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尔顏

A题：GPS定位问题
" ~+ L- f" M" @& KGPS是英文 Global Positioning System 的缩写，即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成（21颗工作卫星，3颗备用卫星），它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上（每个轨道面4颗），轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。
  
) ?1 N4 }8 }; O图A.1：GPS卫星的图片         图A.2：车载型GPS信号接收机
GPS的用户设备部分是GPS信号接收机，它的作用是接收GPS卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作，图A.2为一款GPS信号接收机。
; O4 N5 S; T; lGPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息，信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差，钟差是未知的。
, r, J, a1 b6 h+ x4 g( t- r设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标， 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合，Z轴指向地球北极，X轴指向经度原点E，Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系，如图A.3所示。               图A.3：地心空间直角坐标系
表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置，表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
表A.1：卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
8 P1 O. X7 k$ k" r" b卫星1        8747        15150        10100
( v4 g9 P! u# e3 V2 S" r卫星2        －9756        16898        5228
卫星3        0        10100        17494
卫星4        －12370        7142        14284

表A.2：四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间（单位：秒）
! W" U- ]+ n: e1 o地点         

. j. n0 q3 B5 {$ W5 u

; [; [, l6 U5 Z, N" [
4 q$ k* I  K3 c  A8 W+ _地点1        0.0549354        0.0489226        0.0491307        0.0489244
地点2        0.0549906        0.0490084        0.0491953        0.0490126
. w0 L, J  e& |5 u9 f+ M  A# q地点3        0.0552587        0.0493557        0.0494843        0.0493610
地点4        0.0551766        0.0493397        0.0493486        0.0492496
你所要完成的问题如下：
3 y0 S" R- i1 _* s' \7 @1. 建立相应的数学模型，确定出上述四个地点的经度与纬度，并在地图上标明它们所在的位置。
8 J" R$ C" B, b7 w4 V0 ?2. 在通常的情况下，地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号，对于多于4颗卫星的情况，你将如何修改你的数学模型，使得定位更准确？表A.3给出第5颗卫星的位置，表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置（经度、纬度，并在地图上标出）。
表A.3：第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
卫星5        －7669                     15723        －10100

2 X1 k& h6 p' p* D表A.4：五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间（单位：秒）
( t0 t! e0 @8 R地点         
1 m" J# W& _- U  y; P* s8 {; R

2 y% [. A: x- r
6 r# o1 q, _) ~3 K

2 V9 [6 V9 q( `5 o地点5        0.0547118        0.0489472        0.0489068        0.0488635        0.0633407
注：地球半径近似为R = 6371 公里；光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。
3 q  j4 D5 w6 I" ^& B（注：2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛）
8 O" ~$ Q2 ]! q6 V