同素理论与哥德巴赫猜想

马路人群

同素理论与哥德巴赫猜想
杨天生
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摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
& I: o) L4 b( k6 e# k1 U主要方法：数学归纳法
关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理
  w: u7 F/ ~- T  ]4 a6 b0 M
正文：
我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
2 ?, X* L  D6 w一、同素的相关定义
4 p) O! q6 D7 d9 I% X- @7 O- ]观察下列关于自然数的算式：
1 b5 G+ k: Z' j. J) B$ @给定奇数1和45，有：
. D. O* b& X0 C4 T6 H3 @1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
% t7 B4 l& A% v* c9 Y, O给定奇数9和123，有：
9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
; E  v5 k8 J' C5 r% \给定偶数数12和94，有：
12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
……
定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
1 n  D. n/ P# K- l1 W" L特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
7 b4 u5 {+ }: q( w另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
; j8 ?/ q" o8 P3 D. q我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
. l8 h1 m& p( {% Y2 d  V3 B所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
$ i) E+ h; w, |- s二、同素的性质
自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
8 W1 v2 r2 @, T+ J②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
∵M（2k+1，b）
∴M（2k-1，b+2）
3 L+ P: `% W4 t$ h0 j2 A3 |∴M（2k+1，b+2）
∴M（2k+3，b）
即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
  p) {; X- y5 I# J& U8 i综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
& V( w" d9 M& W2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
: ]* q( _, e( ^3 k0 i4 v# q（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
9 J2 j, g4 G! H$ {+ j∵M+（2k+1，b）
2 ~) F/ u7 T, t∴M+（2k-1，b-2）
∴M+（2k+1，b-2）
∴M+（2k+3，b）
3 ~- T6 k( M3 f$ Q/ f3 g1 X
由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
% ]4 h: c8 Y  g  z2 h8 {: D由M+（2k-1, c）得：
, l3 a& n+ Z8 G" W$ ^M+（2k-3, c-2）
6 V" J. R6 N! {9 w9 \; s3 F∴M+（2k-1, c-2）
∴M+（2k+1, c）
; e0 M* f- y) @由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
6 m2 y' R, [3 ?, U1 X+ ^& O（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
* I2 Z6 }+ y- v/ }- Q: l; f（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
) [  m' h5 t! }5 s" GM+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
M+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
∴M+（2k-1，2k+y）
由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
. Z* d2 z/ f+ ]" g0 t; D) @$ f证明：先证同为奇数的情形：
（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
8 l* v  M4 q: j7 O# h  [（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
2 |0 K& |0 j" a) T- B) S# ]M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
' x! n0 A' F3 W* `( ^& _: `$ e) |* g∴M+（1，2k+1）
∴M+（3，2k+1）
……
. v. r& q: @! P- O. `( p5 O- b∴M+（2k-1，2k+1）
又∵奇数本身永远满足增同素
∴M+（2k+1，2k+1）
; \$ ?9 d% ]# u! Y' G6 z9 B由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
同理可证同为偶数的情形。
. t7 t9 x. B& d1 n0 ^0 B三、同素理论的运用举例
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
/ g0 q) R/ Q2 p' E, h8 z. b已知：2n(n＞2)
0 P! q9 {, @! u4 ^" e& Q求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
4 B5 y- G  U. V9 L, `证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
      M（1，b）成立
% G0 J& v, ~  B) g* C      即1+2m与b-2m同时为素数
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
( t7 x2 J, l+ L) G. Y% L令p=1+2m，q=b-2m，有：
2n= p+q(p、q为奇素数)
推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
$ g: s2 j$ k0 {! j5 V5 ~8 ?5 V2、孪生素数有无穷多对。
$ O0 ^* t. @7 ~( e+ |, u9 Z证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
6 m; q; I8 x( d, H. u8 N∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
而（a+2m）-（b+2m）=2
∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
同理可得，多生素数不存在。
( w9 B/ t+ \2 J- R* ~8 j推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
6 c  {5 ?! y. K0 Y' w- W3 ]  ~证明：任意给定偶数2n
∵M+（1，2n+1）成立；
/ S! j7 m; y+ t& ]* R∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n
4 `8 L! e/ w0 e; B: I) h* q5 i7 Q
参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
7 j$ \. Q1 Z8 p; [! x          2、陈景润《初等数论》。
0 G, L& M  S: V# i1 j

马路人群

请多指教。

茉稀

请多指教。

马路人群

同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
/ M- U' s* T, ]: p( m7 E# j