同素理论与哥德巴赫猜想

马路人群

同素理论与哥德巴赫猜想
& N( J( `. y; i; J6 h  S杨天生
QQ:784177725
' ?7 R) K& U8 z: B邮箱：yangtiansheng68@sina.com
摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
+ O6 h2 R) H+ l4 Y2 {2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
8 Q, Q: @1 }" J$ t3 P9 p3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
主要方法：数学归纳法
关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理
6 i! H, M( [1 `& j8 x
正文：
我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
一、同素的相关定义
& h: y* Q/ [: t/ Z观察下列关于自然数的算式：
2 N" a' g% I; b) a给定奇数1和45，有：
$ @4 w' Y, M# G8 j1 `0 l! T. E1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
给定奇数9和123，有：
9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
5 ]# Z4 O  r" l, [给定偶数数12和94，有：
1 q5 o' j2 e- H12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
4 B! ?, ]2 J- z  p1 L……
# R! |. f; |8 X+ Y1 x; m定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
' Z+ s& Q* T) y( d+ P* l另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
3 W; N; L' t: p$ {* d( E; r. u我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
1 m  q* x: x* ]根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
' a& E0 f. [  I0 _5 n+ F7 @( u. T5 J定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
( S1 b% X) u) x$ |% Q0 j定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
( H- l- b7 D5 t定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
0 O% m: Y* n3 M4 M9 y6 q0 F二、同素的性质
自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
2 f& j; J% F/ g) X2 @3 f1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
6 @3 X% l8 E: E& c5 R①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
- k8 p: M+ d+ K$ K7 r∵M（2k+1，b）
" M" S" G6 f+ R8 v∴M（2k-1，b+2）
9 E! w2 O3 E5 h* d0 q, w0 I∴M（2k+1，b+2）
* L) X9 S/ d  e∴M（2k+3，b）
4 @6 U" Y7 m7 B1 a/ s% d  z6 Q1 Z即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
4 Y: N7 m5 m4 j2 {综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
4 Y& l$ r. Q" V0 h: L( l* \（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
+ _5 I* b8 y  P' c+ E5 F7 X∵M+（2k+1，b）
0 G. O% ^5 Z5 r∴M+（2k-1，b-2）
- `# z* ?2 b4 O4 L∴M+（2k+1，b-2）
: M1 ~$ ^# @% |/ @  o∴M+（2k+3，b）

由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
0 \# I/ W$ _: v& D* i由M+（2k-1, c）得：
6 h# d4 i5 v- p' EM+（2k-3, c-2）
∴M+（2k-1, c-2）
/ b$ u: `9 D8 c* R: f( H∴M+（2k+1, c）
1 a! l' [2 w! B' Y  S* u由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
7 C$ t  A/ q2 I下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
M+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
M+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
∴M+（2k-1，2k+y）
由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
7 ^- O8 z8 R$ W3 l. u4 o推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
! o3 {" E  N7 L; H/ S/ t证明：先证同为奇数的情形：
' n* Q7 b, k6 a3 o（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
; l; F# b* N$ I# h3 T( ?（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
. ?8 _& m8 }: z$ UM+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
& B. F# c" m2 c% i2 F: {* C∴M+（1，2k+1）
+ s% \. s( {/ B0 g. @! \∴M+（3，2k+1）
. i. x( D8 \" Y# c, H2 p……
( X2 v0 ^, n: H/ O2 k4 n$ G0 }∴M+（2k-1，2k+1）
! z0 S1 D- S" F% A又∵奇数本身永远满足增同素
8 x9 z4 ]; U" ]* f/ _( |; W% F! V∴M+（2k+1，2k+1）
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
. u( }2 m+ C. m( k9 {同理可证同为偶数的情形。
+ T5 J  u/ t+ h3 m& J三、同素理论的运用举例
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
已知：2n(n＞2)
求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
, B9 x2 C  S$ f证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
: ^7 d+ c9 d; A: O9 F! ?1 S, {      M（1，b）成立
      即1+2m与b-2m同时为素数
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
令p=1+2m，q=b-2m，有：
2n= p+q(p、q为奇素数)
( v4 k+ J6 {* }- M, y4 R( \6 Y5 g推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
& K6 }/ F0 ]- E2、孪生素数有无穷多对。
证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
2 o( h3 _( e3 E5 ^. |9 f; y∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
( A+ \6 D$ o% ]" A3 Y' i% Q1 o而（a+2m）-（b+2m）=2
∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
; P) q3 H2 g5 V2 t3 I显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
1 j; `8 F9 p: @0 t推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
2 \6 R# W! e" Q! e4 _  L" G% n* b则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
1 f3 p, u2 Z2 {同理可得，多生素数不存在。
' _8 }+ S" s3 |2 \% r) o推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
证明：任意给定偶数2n
∵M+（1，2n+1）成立；
2 `9 h$ k/ W; _1 \4 V/ r7 j. x∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
0 X7 t( n$ U' h3 ^7 `+ u9 z8 I2 ~有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n

- v' t: Z/ N* k4 [" G9 s6 k参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
/ u% ~! h$ l( ^4 I+ c7 G9 \- c! g          2、陈景润《初等数论》。

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请多指教。

茉稀

请多指教。
# D! S, r0 `! G* b+ _7 G* {: B

马路人群

同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；