ D7 q, J" C/ u5 j: \; s6 I! y+ g# ?3 _
表A.2:四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间(单位:秒): [# p: N- N. M) f$ j5 J% b0 e6 ~
地点 - N. l) R+ t/ Z* P. F) g
' ^8 l- p9 ?; o8 S l( I" x! q1 _5 t " a8 g; T9 }# S m
" Q" @1 k9 L/ V, e; p! y
( I# M5 G: d- y/ f, d8 p6 |" n
地点1 0.0549354 0.0489226 0.0491307 0.0489244
! H/ }% q* y5 `地点2 0.0549906 0.0490084 0.0491953 0.0490126% s, P7 p5 F. X; y I5 a- c2 ?
地点3 0.0552587 0.0493557 0.0494843 0.0493610
& m' f& t4 U! [5 D" f地点4 0.0551766 0.0493397 0.0493486 0.0492496
F0 ~# V5 Z+ W! u你所要完成的问题如下:
f2 n6 l; r' z7 j7 f, i1. 建立相应的数学模型,确定出上述四个地点的经度与纬度,并在地图上标明它们所在的位置。
3 {- }3 W+ I# k1 A2. 在通常的情况下,地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号,对于多于4颗卫星的情况,你将如何修改你的数学模型,使得定位更准确?表A.3给出第5颗卫星的位置,表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置(经度、纬度,并在地图上标出)。 @: `* A9 U( ?/ k* O8 `
表A.3:第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)
* n" v- m8 g f% I$ B卫星 X坐标 Y坐标 Z坐标
, @% S) C, \5 ^8 L1 C$ e# M) l+ ]卫星5 -7669 15723 -10100$ t; s4 g' L" N8 E, x+ b8 p" Q
: y; g2 `+ L( E2 t表A.4:五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间(单位:秒)
( U ]8 D- E8 Q/ b# Q2 L# w地点 $ k& s) J$ h/ A. u
( k1 T8 h- p2 K6 a/ x1 ?. r
5 I2 [( l9 ?9 y! y) ^ F3 w
: G* m, f3 Z( g/ w( T* V: o0 s # x8 B6 _. l. K9 @% S' S
1 r8 r0 k+ C: x. n
地点5 0.0547118 0.0489472 0.0489068 0.0488635 0.0633407
% I5 `8 M& @5 J& h6 j/ R& F注:地球半径近似为R = 6371 公里;光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。" D# w/ L1 J9 {
(注:2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛)
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