同素理论与哥德巴赫猜想

马路人群

同素理论与哥德巴赫猜想
  t! T1 I, ]& s, y: O杨天生
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摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
" P' t' |! N, P3 J! I0 i3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
$ g. `3 i1 n8 H. D; M: a. T主要方法：数学归纳法
% V* D7 U( ?) A# m+ h$ Y9 ~  S& [关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理
9 }2 V& n/ f1 [1 P, e0 J
正文：
! D& W6 p. c/ I- P我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
1 q- @/ M- W. H4 y( f% A, V; x一、同素的相关定义
: \( f+ m- s, `观察下列关于自然数的算式：
给定奇数1和45，有：
8 h7 m! P+ e3 ]- d' L1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
5 g/ b6 J$ o% I! x2 A" x给定奇数9和123，有：
9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
5 m) l1 j. P0 A4 u. g$ F给定偶数数12和94，有：
12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
……
定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
3 ]8 ~* i( B" h, E- _  \* u. X我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
+ m. y; I$ O3 i* }& `9 C+ `定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
# {% H. t: V! ~1 v& }, n* _1 e二、同素的性质
自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
& V6 ^) V' y. c( _' |  `8 Y4 }, ]1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
+ @) D; \: G, L( F) g1 L证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
$ c8 n6 r3 u+ Q②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
∵M（2k+1，b）
1 P% j/ h2 O* w9 ?8 x& y∴M（2k-1，b+2）
∴M（2k+1，b+2）
3 r# z0 o; k2 z6 C∴M（2k+3，b）
( I7 G2 |8 A  F即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
8 x# K( b+ S: L0 Z" q# \1 [6 t综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
/ {1 A& g7 m: |6 ~* k综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
$ G, h; b  u  G) A- w* P) M- r# o( i2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
' w* E& j' S% i6 O0 t, T（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
$ r$ f. k# j. A' m! V+ F∵M+（2k+1，b）
∴M+（2k-1，b-2）
# g- |! p4 k# Q0 M∴M+（2k+1，b-2）
∴M+（2k+3，b）

由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
由M+（2k-1, c）得：
M+（2k-3, c-2）
∴M+（2k-1, c-2）
2 ]- [$ l) G9 W* R) M8 o∴M+（2k+1, c）
- s( x# e0 ]1 g+ m( N) m5 Y由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
2 Q2 f: V0 s! R5 z- W( Y% {2 X/ b' x（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
- b' x1 i& t" ^（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
/ u/ v& [, c* h- O) RM+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
M+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
∴M+（2k-1，2k+y）
由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
& X/ `* m! L6 k推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
证明：先证同为奇数的情形：
. l5 \1 e' N, q1 m（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
6 o( O/ d) @* d- S0 A4 \3 i2 EM+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
∴M+（1，2k+1）
∴M+（3，2k+1）
1 q" M, v& Q# M8 B% E; k……
∴M+（2k-1，2k+1）
又∵奇数本身永远满足增同素
$ H1 q, x. c: H- t∴M+（2k+1，2k+1）
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
! c- F5 A0 I( N! W! x7 ]同理可证同为偶数的情形。
8 g7 ~6 V- x6 H- ]  {三、同素理论的运用举例
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
已知：2n(n＞2)
( o+ G' @$ a- ]求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
( j% R3 M- U9 H) o# M/ [证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
      M（1，b）成立
      即1+2m与b-2m同时为素数
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
令p=1+2m，q=b-2m，有：
) q* B( L6 C4 I! K6 ^3 U2n= p+q(p、q为奇素数)
2 Z# J% s+ {) _推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
5 s# T- ~2 A5 S0 x/ i/ j2 P3 Q事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
1 l$ K# ~) a0 l2 G7 h. A. V2、孪生素数有无穷多对。
2 K3 }1 T, u9 C& O2 {2 t, g8 T证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
# N. g7 R' U0 R) h& A2 n9 P∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
而（a+2m）-（b+2m）=2
. ~) f1 @0 _8 E4 k# P2 |" n& N∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
5 P: ]% P! ?) k; j; M显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
8 L( d9 \, B6 k% D6 o假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
# \/ l* m  U" l6 {3 T- e! m则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
同理可得，多生素数不存在。
+ S+ E3 t$ b, n推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
! e% X, A. F& ]; [3 ^证明：任意给定偶数2n
∵M+（1，2n+1）成立；
∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
3 E) U% v* S- L有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n

参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
          2、陈景润《初等数论》。
- J( d4 E* [- F

马路人群

请多指教。

茉稀

请多指教。

马路人群

同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
5 t& r5 H& }3 G) v7 @