数学建模十大算法漫谈

异一

数学建模十大算法漫谈

作者:July  二零一一年一月二十九日
* G3 E" D: H" k5 C本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
; P. N% d7 r  T6 |II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科
9 y( C$ ?( q1 n/ C* p------------------------------------------
( ~/ u! Y, M) w2 |) h博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
3 F. M: c5 C) ?7 f6 O# m- _/ B3 s1 J2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
0 r( i6 T+ {3 j/ O, a& s- b7 M同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
1 K& m' W3 q- u0 Z. A/ O/ ]% ]3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。

' e& u- _, T0 z# C  I* K
一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
! ]4 g* S9 m4 e: \共同发明了，蒙特卡罗方法。
2 X7 ?; m0 I& I+ u' S( n/ [7 P
2 G9 z) F4 p+ n) _9 @此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
法。

$ x% N3 n9 r( Z8 l2 U由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
" G4 E! J7 \* n/ l/ g为问题的解。
) U) p5 C' H1 U
7 w* k- ~' t" Q4 W5 v有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
0 B; Z* p% h1 p4 K4 M. v, p，结果就越精确。
5 a& B1 z1 \% t* {( a+ t在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

' ^: ?3 _$ _, z9 [* B4 T$ l  c蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
近似解。

蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
. T8 x% i+ ^/ Y1 e  L5 A蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
8 P% J. }- Y# d3 yII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
, a% b. x  A% H7 F" L- {! k$ K此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
* e# k7 x' F* G2 L4 k7 ?

- i$ ?5 z( a3 e, c) E" l+ W二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
% k; g* e6 U- S) Z1 w& R0 W! s  Q我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
) x3 j' Q' ^2 r0 J& K: k  o1 y吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

$ _  K. a8 V% W  ^此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
, p0 D& q+ _' U5 c4 V3 t% v$ N: _- D

2 x( N) g7 r: J三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
; Q; k. I5 [* A  D、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
: @* H4 u8 @) Z$ F" Y7 n7 t; I1 Y需要熟悉这两个软件。

& ~  T# b2 K, D( M
) M  z" D# m6 d四、图论算法
这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。

关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
-----------
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
4 H' }8 z; A5 R2 U! o2 u' Bhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
% _( H$ W7 A+ A( ]: N* B$ {更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
! U; Y+ M' l, \7 `8 z! o

五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
7 w" t% l) [9 ]& B2 d在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
5 S+ R& g0 v$ k4 x! m4 C此外 98 年 B 题体现了分治算法。

; w6 C7 g% ~/ t! s5 f! D这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
# U. [( b! o$ I2 C2 R推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。


六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
7 C( Q7 O4 k+ p- F9 _这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
. t/ R+ B' i  a; a4 |$ _在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
+ H2 G8 ]% @! |4 h0 A' ^8 z% S4 A8 X以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
# k0 M! m4 T; ~- C03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
& h: |' ~! c6 [/ a2 C$ T
0 o# ]+ w, Y: b, @, y) U$ |% b另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
7 b2 l) W+ s( B7 o% j----------
经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
7 p* Y. n8 B* Jhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
$ F! r0 ^! B- w6 Z/ V9 A
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
, Q9 M! u/ Z) r' K  Q' f7 y
# t) n- V2 h: K" C; ]6 e
七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
5 b  H  h& E9 R- ]) d& x那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
$ }/ E( q, z) N$ u% z3 l快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
! F8 t* g# u9 l( q# g- Z穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

7 R* _. R: t9 K) [5 Z& f( I) o
) W6 O  i5 f: M& G八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
; w" V0 B: Y) o* u6 W中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
" r! e- i: X, q1 Z  _
, G* {, B8 L4 ~. P1 V+ K" C这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

4 j! {" q5 d4 s7 S0 D
4 O: k+ {5 h+ s/ \九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
算法。
4 ]9 U4 X! ?0 W$ c) q如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
7 Q3 d0 K/ z. {& b因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。


! e* C% ^) K+ s' b7 p十、图象处理算法
0 R8 q  Y1 c' b$ W' {: C2 e0 B+ _在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。

此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
http://download.csdn.net/source/3007336

本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
2 ]) X( w  V0 k9 \6 f! C& v* D  i. [完。
: y' E! v8 J$ U
9 F" c; i( m, z4 _) K
' j9 G+ i6 A. f; a/ x! Z2 Z作者声明：
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。

shicahju

别人都说过了 你再说一遍有意思吗？

异一

shicahju 发表于 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？

是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。
不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。

: |. c# a/ H2 [# {' @) E9 A最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~
据说笑会传染，多给你几个笑脸。

shicahju

异一 发表于 2012-8-1 15:41
! l. V- \2 q* r, O* r是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
6 p- K8 Z! ^: s& ]要不然就删帖吧？话说我也 ...

~~~好吧  刚进来就看到了很多算法

shaox

太多了~~

沧海浮萍

挺好的~~~觉得挺有用·

郑杰

谢谢你

郑杰

。。。。。。。。。。。

炎~黄

我感觉挺好的......

lingmo

哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈