合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

3 {8 m! m  y! a# r4 v8 b下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
' T) f' _' K3 s: o6 l+ j. \; r' n因为I=27除以2的整数商为13
$ h# I2 H, J% s% C- B3 _则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
( M# b  y# A( u: y* F# dN的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
0 Q! m+ i" t! M6 r( v% M. K' L; N则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
9 q& ?8 R' q  i: h(2*N+1)=(2*1+1)=3
( l  d- _- B/ W( @1 A% _& P即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
1 M$ I* \$ u' L& f0 X* l+ `  G同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
7 Y' C2 N0 S* g, {- A* Z(2*N+1)=(2*4+1)=9
$ I, A  h( a/ v, w与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
: ^" X3 r* A* D0 C; R7 z则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
. w  g$ Z* T/ d- p3 ~" n5 x/ @4 Z8 \当N=1、2、3、4、5、6时
没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
( Q( M" l1 ~5 Z4 J" Z4 X数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
5 a1 v- N8 Q' {6 N" w: p! u1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数
' w- I& |5 s/ z3 m, h. s" G
*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
- t* X0 t% a% t. J" [2 i2 f
下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
% e0 L' p& a5 j, R3 [9 P' @输入：
5 a3 G" Z" j  g& |用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
T=33333333377
! y7 O0 w! R; w0 F  Z  o2 q* iT=33333333407
6 n2 u0 i( I+ n( r* I7 R+ a, \9 w  X=3030303037
  Y=11
  X=628930819
  Y=53
  X=57175529
  Y=583
; U9 m0 I* s1 H1 dT=33333333437
' K, C" M" L$ m! K  X=254452927
  Y=131
. C4 @  I# e0 r! [  X=16347883
" S0 u6 k% O3 F  O& v9 M6 K  Y=2039
  X=267109
  Y=124793
T=33333333467
; h: \# D+ k& @" d' B  X=4761904781
. y* E& S/ m  F; b) t  Q  Y=7
  X=709219861
; t( g# ^4 I7 p+ f. U+ z9 ~  Y=47
  X=311526481
, O1 g  c* t1 M; e  Y=107
7 n2 ^9 |# e6 }2 w1 G  X=138312587
* ]- q, Z( l  K: b8 J  R  Y=241
  X=101317123
" s1 W# m5 _& q) _$ G+ W% K# N  Y=329
* f. \3 P7 ]: e8 h+ C  X=44503783
  Y=749
5 v) \2 h! E% Z" w5 j0 q4 i  X=19758941
  Y=1687
  X=8483923
% R# q( S% h  P6 y; S0 X  Y=3929
' `! d$ B2 S  E* i1 X* o  X=6628223
  Y=5029
  X=2942821
" |" m  ^) p5 e  Y=11327
  X=1292641
  ?# n! ]3 \" Q$ p; O2 X" c  Y=25787
  X=1211989
  h2 u8 ~  A& `3 _! G  Y=27503
  X=946889
  Y=35203
  X=420403
  Y=79289
8 w* u0 B0 Q* L; K3 M  X=184663
  Y=180509
……
T=33333335867
  X=2564102759
  Y=13
T=33333335897
% p; @$ M3 Y8 j/ N2 D$ {  X=2886253
( ^% Y& X; H$ a7 ]% M: Y$ {) k  Y=11549
T=33333335927
- D# _, c* Q0 ~/ p1 C  X=900900971
  Y=37
" }. Y" f  Y! o  X=1191881
3 }' E0 a. }6 O% ]5 w5 O  Y=27967
  X=1034779
9 q5 t+ d- y$ g' v4 V  Y=32213
T=33333335957
  X=1754386103
4 f3 W3 E  Z% {+ `& ?1 w  Y=19
/ v/ i0 G) z. I* O! ]T=33333335987
  X=4761905141
  Y=7
: X- h  S$ d& k/ ]' u' Y  X=680272163
  Y=49
合计：89个
    素数：11个
7 U$ Q& Z& r/ R  j& [4 V( A    合数：78个
5 M: g! R1 D5 o' z$ v6 r. N
4 w8 N0 q; F& s7 c8 D/ Q/ ?若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
( U" C- n7 G, I即：
T=33333333347
  e: L$ {7 X3 B  KT=33333333377
6 B9 Y, D3 `& y" t: s: CT=33333333647
8 Q( s! P- S. P8 g5 w- I1 DT=33333333827
T=33333333857
T=33333334007
+ N1 [: i, Q1 m3 S0 M/ r1 c2 qT=33333334487
( S9 b- ^, D% L* L9 }; I" cT=33333334907
; p7 F$ I7 O8 e4 @T=33333335027
T=33333335177
! ]) M3 |! g. |% y. Y* B- @, A. ^/ eT=33333335657
素数：11个

*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
% B: S; C& k4 ?9 W# ^, Q
2 @; J6 u: J3 i用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
, o, Z1 [( P6 u. v' l' R& f输出：
! d: y, S" G& U! }% x/ k' u34有1对
   (11,23)
64有2对
& j0 D# c# v2 ]: G# \   (11,53)
& h% V( _; E* W+ Z6 L9 V2 j% U  M   (41,23)
  T" O% ^; ]& E! s: j94有3对
" R. z6 e/ ~. i+ W   (11,83)
   (41,53)
0 d& v, T1 l0 d3 C   (71,23)
124有4对
& R$ A4 U# z7 J   (11,113)
: [; B1 m6 K. }6 |, G   (41,83)
0 E4 r: ]: o7 I2 J, y" ~$ z/ A   (71,53)
, ]: ~0 a; R3 A+ q" S  ~! X* Y   (101,23)
154有4对
   (41,113)
   (71,83)
& ~4 T: Y4 d7 g  a! Q' V" b3 X   (101,53)
   (131,23)
! e2 d4 {# [9 C1 k  m# ^184有4对
& r/ q# D1 F% E2 T! p  U; M2 B   (11,173)
   (71,113)
   (101,83)
6 S# m( o. b  y7 q* V7 J   (131,53)
: t7 b% p4 ~- t214有4对
: I7 f# a8 d8 \$ Y  Z# u   (41,173)
   (101,113)
# n4 ^/ W% Z; f+ E# ]' {   (131,83)
7 [' F8 e6 t+ u3 n' l   (191,23)
4 j! A( a* [0 M: t! ]" \* J……
% u7 g! F6 d& O! ?5 I3324有24对
   (73,3251)
) V" r! F4 `+ D% p! S6 t, d: W   (103,3221)
5 ~! ~' h% `* g  |1 y   (283,3041)
( Q2 {2 }1 B5 g& ^3 \$ w   (313,3011)
   (463,2861)
; x% z) h8 D7 Z5 h% n- y- F, F4 K8 I   (523,2801)
   (613,2711)
+ ]! z8 X5 T1 v/ N  m9 U6 Q   (733,2591)
   (883,2441)
   (1213,2111)
9 A: K$ N2 b* h% E- u4 s  R   (1423,1901)
' z% M2 _' i+ E4 _- [   (1453,1871)
! L  L$ \' H5 Y0 e   (1723,1601)
& K+ Z* {" q% s   (1753,1571)
   (1873,1451)
   (2143,1181)
1 p/ X; o9 f, i5 [  z$ ^   (2293,1031)
$ c7 e1 \5 _- b: d" \# w- f   (2383,941)
   (2503,821)
- @/ g7 O1 M2 o+ W, z. Q   (2683,641)
   (2803,521)
9 A! ?% J3 l9 C7 t1 V, t   (2833,491)
+ q9 f, ^2 m+ Z) c   (3253,71)
( H! [6 |8 W- j6 ~% {   (3313,11)

*使用21号程序：寻找孪生素数对

用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
9 s' Z8 j' K5 a* O' X& R输出：
3333334391,3333334393
3333335771,3333335773
3333336701,3333336703
3333337661,3333337663
( y4 ~: I* C$ q5 G1 F& ]: x3333338711,3333338713
3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
# ^1 Q& M" v$ {9 a8 B4 w5 \3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
3333345011,3333345013
: U# Q& U7 a5 o+ Y# ]3333346061,3333346063
) @( s0 c- v$ l9 T1 e: \# x) M3333346571,3333346573
0 o, V7 p# }1 e3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
3333350261,3333350263
3 y+ E  A  d1 n$ a5 V: u9 C' |3333350651,3333350653
+ B" Q1 g4 O3 a5 A  q) ~; }) e3333351641,3333351643
3333353531,3333353533
3333355601,3333355603
; s  Y' D9 |) G3333358211,3333358213
: \  b3 k% v% Y% `3333358361,3333358363
3 X; V  M$ {# V% R: I0 w3333358781,3333358783
8 u* O# h. e+ O8 X1 d3333359501,3333359503
$ i! C/ Y, e7 |! m0 `" g8 s3333359591,3333359593
) I5 k5 P6 o, p6 f3333359831,3333359833
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