合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)
$ o" n: i1 H1 m  r5 m
- n3 T  ~& Z0 J5 DM=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
因为I=27除以2的整数商为13
& B. a  x; Y8 _* U7 M则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
* ^8 V$ C* H7 N( z7 A, |) s5 O( G则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
(2*N+1)=(2*1+1)=3
即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
. ?+ x4 Z& L  L  s9 N  d: {即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
) d: {% h# u7 N$ m(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
例2：I=31
7 N* Y8 ?' {3 Z4 e: ~9 F  ^+ d8 b  I因为I=31除以2的整数商为15
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
: Q+ s" i3 v& t' S- uM=(15-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
! s( o9 v6 w1 I$ f/ }4 W当N=1、2、3、4、5、6时
9 U+ e3 r  P, |' }* n, B没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数
" @6 X4 C" G3 W1 w! t" a" _
*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
* R/ y( x0 ?6 V* ?% e
下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
) m8 b7 B6 {+ O5 a! ^) R+ ^先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
- q7 t0 A, A! g! oT=33333333377
T=33333333407
. w) U7 k# e, ~, H7 c$ _/ d2 j& B9 h1 d  X=3030303037
! j( S5 X- c4 ~" b( W' e5 w  Y=11
  X=628930819
  Y=53
  X=57175529
  Y=583
4 F6 ^6 G6 S- y% P5 vT=33333333437
  X=254452927
  Y=131
/ S( H( Q% S9 G% q4 P' N6 {  X=16347883
  Y=2039
' S9 s  v5 [5 L  B/ v  X=267109
  Y=124793
T=33333333467
  X=4761904781
  Y=7
  X=709219861
  Y=47
2 Q& @8 D* B% I2 ]; P6 R! ?2 h$ ]2 Q  X=311526481
1 j. N$ S. X3 \$ O/ Z# g/ V2 j; o; p  Y=107
  X=138312587
0 y! o" Y% u/ N. G7 v5 C6 G  Y=241
) L% k/ O  I5 D: P3 r  X=101317123
# h. y  u  O) w; I5 Y$ f  Y=329
  X=44503783
  Y=749
  X=19758941
  Y=1687
4 D% y4 b5 B1 a+ f  X=8483923
  Y=3929
- r" x  m! l! @; L  X=6628223
6 `+ l; X' U& B0 G( F% {  Y=5029
7 h0 F6 c8 c: s$ m. Y" T" a& \8 R  X=2942821
  Y=11327
+ n! e2 J$ a% b, s! q4 l5 D6 j  X=1292641
# q" V& H1 W' j- D. t8 n8 w( j  Y=25787
  X=1211989
  Y=27503
. Y0 S: _/ R3 a( |) M  X=946889
% H! K3 E/ I& B' E5 g4 ]  Y=35203
/ U) D/ R; h# I3 Q. Q  X=420403
8 U* F% w' G" U) F9 ?  |% M# }  Y=79289
  X=184663
  Y=180509
……
/ D! b0 j* h& x4 PT=33333335867
  X=2564102759
  Y=13
9 T3 n  K, \  k% k) ^( ST=33333335897
( d& x: m& j. [1 _$ z  X=2886253
  Y=11549
, z# M* D8 b& r! J* XT=33333335927
  X=900900971
+ T: b& Q8 M" L6 q8 l5 H  Y=37
' ?' U  s6 p- G  X=1191881
0 F* x+ E* c( ?! c  Y=27967
1 e" A% O" `8 V; w  X=1034779
  Y=32213
6 s* A7 l- w4 ~/ XT=33333335957
4 Q' [' |' f4 A' `) f! v  X=1754386103
8 d/ o% G: \4 V; J% a# l& o  Y=19
T=33333335987
) b" H) P. D0 \+ ?3 F7 C( O  X=4761905141
  Y=7
. H8 j0 r" d7 _( A  X=680272163
  Y=49
合计：89个
/ y* t4 i4 o0 \, y    素数：11个
    合数：78个

若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
9 [  V: ^6 P- q' ?" k即：
T=33333333347
T=33333333377
7 i) e& A- C7 U5 ^- V) _' LT=33333333647
" i8 W1 m- R0 s! xT=33333333827
T=33333333857
T=33333334007
T=33333334487
T=33333334907
  I! [4 r( O9 K4 g; r# h% nT=33333335027
T=33333335177
T=33333335657
素数：11个

" Z) U. A! y/ |*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
! g" B2 H9 |2 p7 S6 g; t+ k* Z
5 i! F  n0 s8 k2 x用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
输出：
34有1对
7 X$ q* b5 ]# Z( Q' X   (11,23)
64有2对
/ i+ S5 Q, \+ X6 w$ Q   (11,53)
   (41,23)
94有3对
   (11,83)
9 Y( I' s8 s1 I2 J1 W4 w   (41,53)
   (71,23)
8 X% ^) B- w: |7 s6 _4 E124有4对
   (11,113)
   (41,83)
   (71,53)
! v* r  [$ s6 ^   (101,23)
154有4对
; l. E( i$ d% M# P   (41,113)
5 d5 P% f% S- p" O; a  P   (71,83)
' v6 j) h9 S: K1 n7 H, U$ e: I   (101,53)
, f2 I- M- W  ^7 y" x   (131,23)
5 X3 f! m; E, k3 h$ v184有4对
   (11,173)
1 Z" t% G' R8 {" \   (71,113)
   (101,83)
5 ], {) y0 m! w0 u; c   (131,53)
: b" H4 Z* G0 ~2 a. c$ f214有4对
$ Q9 W% f- i. y! {  g4 y   (41,173)
. ]) m6 }# E  m- M/ e% ~   (101,113)
. b1 P1 }4 e+ o4 L" A   (131,83)
   (191,23)
  U* g/ t0 f7 R% V……
3324有24对
* ~1 Q! m8 X) j/ v  p" q   (73,3251)
6 Z/ l8 m0 Q( h& H1 k1 {4 F1 }/ ?   (103,3221)
   (283,3041)
8 B& r1 W& w" N4 b& l. P1 e   (313,3011)
9 ^  `2 G4 `  b   (463,2861)
8 X) P! i* \+ B$ T5 s4 @   (523,2801)
3 A; d. f! I' K7 I7 c( y5 U   (613,2711)
   (733,2591)
   (883,2441)
/ h+ j9 g7 q' Y- o' Z% q   (1213,2111)
) ]0 t1 W4 S6 H& g   (1423,1901)
   (1453,1871)
$ H: L% @$ x% w: H  V) G   (1723,1601)
   (1753,1571)
! `; f- _& d2 m   (1873,1451)
   (2143,1181)
$ V5 X6 u4 v" L8 U   (2293,1031)
# Y% V" c7 s' s   (2383,941)
   (2503,821)
   (2683,641)
" \3 D+ N' K: M9 `   (2803,521)
   (2833,491)
2 L+ _! z) D6 ~# K   (3253,71)
   (3313,11)
- D% ?3 A2 S8 q1 a
# K6 s2 _2 j  U*使用21号程序：寻找孪生素数对
! _$ k* D. ^# @) h, X
用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
/ e; g9 h, A7 i3 [在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
输出：
3333334391,3333334393
; Y' m" S, }2 \6 w$ T  a3333335771,3333335773
3333336701,3333336703
/ f; x& L4 k  `3 u* L7 `8 `! _3333337661,3333337663
; w4 u& O  p8 m3 V+ M3333338711,3333338713
7 n/ B% v8 h; `0 _9 g3333339701,3333339703
8 a' U) |$ r. }. H( Y/ i3333340391,3333340393
, e) T' \: a5 Y4 l$ `2 P3333342401,3333342403
3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
3333345011,3333345013
* Q. o& M. }, o6 `8 F3333346061,3333346063
) Z5 r# w, x2 X4 G3 i3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
3333350261,3333350263
3333350651,3333350653
: b4 O* M0 C9 E" ~7 f9 O( L3333351641,3333351643
( s) ~/ a! D$ h9 d3333353531,3333353533
) o# @8 b- x" s) C$ U: d% E1 D3333355601,3333355603
2 K  ?, i- J" o) \3333358211,3333358213
3333358361,3333358363
3333358781,3333358783
" r) D) M( a0 Q. _3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
7 u; e3 `$ F3 \* ]3333359831,3333359833
共有26对
" v: L# d- r9 t