数学建模十大算法漫谈

异一

数学建模十大算法漫谈

作者:July  二零一一年一月二十九日
5 ^1 v1 ]- C/ z本文参考：
+ O& K$ o6 n- V9 i; m5 O- \I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
! H1 L( `* o  P% d+ U+ d' ^0 zII、 本BLOG内 经典算法研究系列
! E9 @! c4 X/ t- n8 o( w) FIII、维基百科
" `- C4 X$ k; }------------------------------------------
4 C8 \- E1 u. z  _+ ?0 {$ {博主说明:
9 M+ H  ~0 s" c1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
/ T* i% ~+ s2 f% y+ }- |: v3 Y且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
- w" n3 B: T1 m7 S& R, i3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
: C. B* ]$ n9 v+ o若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
6 @% w# a7 ?1 n( q1 ^谢谢。


% d+ A% H1 n  h; d* W一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。
* Y6 l- |  {- }( e! }7 H  {) [
2 |- d# p8 o& @6 ~/ Y此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
% v+ V  k2 S  s) @3 F( Yhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
3 m. i, U' i+ W
8 a" C1 ]6 B( \  F; `. q; x$ u& C蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
4 e% H& e9 z+ T8 D! P法。
$ T/ H$ O3 i  x- C+ _; l' a
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
+ k5 A& G, C  M, |# O% L5 k蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
# {; P) P/ ~. E& w. N* y当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
为问题的解。
0 }$ m3 y% p' v8 j1 {2 d
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
) T* K& T: Q0 I# o假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
，结果就越精确。
9 ^2 \& A/ ]; |* g0 ]5 Y/ v' ]在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

) F3 I" k+ t$ r  m蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
' s  v. c- Z* K2 A拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
- h( x( k: M/ E: v) ~# l- P近似解。

蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
  T5 x, g0 G6 E3 U, |蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
- c* ^: n0 h; w( y$ pII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
7 I4 }5 M& U" }8 q# n& PIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
0 o4 E/ V5 I5 B9 e0 [# Y等等。
( ~# J  z6 O" q# g此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
9 Z4 U, A. F0 W* {* t8 q8 T( r- l
( N0 ^0 ?0 x% }" f& C3 B, k
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
; `* U# U. P. w; y数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

( k" C, r2 `3 G. p- L7 v此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
6 w! [5 _: Z- w$ K. T5 y4 z5 X

+ q. j5 V) g/ p& D* W三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
需要熟悉这两个软件。


! d/ M% F/ u* w* S! o四、图论算法
' K% x, i0 i% d% c* a这类问题算法有很多，
4 ?5 F0 b5 J6 l( k包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
( l% Y: ?1 ]6 q
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
! q- Z5 m! W/ e* l- n同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
& v3 R, O7 W; Z8 G: g-----------
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
( t# O. J/ f% `* |! \
: T8 K1 J. h: {9 h
: ^2 Q! {8 K0 d4 h) y) \6 G五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
, I% t( e' \9 ~4 V) j在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
) @, v) m& ^6 b此外 98 年 B 题体现了分治算法。

, \& C* K8 s! z这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
4 N2 H+ D& Y9 P- W/ Y+ D" l! u推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

8 `5 z, R& X! n5 E) l: K
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
( P+ ?. B0 d* @( A3 j03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
$ H5 Y6 O1 g. A* H+ x2 u/ o
1 J) c2 |8 ?6 y. d5 S0 A. _. p另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
4 b0 k) j0 g$ t: x- w' z6 [
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
3 R, Q( d3 p1 x
" K3 \' G& ~. |1 B' l* s, f# V
七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
% L8 b7 ], H. M3 c3 U: ~6 u! p那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

; A) \+ c$ N, i- B6 L/ j8 S* J在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
& k2 w) _$ D- b- j9 M3 I! T
) X' ^5 X" @6 E- @7 {
; o6 F( [$ _" q1 k8 D) n: |  K6 y八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
6 ~& Z, Q9 V1 H; h中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
6 N; g$ H0 F: M( I) `
# f5 g6 [; P& @这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

: T% R/ t0 Y7 `$ A7 h$ |1 O( }
/ [) ?4 K8 Y, |" N- m8 L0 J九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
, S& _3 i' k( H3 t算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。


十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。

+ I0 h7 T9 h: K: Y7 z+ h: E0 K此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
http://download.csdn.net/source/3007336

  m: L) D1 B; z本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
( D* X( b" g! O9 T) K日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
完。
7 X3 W( w1 \, [, ^
9 K9 J5 Y' Q( v9 ?
作者声明：
; J3 }+ J* u+ k: d5 I, K本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。

shicahju

别人都说过了 你再说一遍有意思吗？

异一

shicahju 发表于 2012-8-1 14:50
8 {. V) Z3 `: p' g/ Y别人都说过了 你再说一遍有意思吗？

5 k$ ?0 J/ o4 L是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
% I1 ?. A6 J: [* K% u7 g# D1 n) J要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。
不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。
' e5 J# S4 C+ ?* m) J# z; b4 V
+ n& q' v- B6 k最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~
据说笑会传染，多给你几个笑脸。

shicahju

异一 发表于 2012-8-1 15:41
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
要不然就删帖吧？话说我也 ...

2 S1 V' d# l; p% K- \( v~~~好吧  刚进来就看到了很多算法

shaox

太多了~~

沧海浮萍

挺好的~~~觉得挺有用·

郑杰

谢谢你

郑杰

。。。。。。。。。。。

炎~黄

我感觉挺好的......

lingmo

哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈