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尔顏        

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    [LV.2]偶尔看看I

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    发表于 2012-8-22 20:27 |只看该作者 |倒序浏览
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    A题:GPS定位问题
    " ~+ L- f" M" @& KGPS是英文 Global Positioning System 的缩写,即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成(21颗工作卫星,3颗备用卫星),它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上(每个轨道面4颗),轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。) ?* ]+ m- {9 _
      
    ) ?1 N4 }8 }; O图A.1:GPS卫星的图片         图A.2:车载型GPS信号接收机# _6 N2 S, h9 d
    GPS的用户设备部分是GPS信号接收机,它的作用是接收GPS卫星所发出的信号,利用这些信号进行导航定位等工作,图A.2为一款GPS信号接收机。
    ; O4 N5 S; T; lGPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息,信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定,为简化问题,这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟(铯原子钟)和地面接收机上的时钟(低成本钟)决定,所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差,钟差是未知的。
    , r, J, a1 b6 h+ x4 g( t- r设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标, 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合,Z轴指向地球北极,X轴指向经度原点E,Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系,如图A.3所示。               图A.3:地心空间直角坐标系0 k0 C$ p$ A7 l) J# N% O: F* h( `
    表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置,表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。# S  V$ P  y7 x$ e$ p9 h. D' C8 y
    表A.1:卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)) J3 U% P8 t2 i: Q1 Y9 O" V
    卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
    8 P1 O. X7 k$ k" r" b卫星1        8747        15150        10100
    ( v4 g9 P! u# e3 V2 S" r卫星2        -9756        16898        52282 s( o0 p3 l$ I+ H/ _  i8 F" d
    卫星3        0        10100        17494' G" |7 o' [+ L4 Q9 [4 G
    卫星4        -12370        7142        14284% b! G/ X; P3 G' l) o6 `
    ' o- f, `) I7 V3 x- j8 |. h; K9 f
    表A.2:四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间(单位:秒)
    ! W" U- ]+ n: e1 o地点           Z' D# S( @( _% {0 U8 B

    . j. n0 q3 B5 {$ W5 u . J# c9 }) i* o2 F. j: P

    ; [; [, l6 U5 Z, N" [
    4 q$ k* I  K3 c  A8 W+ _地点1        0.0549354        0.0489226        0.0491307        0.0489244: X6 n% d( o3 y) k" T9 L- f
    地点2        0.0549906        0.0490084        0.0491953        0.0490126
    . w0 L, J  e& |5 u9 f+ M  A# q地点3        0.0552587        0.0493557        0.0494843        0.0493610# P; i6 ~2 K/ ?- l# S0 Q$ g: p. e
    地点4        0.0551766        0.0493397        0.0493486        0.0492496' D4 y; b! a5 k; k8 C
    你所要完成的问题如下:
    3 y0 S" R- i1 _* s' \7 @1. 建立相应的数学模型,确定出上述四个地点的经度与纬度,并在地图上标明它们所在的位置。
    8 J" R$ C" B, b7 w4 V0 ?2. 在通常的情况下,地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号,对于多于4颗卫星的情况,你将如何修改你的数学模型,使得定位更准确?表A.3给出第5颗卫星的位置,表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置(经度、纬度,并在地图上标出)。  M4 d" \& }" k$ Q8 T$ H
    表A.3:第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)& m0 E" u5 E& _+ b& d7 Z1 i+ P* A
    卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标  ^: W2 L" F# ]3 t7 e0 V( W2 l
    卫星5        -7669                     15723        -10100+ P; C. Y5 u! P

    2 X1 k& h6 p' p* D表A.4:五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间(单位:秒)
    ( t0 t! e0 @8 R地点         
    1 m" J# W& _- U  y; P* s8 {; R ( \' E- _# K( S' j5 D* N

    2 y% [. A: x- r
    6 r# o1 q, _) ~3 K ; K# D4 ^5 M& L

    2 V9 [6 V9 q( `5 o地点5        0.0547118        0.0489472        0.0489068        0.0488635        0.06334073 ]9 w9 e) H- A
    注:地球半径近似为R = 6371 公里;光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。
    3 q  j4 D5 w6 I" ^& B(注:2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛)
    8 O" ~$ Q2 ]! q6 V
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