同素理论与哥德巴赫猜想

马路人群

同素理论与哥德巴赫猜想
杨天生
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摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
+ x0 f0 k& ^9 B6 y2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
5 Q& Y3 }& o# Q8 \& x4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
主要方法：数学归纳法
关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理
' r& C' H& h& L5 s# M
正文：
我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
一、同素的相关定义
观察下列关于自然数的算式：
给定奇数1和45，有：
3 @+ u3 A7 M' P7 E( }1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
! t8 [) c8 D. S7 D9 N给定奇数9和123，有：
9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
给定偶数数12和94，有：
/ {  ^! X6 p* j* F12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
' S( q$ ~6 }) |! Q……
% j$ R1 ]9 w; S定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
' V4 |/ _$ }9 o我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
1 q- ~) j9 m/ w. }4 s/ L) J  u: R例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
* R- I& g" L3 N& i; V2 Q! [* y8 W2 R根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
4 F2 ^! A8 O" \! E( ~6 o" I定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
+ }( f5 _( c2 C  {$ r0 k0 J二、同素的性质
7 A" O; [3 s. {4 v自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
2 O* v' r& ]  n证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
. A/ c! _" E( Y% Y∵M（2k+1，b）
- ?+ l7 ~8 z7 ~8 V∴M（2k-1，b+2）
∴M（2k+1，b+2）
∴M（2k+3，b）
即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
+ J0 W4 G$ G% X. R0 z2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
9 X6 u0 L) g5 W. h* \8 _7 O4 C  f（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
∵M+（2k+1，b）
: T7 n. _- \4 w9 u+ v* G4 P3 O/ B∴M+（2k-1，b-2）
; L: W5 O& ^; j: s& ?. x( U∴M+（2k+1，b-2）
, S5 x9 ^) x" j% ]8 H3 {+ Q∴M+（2k+3，b）

0 b4 r. c0 i8 |( o2 g由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
$ L* w$ C4 H4 j+ Q) K由M+（2k-1, c）得：
3 |# s, [$ o/ V. \# }) M. u1 AM+（2k-3, c-2）
∴M+（2k-1, c-2）
3 ^& ^# Z& k; N$ J8 t# P∴M+（2k+1, c）
% S2 ]8 e# w4 u由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
0 V! i% ?" \' t% R4 j（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
1 _+ g& C* w( e/ f% I9 H# G$ PM+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
8 d+ g1 D% i/ nM+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
∴M+（2k-1，2k+y）
) b/ Y9 [$ h9 H4 b( I8 a由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
5 s; o; ?# M' Z8 V" Y证明：先证同为奇数的情形：
（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
% T9 g: i5 Y% i- s（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
/ o& Q& p4 o- O! o4 I# r2 U∴M+（1，2k+1）
* d5 c9 D6 B% O2 e∴M+（3，2k+1）
) D; Q: `0 J2 z2 Z……
9 u" G/ e9 c) A9 J7 z  j1 R∴M+（2k-1，2k+1）
+ A- g0 P; m6 Z1 p) u6 d+ m0 a又∵奇数本身永远满足增同素
% |2 \) z% q# H. G6 N∴M+（2k+1，2k+1）
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
3 J% J7 w: W3 [1 T同理可证同为偶数的情形。
三、同素理论的运用举例
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
已知：2n(n＞2)
: T. I! ^6 X- d- d* ]  G/ b求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
" b: t! n2 I- M1 G7 o: @" V7 ~% r# ^      M（1，b）成立
3 D9 r, C2 A' A+ |      即1+2m与b-2m同时为素数
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
' a1 z& u" Q6 B/ ^9 r令p=1+2m，q=b-2m，有：
0 q( e& Y" i4 [1 a, \2n= p+q(p、q为奇素数)
推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
$ ?& x/ h% ?+ r" X) T, _事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
2、孪生素数有无穷多对。
证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
3 c4 p) e/ K$ g9 G∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
- A% k& Y( a* q( T而（a+2m）-（b+2m）=2
∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
% @! s+ E9 R1 X# ]推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
9 B& c* D2 ?0 d+ \4 X9 q假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
* s3 [* m6 V' q! b9 L# ?则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
同理可得，多生素数不存在。
2 z! q6 |% c9 L( A推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
证明：任意给定偶数2n
1 g4 c6 T/ z5 J5 W( P∵M+（1，2n+1）成立；
. i! U4 f+ R$ ~; D& p* G, e( k∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n
0 u  N5 Y" j6 q$ A9 L2 c, O0 d
% G* w5 |6 T! t; n4 }+ y: h) @  G$ E参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
4 }# q. K1 Z2 g1 f% _$ N- r          2、陈景润《初等数论》。
2 G+ e$ \/ S) u) w

马路人群

请多指教。

茉稀

请多指教。

马路人群

同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；