合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

" _8 f1 ?3 L* U1 g7 q' E  u下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
8 Q' ^! S8 b3 D! g2 T, `' l6 G例1：I=27
" M- }! P4 D+ s, W+ R! g因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
6 L1 [, ^* S1 o- N8 }# xM=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
2 c7 z* p! ?/ H: c6 Z+ F则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
; a5 q. t+ ~! M2 e: B/ Y% Z' G(2*N+1)=(2*1+1)=3
即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
) Q7 J$ _- @5 `1 f  Y同理：当N=2、3、4、5、6时
5 w* K. k$ d# g, W只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
' R; S9 h! A: c; H  G+ N$ X例2：I=31
, \) e! S" M5 M4 `% l! f$ A因为I=31除以2的整数商为15
5 G( l# n% R, f则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
  K# G3 R9 I2 D, A& L5 j% q: NN的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
2 J% a$ K: e: K# z$ P当N=1、2、3、4、5、6时
4 ?( N/ t" }# [没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
+ ~7 F  \& m& J( ]% W1 T数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
8 m1 s; y4 V4 @9 ]# E: r1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
- p6 i, z; h  [# C. ?1 }2、精确计算哥猜数对
$ O1 h# N* G! l7 e, ^# z3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

. z/ L& O  z& i*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。

6 P7 k( W: r& C" ^8 f: ~下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
+ l8 d4 |* p) x输入：
# q- q& c# [  }$ [! E; _! f用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
" F' ^& u+ G7 f: z6 C  j1 a! h先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
7 j" n$ H/ p6 K(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
T=33333333377
. [' {4 F* |$ ~T=33333333407
4 ]3 r; P  ?: w* L/ S/ T# x* N) E8 d  X=3030303037
  Y=11
  X=628930819
0 M8 @5 w7 d, h  Y=53
3 Z( Q* U9 V  ?  X=57175529
  Y=583
& o5 X, E' E; Y5 eT=33333333437
  X=254452927
  Y=131
6 R! J' m4 M! a/ f  {4 O" Z6 L  X=16347883
1 m$ h; w2 v: I( T  R, V, T0 l, a  Y=2039
" \; @9 Y' V" h& L7 c4 _) }  X=267109
( S1 ]% y( g3 F/ m  Y=124793
T=33333333467
  X=4761904781
% Q, I. ~6 i; ?& Z* [( V  Y=7
4 @/ {) B2 d0 R  X=709219861
  Y=47
) h/ ~/ S& E* V2 l+ b& m1 @  X=311526481
/ K1 C- F3 \1 `5 f( c& o  Y=107
  X=138312587
) q9 C0 z4 X6 U( p  o2 i1 m- m2 J  Y=241
  X=101317123
  Y=329
1 m8 x6 a: n1 U( ^- i  X=44503783
' Z5 F: s( q) T* U* r' Z' N9 h6 k  Y=749
  X=19758941
  Y=1687
3 r* \; I5 ]$ e- O3 M  X=8483923
  Y=3929
: A( L& o6 z: z0 n5 \  X=6628223
  Y=5029
! @/ b+ ~7 E! m4 M# O7 _- j  X=2942821
  Y=11327
  X=1292641
7 r8 C: b3 t+ r5 A5 L7 h  Y=25787
9 t' T$ [5 z8 S  X=1211989
  Y=27503
  X=946889
5 S3 }; Y! [# ?% V6 q! V0 _4 c  Y=35203
& `) v: h7 T' U$ [+ ?- K  f  X=420403
  Y=79289
  X=184663
7 g0 L0 n; P" F0 u# A% {& I/ s  Y=180509
: s- B; w0 A4 G2 A$ k1 Z; ]……
T=33333335867
  X=2564102759
2 Y  d! ]' ?5 g  Y=13
T=33333335897
7 t" j( Q" t5 p& @1 N4 J' o  X=2886253
  Y=11549
& _- a; L1 G7 o/ Y( }% TT=33333335927
  X=900900971
9 d' r+ l9 g( c" \4 u  Y=37
  X=1191881
  Y=27967
  X=1034779
4 {4 g, A2 l* D: A: f+ D  Y=32213
; G2 X0 }  y" c/ PT=33333335957
  X=1754386103
  Y=19
T=33333335987
7 E  N, u! v7 K5 a4 X" }5 E  X=4761905141
  Y=7
  X=680272163
$ P" g: Y( Q% B5 }7 @( t  Y=49
合计：89个
    素数：11个
7 n* A2 b) {( s3 g+ t    合数：78个
% k) l2 n% }% i$ H. f. H5 ?+ C3 t3 h
4 a6 _' G5 L5 c. q1 X6 A9 {" ?若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
- b, T, G0 n7 a" B2 @T=33333333347
T=33333333377
6 Q0 f) e, _8 ]" i: q% bT=33333333647
/ r5 s5 o  @0 N/ t7 ?5 I9 A& CT=33333333827
. l+ M; v4 B  v( Q. RT=33333333857
T=33333334007
T=33333334487
  p4 W, Z& s3 d6 v: O: |- PT=33333334907
T=33333335027
/ Y4 b6 o  X3 V3 Q$ y* t+ h: d6 bT=33333335177
T=33333335657
  |( X, L  V; h, s6 N! }4 a8 H素数：11个

" b9 s1 u; U1 e1 n. r*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
* |3 V8 ~0 v) F$ [& E# O
9 Y# c1 A& W0 x1 \* e' E+ U用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
输出：
7 N4 T$ p4 i+ B$ z34有1对
* z# m5 ]( @( h5 c* H# x   (11,23)
64有2对
9 @9 F; U* U9 ~% M( n$ k1 k   (11,53)
   (41,23)
8 ]2 d3 B  K+ S5 E+ B94有3对
   (11,83)
/ U# N2 K% G& F' W. u   (41,53)
8 J" v: Y/ X; V   (71,23)
124有4对
   (11,113)
1 L( @" O0 @, p: _; `8 v% F   (41,83)
) A3 N) ~# l. }5 W" Z   (71,53)
   (101,23)
154有4对
   (41,113)
6 w! J6 A% D1 [( @6 i   (71,83)
   (101,53)
   (131,23)
184有4对
   (11,173)
: o: S2 C( v' W9 \2 X1 A, J% j  B   (71,113)
   (101,83)
. o% E! @; ~) e, c4 F8 S   (131,53)
: G' X+ B! L( X3 W214有4对
8 N- p2 ~4 `1 T3 {4 C$ k) ^0 P6 E   (41,173)
2 ]' h# V0 r4 u% G- S7 j0 K; I) t   (101,113)
   (131,83)
   (191,23)
……
3324有24对
" O: |3 q* i! B& h   (73,3251)
   (103,3221)
   (283,3041)
   (313,3011)
   (463,2861)
0 v6 M4 [( M! A, b+ t9 I   (523,2801)
   (613,2711)
! k% W9 F9 T$ l  \4 E% M& S# Z   (733,2591)
2 c! z& Q/ m! I$ ]$ o. u6 |   (883,2441)
% j* l8 [; T7 y+ V5 |8 `) Z0 [- g& n   (1213,2111)
   (1423,1901)
   (1453,1871)
   (1723,1601)
4 Y6 T% B( M& [# m& K+ A, O% E   (1753,1571)
   (1873,1451)
   (2143,1181)
   (2293,1031)
  Y4 o# p: L/ _7 ]2 l# O# d   (2383,941)
   (2503,821)
   (2683,641)
8 i# e6 f, r; m5 f   (2803,521)
) J# ~! J: q3 _& m8 d   (2833,491)
9 X; l' i: {. ~- }   (3253,71)
. m' ~% n  H; H/ a* S. m   (3313,11)

' H$ ^5 k8 m6 Y9 m2 U" g( p1 I8 f*使用21号程序：寻找孪生素数对
( j# q" D' v: C3 I7 r% W
用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
输出：
3333334391,3333334393
7 h. H/ Z* R$ w: Q+ K' M3333335771,3333335773
3333336701,3333336703
3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
/ N3 D. H9 m1 y& C5 ], }) w! x: ~3333339701,3333339703
! ]% w/ {3 \# M% S$ I3333340391,3333340393
8 m/ s% r1 Z) r6 |: x- y3333342401,3333342403
3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
3333345011,3333345013
' Y- Q$ N/ L* |, [/ l. b3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
1 F% b1 B8 X8 a# e  _3333349751,3333349753
6 I5 {% J# x+ |' M. S6 j1 y3333350201,3333350203
/ J  a6 ~4 H1 s1 V1 K3333350261,3333350263
3333350651,3333350653
5 q& |+ s7 E2 w7 w8 L3333351641,3333351643
3333353531,3333353533
& K5 e" R: s" b0 ?$ Y3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
3333358361,3333358363
3333358781,3333358783
3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
共有26对

$ z, P& b0 {4 B/ o" k. T* h$ z