合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

4 N" t0 y; A  i. J4 k6 a下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)
! A3 e* d7 k+ _7 r7 a% w
M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
8 i/ o; Y% B4 J% n  {- Q+ k例1：I=27
因为I=27除以2的整数商为13
4 a# @$ G0 o5 g# J) f2 G: g2 {则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
5 R. c3 h- S4 BM=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
, ]0 K+ f* g  T1 q* D- c当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
2 V) }1 v) b& m; _则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
+ Y6 D* g6 L  H* Z4 C(2*N+1)=(2*1+1)=3
$ {. W9 ~+ z+ z* \, _- {: D- |" V# u即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
% _3 e; G# b% z! |同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
7 a- w: f) F: K与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
8 r$ H. A2 n8 P例2：I=31
" W+ e  ?1 P6 ^  p2 F$ s8 h4 _因为I=31除以2的整数商为15
; k5 A) x. ]& ^2 S则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
4 g0 x: d* Z+ i当N=1、2、3、4、5、6时
; M" i6 l+ q5 u& d& z; S- w没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
! ?& o6 z1 o3 T+ m1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

# @8 b  H3 k; l# f+ j7 H+ E: a3 O*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
2 |/ \2 u# Q. M$ M  Z' W- c
下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
) ^" o5 y( F* Y+ A: J先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
) e4 A( p. w8 s2 n/ Q(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
T=33333333377
  ^% B' t8 y- ~  e- [7 |2 k6 F4 oT=33333333407
  X=3030303037
  Y=11
+ Z& m' P# S5 Y: e- X- [" \# g9 E  X=628930819
& o. }3 G- b3 ?0 J+ N/ S  Y=53
  X=57175529
  Y=583
T=33333333437
  X=254452927
$ ^# I3 _. Z0 [) z& X1 Q$ S! _  Y=131
* f& }4 o' p; T" ]  X=16347883
  Y=2039
  X=267109
7 _! a2 g' H' a! @5 n) a4 s& s0 g  Y=124793
T=33333333467
  X=4761904781
  Y=7
  X=709219861
  Y=47
  X=311526481
  Y=107
  X=138312587
. l5 ^7 l* L& x  Y=241
  X=101317123
8 ]5 R0 Z4 C5 c6 w, ?2 `6 {# R  Y=329
  X=44503783
6 J! O7 W) s7 [3 N4 b( k  Y=749
8 i1 s1 E4 q9 N* J/ Q  X=19758941
8 ]. ^& T/ u7 d  Y=1687
- _  D' Y( }' H; {  X=8483923
  Y=3929
5 ?# r0 h, H- M1 g- b0 M  X=6628223
  Y=5029
  X=2942821
/ ]- Y2 c, ^( T1 R1 l  Y=11327
  X=1292641
9 g! P4 ^! ?* {. j3 q5 [  Y=25787
  X=1211989
  Y=27503
  X=946889
  Y=35203
) w9 l  j5 o, S  |; M  X=420403
5 Z1 m* J, \. {, _  Y=79289
# q4 Z8 e) l( E7 [% z- i6 b  X=184663
. a- k5 R; T# r+ I  Y=180509
$ N8 k/ Z9 ~9 C0 j% v" Y……
T=33333335867
  X=2564102759
  Y=13
+ V- b! Z: O; E9 `, h9 iT=33333335897
  X=2886253
$ J  w+ T" [  r# R7 N: r$ E  Y=11549
- m& s" E) k( IT=33333335927
2 G8 B- Y( G" F' t. E- ?  X=900900971
, @; e( F5 E$ W; `, x4 Y  Y=37
  X=1191881
9 _0 G, n6 u0 v1 u  Y=27967
  X=1034779
, X# L) f& d! H& ^% ?) k  Y=32213
T=33333335957
$ I% B% F' L) X6 Q( n  X=1754386103
  Y=19
T=33333335987
; P- Q+ P( f* {' ~7 X4 e  X=4761905141
  }$ S  G" V& P+ p  R+ r! A  Y=7
* N3 E$ Q5 ^) K  X=680272163
  Y=49
合计：89个
1 z; A  V7 M) c* x/ \; Y6 b    素数：11个
* y- [- e+ g/ Y& \    合数：78个

若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
* J$ Y2 Z4 ?7 k1 q4 c5 T& uT=33333333347
T=33333333377
T=33333333647
T=33333333827
) P% B5 Y9 w) c+ j  \) ?T=33333333857
& m  P9 G4 A) y0 v! t. w8 `0 VT=33333334007
T=33333334487
- H& ]6 @: I1 DT=33333334907
T=33333335027
T=33333335177
T=33333335657
0 k2 P  \: X* ~, q1 P素数：11个
6 M$ a& |! X: D, }
# F" R0 x& B6 [2 N! W* I*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
; j! ?& H3 |1 H+ l& o! I
用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
  Y  N# E8 |% L2 `/ c8 ]输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
" V  F* ^& G( `0 _. n! E输出：
* z/ w6 J% ~1 l4 D* f34有1对
   (11,23)
6 l% \. g9 ?3 z5 P+ E6 [2 ]64有2对
) P3 h% ?4 `4 j+ }3 \   (11,53)
   (41,23)
94有3对
+ q6 f" x, v& a   (11,83)
   (41,53)
   (71,23)
7 A2 \$ P% y( J( n) d$ F2 {124有4对
/ M0 }  y6 j" w( @1 |" A' x   (11,113)
6 R  `, a& A, y& z0 q- {   (41,83)
   (71,53)
   (101,23)
& t0 s: A/ G5 ?% E4 T, O154有4对
   (41,113)
1 x2 r5 F$ Y+ ~* z   (71,83)
3 h1 y) N$ }9 s' N! T8 m  l   (101,53)
   (131,23)
184有4对
* n" e1 u4 S) Z! |- A2 K   (11,173)
   (71,113)
   (101,83)
   (131,53)
214有4对
3 g7 a  E7 C  a" U) ~   (41,173)
/ `  Y; {9 Z8 y2 @1 V  h   (101,113)
! a. Z  b. _! R* i! v7 Q   (131,83)
4 G8 Q1 R4 Q$ g   (191,23)
……
! m' D* i3 V" s( b4 S5 ?4 Z3324有24对
   (73,3251)
7 i( d# {  H0 [! e8 p8 F  C* \: g: a1 F   (103,3221)
   (283,3041)
( D2 K2 O& b8 a$ |   (313,3011)
/ O: j/ i3 D4 c# {   (463,2861)
  p9 Z1 ?" `* i7 Q0 ]   (523,2801)
   (613,2711)
; B3 N! k# z/ q5 t   (733,2591)
2 P7 r5 I' A. C- a, X& K6 T4 M   (883,2441)
. i& o) k9 q  \) p" z) ?, |- S   (1213,2111)
   (1423,1901)
& \1 e/ ~  @5 S) W5 q7 x& U+ @   (1453,1871)
$ i4 c6 _, D, G3 {! g: O. o   (1723,1601)
7 q8 h! X8 l+ H% u   (1753,1571)
   (1873,1451)
   (2143,1181)
   (2293,1031)
   (2383,941)
   (2503,821)
+ Z. E, t) ^3 r( v% f' g" F3 Q   (2683,641)
( Z+ h5 N  O; V- g5 q; |3 A   (2803,521)
   (2833,491)
   (3253,71)
   (3313,11)

# |% t1 i7 A6 p  B" y*使用21号程序：寻找孪生素数对

! V4 N9 m, X1 M6 k用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
' R) [' {- z( r( A. l9 b& ^在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
. ~% H" w5 G+ @) G0 W输出：
/ j5 p( G" Q. r  m3333334391,3333334393
' O8 X* P. A  g3333335771,3333335773
3333336701,3333336703
3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
3333339701,3333339703
9 O& a, W1 j7 B( x3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
3333342581,3333342583
/ n: }) {1 `0 T* y* @' m6 ?3333343421,3333343423
3333345011,3333345013
3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
3333350261,3333350263
3333350651,3333350653
$ g7 x; Y6 @3 X- O  j3333351641,3333351643
/ |' F! M# f+ G# T8 W# R3333353531,3333353533
6 q7 t- L) l' g& b8 Q3333355601,3333355603
# y" x* L% s( ~* d* N3333358211,3333358213
! a, W: a; L5 c( ?  S3333358361,3333358363
3333358781,3333358783
3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
3 u5 g% z# v5 z1 `- F- ?3333359831,3333359833
共有26对
) U8 D0 O* P! t4 R: {! r