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本帖最后由 shuluns 于 2013-7-22 13:48 编辑
8 c+ n3 j0 y3 |& z0 x" |& w+ ` h D& ?
3 x+ o* q% H. R9 p8 P1 M' N" |
中国学者提出广义哥德巴赫猜想
8 L, q R, P; ^! W' K( D: w
/ N% e; p9 W6 l2 |; Y6 o/ [- Y" l, d% f# }! q, Y. ]! J
2013年5月,张益唐在哈佛大学作报告率先证明“弱孪生素数猜想”的同时,法国高等 9 \2 G& O7 c. E( ^
师范学校教授Harald Helfgott在网上间接证明了弱哥德巴赫猜想:任何一个大于7的奇
% V) ~0 ^7 _" a4 @+ m) H! _数都能被表示成三个奇素数之和,从而彻底解决了三素数定理。2013年,是世界数学界
' e- ^8 h& [) j/ y/ G8 m/ Q的素数年。 + w/ G! w& g! x0 a
9 a( e) [% A- f/ v& c, U7 j
哥德巴赫猜想:任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和。 6 C9 ]* A: o' R2 v. Z s
: s1 o3 e& ]) ~1 F( W$ I2 L$ o
中国一学者在10多年前就提出了广义哥德巴赫猜想:素数对称性定理。 * P6 y% k E2 d1 a( \
' _# e! U8 o: ?3 ?& ~1 m9 j Q
定理如下:
- l) I4 G0 n4 \. `$ l2 Y- p在首项L与公差q(L<q, q≥3)互素的等差级数中,对于该级数中的任一项x/2,x/2 >φ(q)*q^2,
$ Z, I5 J9 d K/ I; ?φ(q)为q的欧拉函数,至少有一对素数关于x/2对称。即:x可表示为该级数的2个素数之和。
. m6 Z5 K! [6 h. o/ s+ r# _* W
" A9 n4 [, `+ Z+ N. {G(x,q)表示该级数中对称素数个数。& }/ G$ a7 l+ q x5 J
当 q=2^m,G(x,q)≥1/φ(q)*1.32*x/(ln x)^2 + O(√x/ln√x)。当 q=2^m 且x不能整除7 i" I) c2 d! \8 O
小于√x的奇素数时,G(x,q) =1/φ(q)*1.32*x/(ln x)^2 + O(√x/ln√x)。
$ x. K" N: [* j( ]# i4 X8 x当 q为奇数时,G(x,q)≥1/(φ(q)-1)*1.32*x/(ln x)^2 + O(√x/ln√x)。当 x=2^n 或x不能' E4 g% ]9 o2 m( z$ |9 S% k
整除小于√x的奇素数时,G(x,q) =1/(φ(q)-1)*1.32*x/(ln x)^2 + O(√x/ln√x)。/ k8 d6 c" {7 w4 W
当 q=2^m*j(j为奇数),G(x,q)≥1/φ(2^m)*(φ(j)-1)*1.32*x/(ln x)^2 + O(√x/ln√x)。当 8 u+ g3 I! V0 o" m2 |+ P s G* R- R
q=2^m*j 且x不能整除小于√x的奇素数时,G(x,q) =1/φ(2^m)*(φ(j)-1)*1.32*x/(ln x)^2 # D1 c4 {/ `$ o5 P& z
+ O(√x/ln√x)。" d3 a4 O3 C- y$ I+ t% R3 j S! R
' m) A& f# y6 Y# F6 r. {由此可见,当q=2,q=3或q=6时,G(x)=G(x,q)≥1.32*x/(ln x)^2 + O(√x/ln√x)。即哥德巴赫
+ r$ f S% G9 ?, c5 |& B" i猜想表达式。当q=2,q=3或q=6,且x=2^n 或x不能整除小于√x的奇素数时, G(x) =G(x,q)=! _ N1 d& ]% ~+ @
1.32*x/(ln x)^2 + O(√x/ln√x)。即哥德巴赫猜想表达式与孪生素数猜想表达式相同。1 M% d+ w3 B$ Z
当 q=1或2,即哥德巴赫猜想。. y b) ], [. x' P
7 I: L" m2 V; \( |- }$ {9 c9 aHardy曾说过:“如果哥德巴赫猜想有一天被证明,其方法应该类似于我和Littlewood 4 D. ~& N8 B; G7 j0 {$ N
的方法”,不是圆法无力,而是我们的分析工具不够。我们不是在原则上没有成功,而 , R5 _$ W. _5 d4 O2 Y/ r# B+ R7 |
是在细节上没有成功。” % e, k6 B, B% v( i+ C+ ?
+ k- r1 \" b3 m8 P; N' A" p证明哥德巴赫猜想最有效的两种方法圆法和筛法,现在只能逼近,无法成功。是方法的 5 j: E. ]0 x# m9 J1 ], i$ I
局限还是细节的疏忽?令人深思。
I8 n1 f" ]1 j8 n. O* \5 Y
4 h* |- Q; y/ P8 [1 T' t哥德巴赫猜想与孪生素数猜想同源。 ! f9 Q! o1 j. O2 E% W" t1 z7 ~4 c
8 f, M) T( \: \. t* p6 s
孪生素数猜想:世界上最远的距离,不是7000万到无穷大的距离,而是彼此相邻,却永
) e% w8 g& |4 r8 D s4 g/ M( N远无法走到一起。哥德巴赫猜想:世界上最远的距离,不是无穷大的距离,而是彼此相 $ y2 E+ i( d* I# s
对,却得不到社会的认可。
$ Q* J- ~' [/ F7 E2 n( \2 I
6 F* w y9 Z3 R0 J广义哥德巴赫猜想所提出的素数对称性定理,揭开了素数的对称性分布之谜。无序中的 ! x6 B0 }* A1 f* A7 P4 O4 d$ m
有序,有序中的无序。素数的对称性,才是哥德巴赫猜想的本质。问题的提出,也许比 0 ^$ H' X" A, [9 i9 t" q! b( E
解决问题本身更有价值。
9 F! L" M P5 P8 ^+ o+ Q6 c' x6 R, R7 o/ M- R
素数对称性定理的发现,犹如打开了素数分布的黑洞,过去对哥德巴赫猜想的所有证明 " B# i5 N9 C, F# m
,包括最好的证明(1+2),有可能变成废纸一张。也许这就是素数对称性定理不为人
6 B3 M+ ^( r$ ?7 E$ N/ Z: X" _6 U知的原因。
: i9 Z9 c; L F+ K' J4 O, L0 [2 O* Z/ U
一数学教授曾经对此定理作过预测:除非外国数学家首先提出,否则国内无人接受。
. ~# R6 a( r* H1 F. H) N, L+ j# o4 H' g6 y$ E* N5 J0 w
张益唐破译的弱孪生素数猜想,其实是广义孪生素数猜想中当q<3500万,2q<7000万 " T$ o( Q! [' v- B
的弱形式。q=1,即孪生素数猜想。对于数学家来说,7000万与7000并无质的差别。如同
/ i' t8 A0 |3 d8 ^9 ], M. q宇宙演化的历史,时间静止一般,一万年与一亿年也无质的差别。 % w$ s6 E2 \" C" R+ n
# N0 J9 e5 i/ a孪生素数猜想首先从广义孪生素数猜想取得突破,出乎数论学家的意料。哥德巴赫猜想
) G/ l# B& U; W$ m能否另辟蹊径,从广义哥德巴赫猜想取得重大进展,也未可知。
' Y; s! q5 Z$ j" Y* T4 w% }8 z7 q3 R, Y
素数对称性定理,无疑是一个惊人的发现。它不但揭示了素数对称性分布的普适性,而且
0 Q0 f2 @0 q4 R8 i揭示了哥德巴赫猜想与孪生素数猜想内在的同一性。 : |/ X# q# h- f# x5 e3 I; X
3 W2 l3 t' l9 {' R+ V8 X, i" X, ^4 u1 W7 l" K
附:关于算数数列中素数对称性定理的科普说明 ( G( T: e O" W
. p: y% C* i2 Z5 s' X; n/ k" a( y( [8 l( x7 q2 }' m* j
q=1,为自然数列。q=2,即奇数数列。
h Y2 @7 l( y. H' ]4 k/ X) k
4 j1 m+ ]6 V3 X+ zq=3,因为64=1+3k,取N/2=64,N=128。此时,能表示为1+1的素数个数最少。只需考察素 1 D5 C/ s% v7 N
数个数最少即可。
5 T, G$ G( Y5 n6 m0 ]1 B* D9 H首项为1,公差为3的1+3K数列为: 0 i2 ]& E$ Y1 D5 m
1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,55,58,61,64,67,70,73,76,
3 o/ N0 T: g, l0 X6 ]& R3 {9 f79,82,85,88,91,94,97,100,103,106,109,112,115,118,121,124,127。
7 m+ _$ I7 a1 f+ x! N5 t- ]当N/2 >φ(q)*q^2,即N/2 >18时,N >36时,128可表示为这个数列之中的两个素数之 & ^3 g7 B2 m( _5 P6 _) C
和。 7 d7 S/ c: y3 `3 r% ^! E, E0 K
128=19+109=31+97=61+67。共3对6个素数。
* e/ S$ u. q) I2 f8 Q2 j4 ]/ F& {$ C# E8 B( C9 d
q=3,因为62=2+3k,取N/2=62,N=124。此时,能表示为1+1的素数个数最少。
; o+ @; J, V* N& J首项为2,公差为3的2+3K数列为: % e2 L, m5 a) o3 k' t
5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44,47,50,53,56,59,62,65,68,71,74,77,80, 2 f* n2 B9 _( ?
83,86,89,92,95,98,101,104,107,110,113,116,119。
9 }3 X; w) A* M. L" i5 o; K当N/2 >φ(q)*q^2,即N/2 >18时,N >36时,124可表示为这个数列之中的两个素数之
7 x0 Z! X" ~) A* l和。
: y3 _! i( t. d9 L3 O: D# a+ s. w+ f124=11+113=17+107=23+101=41+83=53+71。共5对10个素数。 6 y0 I8 h5 r5 d* f8 H6 O" d' B
4 a* k1 n# R; Y9 Y/ g, y128以内的孪生素数对个数为:3,5,5,7,11,13,17,19,29,31,41,43,59,61,71,73,101,
5 ~# ~$ G/ P9 _* W" z- Q103,107,109。共10对孪生素数。 d. {) O# k Z+ B# k: j0 o
124以内的孪生素数对个数为:3,5,5,7,11,13,17,19,29,31,41,43,59,61,71,73,101,
3 j; _! ~4 N* p3 S4 ~103,107,109。共10对孪生素数。 3 H4 H' N/ F; B4 @
可见:
0 l7 ]/ ~" v7 m: @- l- l: x128可表示为该数列的两个素数之和,共3对6个素数。几乎等于10/(φ(q)-1)=10。
. d! O+ ^5 B- o9 `& |1 N124可表示为该数列的两个素数之和,共5对10个素数。等于10/(φ(q)-1)=10。
- ~& W: O% H( M
8 z$ f; Q* h+ N9 x2 v* _$ [, |# ^q=4=2^2,因为61=1+4k,取N/2=61,N=122。此时,能表示为1+1的素数个数最少。 4 F& w' ]! f" R- g3 ?! C& g' w
首项为1,公差为4的1+4K数列为: 3 N* ^4 m$ T9 Z$ w0 ?5 m" P
1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49,53,57,61,65,69,73,77,81,85,89,93,97,101, $ A+ l; |" M2 z
105,109,113,117,121。
3 N; @* x# ?7 B6 \0 [8 Y当N/2 >φ(q)*q^2,即N/2 >32时,N >64时,122可表示为这个数列之中的两个素数之 & k8 i- G6 N- y
和。
0 M1 r5 x; {4 s; p, d122=13+109=61+61。共2对3个素数。
/ i( d! F- Q4 U+ b. g9 |122以内的孪生素数对个数为:3,5,5,7,11,13,17,19,29,31,41,43,59,61,71,73,101, & x/ q+ K4 U# `6 R, U+ l
103,107,109。共10对孪生素数。 3 K' |2 T0 x7 I$ Z. u6 n0 X6 O
可见:122可表示为该数列的两个素数之和,共2对3个素数。几乎等于10/φ(q)=5。
+ o7 X* `2 K1 j& E4 L& b5 ^/ r5 g
$ R- Q3 E- s- ?( h2 n4 v- r. x& Aq=4=2^2,因为67=3+4k,取N/2=67,N=134。此时,能表示为1+1的素数个数最少。
+ C( z- _1 ^) A( W0 }3 @首项为3,公差为4的3+4K数列为: , l, x- X2 W$ P
3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59,63,67,71,75,79,83,87,91,95,99,103, 5 C0 r. \0 X/ w6 b
107,111,115,119,123,127,131。 ! b1 R1 \9 I% e
当N/2 >φ(q)*q^2,即N/2 >32时,N >64时,134可表示为这个数列之中的两个素数之
! c# Z) m2 n5 Q) T- e和。
% k. |9 P: Q. P1 A! ?* {134=3+131=7+127=31+103=67+67。共4对7个素数。 % O1 P3 N! S: Y/ e% r( @5 G% ]1 M
134以内的孪生素数对个数为:3,5,5,7,11,13,17,19,29,31,41,43,59,61,71,73,101, + O* T8 I2 X& x8 @! C* C4 g
103,107,109。共10对孪生素数。 ) R" S* |) ^5 [# I' y
可见:134可表示为该数列的两个素数之和,共4对7个素数。几乎等于10/φ(q)=5。
! \3 g2 e4 h. B' N$ q& U
0 X: b# q# e l+ H2 G! O$ xq=5,因为106=1+5k,取N/2=106,N=212。此时,能表示为1+1的素数个数最少。
3 ~# o3 `; W1 z$ B9 p首项为1,公差为5的1+5K数列(只列奇数)为:
/ S6 a, T1 x) p* Q! M& G; s$ ^1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,101,106,111,121,131,141,151,161,171,181,191,201, 9 g8 U3 C( }' W8 S
211。
7 I8 Y8 [1 b7 ^& C当N/2 >φ(q)*q^2,即N/2 >100时,N >200时,212可表示为这个数列之中的两个素数
* L6 m a( ^7 y/ l& a之和。
; o. H" G9 g/ g6 q8 J/ Y212=31+181=61+151。共2对4个素数。
6 C `3 ~* U) P212以内的孪生素数对个数为:3,5,5,7,11,13,17,19,29,31,41,43,59,61,71,73,101,
7 |; b$ }7 k/ Z% W, O; g$ ~! b M% |103,107,109,137,139,149,151,179,181,191,193,197,199共15对孪生素数。 % h- {# o( S# W5 a* N, e3 X
可见:212可表示为该数列的两个素数之和,共2对4个素数。几乎等于15/(φ(q)-1)= 9 B* S$ j6 D6 c8 N! n' I+ m8 C
5。 , C# v% N# K; [3 D6 e y/ A- Z$ T
* }8 @' w% v8 c' S: f& D结论:1 S: f8 ?2 m$ K* `, N
在首项L与公差q(L<q, q≥3)互素的等差级数中,对于该级数中的任一项x/2,x/2 >φ(q)*q^2,7 `; N# Y/ F4 E4 p2 M* Z. |
φ(q)为q的欧拉函数,至少有一对素数关于x/2对称。即:x可表示为该级数的2个素数之和。 6 E$ H1 d- j+ z$ V! A
% h8 W3 e! e+ z! i+ [ 5 ?- E6 ?; i' j: m
5 m3 k% \" |3 k5 s# v( T
% x: X: V9 D7 H) q+ C5 |5 f, v
: a) B7 j; Q; x( p3 a+ M3 C& P |
zan
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