中国学者提出广义哥德巴赫猜想

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中国学者提出广义哥德巴赫猜想


2013年5月，张益唐在哈佛大学作报告率先证明“弱孪生素数猜想”的同时，法国高等
' \& r2 r( a  D1 M6 t* J师范学校教授Harald Helfgott在网上间接证明了弱哥德巴赫猜想：任何一个大于7的奇
2 S, s( S  c( d( R8 w数都能被表示成三个奇素数之和，从而彻底解决了三素数定理。2013年，是世界数学界
+ [- I; y4 c) ^9 c+ M, h  h的素数年。

哥德巴赫猜想：任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和。

, E4 s+ X' `3 V$ t) q6 t: X中国一学者在10多年前就提出了广义哥德巴赫猜想：素数对称性定理。
& s- E/ ]& X+ @% v7 O8 Z
' k5 X& j, C* c8 G/ R& M2 K$ T定理如下：
0 m, k1 }- J& ^. q; Z6 l在首项L与公差q(L<q, q≥3)互素的等差级数中，对于该级数中的任一项x/2，x/2 >φ(q)*q^2，
φ(q)为q的欧拉函数，至少有一对素数关于x/2对称。即：x可表示为该级数的2个素数之和。

( r6 N/ D# x5 y/ X0 X. v% t6 ZG（x,q）表示该级数中对称素数个数。
当 q=2^m，G（x,q）≥1/φ(q)*1.32*x/(ln x)^2 + O（√x/ln√x)。当 q=2^m 且x不能整除
: ]( y& S" d( Y. [小于√x的奇素数时，G（x,q) =1/φ(q)*1.32*x/(ln x)^2 + O（√x/ln√x)。
, i; f+ ^2 @) C7 t当 q为奇数时，G（x,q）≥1/(φ(q)-1)*1.32*x/(ln x)^2 + O（√x/ln√x)。当 x=2^n 或x不能
整除小于√x的奇素数时，G（x,q) =1/(φ(q)-1)*1.32*x/(ln x)^2 + O（√x/ln√x)。
当 q=2^m*j(j为奇数)，G（x,q）≥1/φ(2^m)*(φ(j)-1)*1.32*x/(ln x)^2 + O（√x/ln√x)。当
5 F+ `% C# D. j7 {' eq=2^m*j 且x不能整除小于√x的奇素数时，G（x,q) =1/φ(2^m)*(φ(j)-1)*1.32*x/(ln x)^2
8 D+ r  x9 J& F2 Y9 x  y# V+ O（√x/ln√x)。
/ Y' a& P4 ~/ o- X5 }
6 b8 p/ |3 J- H8 {由此可见，当q=2，q=3或q=6时，G(x)=G（x,q)≥1.32*x/(ln x)^2 + O（√x/ln√x)。即哥德巴赫
. x3 d' p% Z  P: W3 }猜想表达式。当q=2，q=3或q=6，且x=2^n 或x不能整除小于√x的奇素数时, G(x) =G（x,q)=
1.32*x/(ln x)^2 + O（√x/ln√x)。即哥德巴赫猜想表达式与孪生素数猜想表达式相同。
$ O8 w1 A  X5 \$ a当 q=1或2，即哥德巴赫猜想。
* R. R% i% F, a0 t0 g
$ T4 A8 Q0 [, S3 v; q  J8 A6 LHardy曾说过：“如果哥德巴赫猜想有一天被证明，其方法应该类似于我和Littlewood
的方法”，不是圆法无力，而是我们的分析工具不够。我们不是在原则上没有成功，而
) w$ m0 ?+ n; p4 f( ~6 Q2 `/ G是在细节上没有成功。”
4 h- q5 m* \# v# k! X
) }$ D' h/ B$ K" x! k1 Z$ f证明哥德巴赫猜想最有效的两种方法圆法和筛法，现在只能逼近，无法成功。是方法的
局限还是细节的疏忽？令人深思。
4 |* ^; |, T' k+ G" m
7 M! ?  g- @4 |8 k/ Y哥德巴赫猜想与孪生素数猜想同源。
3 {6 _* w3 l  h- g+ t
孪生素数猜想：世界上最远的距离，不是7000万到无穷大的距离，而是彼此相邻，却永
+ {3 S( S* N/ x9 z9 \% A远无法走到一起。哥德巴赫猜想：世界上最远的距离，不是无穷大的距离，而是彼此相
对，却得不到社会的认可。

广义哥德巴赫猜想所提出的素数对称性定理，揭开了素数的对称性分布之谜。无序中的
有序，有序中的无序。素数的对称性，才是哥德巴赫猜想的本质。问题的提出，也许比
解决问题本身更有价值。

素数对称性定理的发现，犹如打开了素数分布的黑洞，过去对哥德巴赫猜想的所有证明
$ O, H& k# _8 `: i- a' |# ~，包括最好的证明（1+2），有可能变成废纸一张。也许这就是素数对称性定理不为人
, a8 z8 m6 J  V( T5 |2 _知的原因。
  j9 k$ I% y9 _5 r/ f) [) u
: x& D4 B- B" v& T1 p一数学教授曾经对此定理作过预测：除非外国数学家首先提出，否则国内无人接受。
3 P5 l0 d; |; ?6 T0 M) [- P
, }9 J& z) O. T( R2 o0 h+ b  ?张益唐破译的弱孪生素数猜想，其实是广义孪生素数猜想中当q＜3500万，2q＜7000万
的弱形式。q=1,即孪生素数猜想。对于数学家来说，7000万与7000并无质的差别。如同
宇宙演化的历史，时间静止一般，一万年与一亿年也无质的差别。
$ }( {% ]* a; J" n
孪生素数猜想首先从广义孪生素数猜想取得突破，出乎数论学家的意料。哥德巴赫猜想
能否另辟蹊径，从广义哥德巴赫猜想取得重大进展，也未可知。
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素数对称性定理，无疑是一个惊人的发现。它不但揭示了素数对称性分布的普适性，而且
+ v$ O4 G* b) U. `揭示了哥德巴赫猜想与孪生素数猜想内在的同一性。
6 q* j" ^" I1 A8 F

附：关于算数数列中素数对称性定理的科普说明
; u$ l+ G* v& J
0 Z, o) h& d& R, n7 i
! q; d2 y/ S; D, g* Z- q" f6 j5 bq=1，为自然数列。q=2，即奇数数列。
' f* m) Y+ W& i+ f' ^/ [7 _9 S- L4 B
8 c5 U, `$ i* c5 ^q=3，因为64=1+3k,取N/2=64,N=128。此时，能表示为1+1的素数个数最少。只需考察素
$ ~- \' K4 f* q+ W) P; v4 z/ T: s数个数最少即可。
首项为1，公差为3的1+3K数列为：
1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,55,58,61,64,67,70,73,76,
, X1 f3 g. |3 Z2 I) K5 a79,82,85,88,91,94,97,100,103,106,109,112,115,118,121,124,127。
当N/2 >φ(q)*q^2，即N/2 >18时，N >36时，128可表示为这个数列之中的两个素数之
和。
128=19+109=31+97=61+67。共3对6个素数。
; w' _% S2 Q' K7 y
0 m9 W1 }1 B6 F1 {3 s; @q=3，因为62=2+3k,取N/2=62,N=124。此时，能表示为1+1的素数个数最少。
8 }5 S" S, f7 G/ S' U* E! }+ S* f首项为2，公差为3的2+3K数列为：
8 r( ^* H& R3 {+ H* R. i5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44,47,50,53,56,59,62,65,68,71,74,77,80,
# [5 b/ I+ ~$ o83,86,89,92,95,98,101,104,107,110,113,116,119。
- q1 ~# l. L" H5 R- `. W0 C当N/2 >φ(q)*q^2，即N/2 >18时，N >36时，124可表示为这个数列之中的两个素数之
# P: {+ v0 P/ }& P2 }5 C* ]和。
  ?# w" J  l3 Y8 E$ \/ `9 y% D# d- ]124=11+113=17+107=23+101=41+83=53+71。共5对10个素数。
+ P( z$ A' d" I- b$ ]! A! s
128以内的孪生素数对个数为：3,5,5,7,11,13,17,19,29,31,41,43,59,61,71,73,101,
! \  O8 Q+ g9 Y103,107,109。共10对孪生素数。
124以内的孪生素数对个数为：3,5,5,7,11,13,17,19,29,31,41,43,59,61,71,73,101,
103,107,109。共10对孪生素数。
可见：
128可表示为该数列的两个素数之和，共3对6个素数。几乎等于10/（φ(q)-1）=10。
+ P9 i6 [4 s- g0 \2 x! O& r124可表示为该数列的两个素数之和，共5对10个素数。等于10/（φ(q)-1）=10。

' L; b% J" B! y1 H1 P$ ^) T9 Sq=4=2^2，因为61=1+4k,取N/2=61,N=122。此时，能表示为1+1的素数个数最少。
首项为1，公差为4的1+4K数列为：
) v0 {: g/ T9 `0 k$ a/ e2 D1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49,53,57,61,65,69,73,77,81,85,89,93,97,101,
105,109,113,117,121。
# Y5 f2 x2 @% Y# G% h; z& Q当N/2 >φ(q)*q^2，即N/2 >32时，N >64时,122可表示为这个数列之中的两个素数之
$ v2 f8 h- D; x和。
122=13+109=61+61。共2对3个素数。
4 u/ T  s, e# z" _5 {122以内的孪生素数对个数为：3,5,5,7,11,13,17,19,29,31,41,43,59,61,71,73,101,
. U3 C7 h% \5 h) {3 B; D8 G103,107,109。共10对孪生素数。
可见：122可表示为该数列的两个素数之和，共2对3个素数。几乎等于10/φ(q)=5。

& H% U  }% Z# n0 j# dq=4=2^2，因为67=3+4k,取N/2=67,N=134。此时，能表示为1+1的素数个数最少。
1 V8 X" g5 j7 w, S7 N/ [3 u首项为3，公差为4的3+4K数列为：
3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59,63,67,71,75,79,83,87,91,95,99,103,
& R4 D) _+ U' ]107,111,115,119,123,127,131。
8 N( ^2 E, o; Y& `$ W6 x& ~当N/2 >φ(q)*q^2，即N/2 >32时，N >64时,134可表示为这个数列之中的两个素数之
- x1 g9 W, }+ s0 l和。
134=3+131=7+127=31+103=67+67。共4对7个素数。
134以内的孪生素数对个数为：3,5,5,7,11,13,17,19,29,31,41,43,59,61,71,73,101,
103,107,109。共10对孪生素数。
- U8 v3 F" Q) C) U' p可见：134可表示为该数列的两个素数之和，共4对7个素数。几乎等于10/φ(q)=5。
- h. m, p% ~, }; {7 Y! Y+ A. A8 r3 I
# [8 S& F6 z4 C" h, L( Cq=5，因为106=1+5k，取N/2=106,N=212。此时，能表示为1+1的素数个数最少。
- R% n% ]; w& Y" j- f' l  ]首项为1，公差为5的1+5K数列（只列奇数）为：
1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,101,106,111,121,131,141,151,161,171,181,191,201,
  Q1 P# z+ C8 U' c5 z$ L- `211。
0 d5 _0 `, K3 v当N/2 >φ(q)*q^2，即N/2 >100时，N >200时，212可表示为这个数列之中的两个素数
2 W* y  v- t& m+ d5 ]( R0 u. k之和。
* R+ n# U/ c5 r1 N0 J212=31+181=61+151。共2对4个素数。
# o/ V+ P4 h( ~& x) t/ V* ^212以内的孪生素数对个数为：3,5,5,7,11,13,17,19,29,31,41,43,59,61,71,73,101,
103,107,109,137,139,149,151,179,181,191,193,197,199共15对孪生素数。
可见：212可表示为该数列的两个素数之和，共2对4个素数。几乎等于15/（φ(q)-1）=
' _1 L; `$ c7 I$ j0 z" X( s+ F5。

, F! y  H3 @: F' R: E, O结论：
# s- E/ V8 F" q7 T' }+ @在首项L与公差q(L<q, q≥3)互素的等差级数中，对于该级数中的任一项x/2，x/2 >φ(q)*q^2，
φ(q)为q的欧拉函数，至少有一对素数关于x/2对称。即：x可表示为该级数的2个素数之和。
8 H5 L5 R9 g3 }+ _+ S



  \; K, I4 S4 I' ~$ b' P

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素数对称性定理的发现，将引发数论界的一场论战！

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谁能最终走出只能逼近，无法成功的怪圈？
$ U" N# f+ U% k  
当陈证明（1+2）时，有人说：离皇冠上的明珠，只一步之遥。
当张证明7000万时，有人说，距离解决仅仅一个发丝的距离。
谁能最终走出只能逼近，无法成功的怪圈？
% g3 p' |, U0 `也许现在，也许几百年！

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Goldbach猜想成立，广义Goldbach猜想未必成立。广义Goldbach猜想成立，则Goldbach
; f8 ?1 B7 T3 Q3 A! V5 M* g: x猜想必成立。广义Goldbach猜想的本质其实就是素数对称性的不变性。Goldbach猜想只
4 v; B7 t5 d2 K1 T0 I& R$ a是素数对称性的特例。这就是二者的区别。
素数对称性的普适性之所以一直没有被发现，是因为算数级数中最小素数的上界还没有
% n9 d, C$ P: k6 c+ ~  q6 B3 v- V解决。
孪生素数猜想成立，广义孪生素数猜想未必成立。广义孪生素数猜想成立，孪生素数猜
+ w+ T. I, Q) o& P想必成立。这也是二者的区别。

shuluns

一数学教授曾经对此定理作过预测：除非外国数学家首先提出，否则国内无人接受。
9 c+ t: `( {' s2 ~0 Z+ E( S难道此预言会成真？

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判断是否是伪科学最简单而最有效的方法，就是直接将该定理否定。这样的高人至今还未出现。

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老zhang因证明弱孪生素数猜想获晨兴数学奖，小tao因证明素数等差数列可以任意长获fields奖。如果广义Goldbach猜想获证，会获什么奖？

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素数对称性定理，无疑是一个惊人的发现。它不但揭示了素数对称性分布的普适性，而且
揭示了哥德巴赫猜想与孪生素数猜想内在的同一性。

; z: ?" x: N7 s! ~' {/ h7 Z" M

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每天更新的Bounded gaps between primes

目前tao已确认到了5414。
; [+ y6 g  g  E, P
不过，早有人断言：不会突破16。

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声明：不论民科还是院士，谁能否定该定律，将以50万元酬谢。若三个月内无人应战，将给出哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的简洁证明。
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