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尔顏

A题：GPS定位问题
GPS是英文 Global Positioning System 的缩写，即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成（21颗工作卫星，3颗备用卫星），它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上（每个轨道面4颗），轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。
  
图A.1：GPS卫星的图片         图A.2：车载型GPS信号接收机
GPS的用户设备部分是GPS信号接收机，它的作用是接收GPS卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作，图A.2为一款GPS信号接收机。
GPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息，信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差，钟差是未知的。
$ |8 D7 \- e! B$ ~- L; T7 q$ ~设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标， 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合，Z轴指向地球北极，X轴指向经度原点E，Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系，如图A.3所示。               图A.3：地心空间直角坐标系
3 h8 e- B+ b( b- r: U" \2 i# ^表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置，表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
- @1 \: j1 F$ z& s) @/ _表A.1：卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
5 j  ~/ P# p, ^; X卫星1        8747        15150        10100
卫星2        －9756        16898        5228
3 a$ d& K, }9 E: ]卫星3        0        10100        17494
卫星4        －12370        7142        14284

- g: f" l0 f& g6 F; v表A.2：四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间（单位：秒）
8 g4 N. }" E! G( Z( ]地点         
4 {3 h, ]# G) ^/ P) M, g

0 d  p3 [. }3 ^% A" T- S
" ]/ q' N" `  \% Q) d8 B* o
9 `1 T3 C# F) s) |" P2 w  V5 u地点1        0.0549354        0.0489226        0.0491307        0.0489244
地点2        0.0549906        0.0490084        0.0491953        0.0490126
地点3        0.0552587        0.0493557        0.0494843        0.0493610
5 |0 @" e" A; J! h$ X7 W" B地点4        0.0551766        0.0493397        0.0493486        0.0492496
你所要完成的问题如下：
1. 建立相应的数学模型，确定出上述四个地点的经度与纬度，并在地图上标明它们所在的位置。
: L: K  [6 Q8 j# Q  r+ |' b. ]! P2. 在通常的情况下，地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号，对于多于4颗卫星的情况，你将如何修改你的数学模型，使得定位更准确？表A.3给出第5颗卫星的位置，表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置（经度、纬度，并在地图上标出）。
表A.3：第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
# P. s9 x) [! r9 S% v0 n卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
2 E/ {6 R) P% Z0 k1 C) h卫星5        －7669                     15723        －10100

" x  F0 z5 x- p& Q1 A- Z, o表A.4：五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间（单位：秒）
- }* d$ o! N6 J2 w1 q. ?地点         
6 u, l' w* c% U8 r3 I1 ]8 E
- I1 F' t, L7 D  r


/ Y3 f9 A0 Y- X, d8 Y6 u
地点5        0.0547118        0.0489472        0.0489068        0.0488635        0.0633407
注：地球半径近似为R = 6371 公里；光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。
（注：2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛）