数学建模十大算法漫谈

异一

数学建模十大算法漫谈
$ T8 h, a4 g- C) {+ q
' |. a! R6 S. O; e& ~作者:July  二零一一年一月二十九日
本文参考：
& f5 d/ [! l1 T4 s* \' O) gI、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
( e9 U8 ~* I. K* G8 iII、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科
------------------------------------------
博主说明:
# {$ s: j! c. b( g8 p& Y- c1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
( \/ G( x. k( T+ r$ R) L这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
" `! D! ^  s: g4 ]2 \; t同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
6 \4 E6 ]  V) p% J8 P0 Y. B毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
/ ]7 f7 s# Q6 R! v3 l$ G4 ?2 `3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
# N, L/ f9 ~" ]6 W; o若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
/ z/ ?+ H4 [+ W8 G谢谢。


5 ]" }% Z2 g! O- }1 M% m一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。
( M, Q8 c7 `0 y) L7 Y
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
+ y* A" M. m; {; z# G
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
* B4 Z9 X! C' r. J2 L( v/ e的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
法。
: W- Y- c, w7 p/ d( W% U2 R
/ o; b& V2 `. g" U由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
! k. R. F# p; R" T0 H2 B1 f当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
1 ?+ l* o  Z+ o# ], A1 U为问题的解。
' m% u2 P* k8 P6 I3 g4 _& F, _
! t. u0 i  F+ Y7 h+ E0 Y有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
8 x0 i  g: [( J$ N* T度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
4 W1 s* Y$ h- g，结果就越精确。
6 e$ \2 e3 ]4 U' _; s/ e在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
  V# B6 m1 T9 z
+ ]& R. T; X/ j蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
( U. `2 A7 N8 ^7 K: I近似解。

蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
' |, L4 m7 n/ t- u& d( R* _4 y蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
% {+ X7 |" ]" D$ [4 Y5 G9 ~7 ?II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
$ _# B% ?# Z/ B% \等等。
此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
+ G( }1 {5 d9 {6 B
$ B  K! \# z, V2 y) ~2 \
, o( d0 ]8 {! Z. K) R& Z二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
4 ?* X. x2 L5 g! ^5 T" }学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
$ N# U1 p2 ^& b' s, c
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

0 D1 n' p% F. Q" k$ ?: _1 n- f
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
" k! Y9 I, F& _6 w  T  t数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
( C: B$ A3 A* O; q0 Y8 o# |* V8 W需要熟悉这两个软件。

& E8 i# Q' D- w- K3 t8 O3 |8 N
四、图论算法
* _9 N# F$ \' L9 u& T: n这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。

关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
/ ?# s6 ^: @8 ?: e( t0 c同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
-----------
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
7 R2 n6 X9 n* [http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
. T/ F- W$ a/ g% x更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。


; M: ~2 @' I- g6 l$ v6 }- o: d五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
8 F( y: \% R$ X0 x
) D7 u4 E# u2 ~  w这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
, ]6 n. M/ f+ z$ f3 ^# B; I推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
! v. \* B2 ^! b$ I6 L6 \9 H" _$ D

六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
/ R% f: \) {# r% \) o4 J' J, ?% r+ o在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
# D7 M4 D0 K* {% Q以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
* O1 }0 t* x( U03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

+ r; N0 i2 u& D3 I1 x" u2 h另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
$ p! o4 Y1 F) \: s# s5 f----------
经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
8 i6 `5 ]+ |2 a% \0 C. n' s! }( x
! V& `+ P8 `( [( V; A" M其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。

8 f7 f; J3 A5 U. j8 |$ x/ H
七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
1 ~4 W, q" r; O# O7 h1 O  [* _比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
4 l3 i" J" q( F% J比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
9 S- Z! u0 n7 q' K0 ~快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  


八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
- g' z$ H1 }6 |; M5 E2 I中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
8 e4 S& w# e: Y: c
% W) }4 V( U$ @5 ^这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
7 y9 r6 S4 c) s# g事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
4 n4 K/ z8 B- R" ~
6 s0 Z9 k( ]4 z& w+ `% B9 A* q4 {
九、数值分析算法
( }5 J2 U. E7 O5 a" i# C2 g数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
, `" H8 N" a9 n* o% `- U: {- f1 d函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
8 M+ V, x; O$ m因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
: V! ?; \# c% \! ]; ]

# D( A7 R( g& z8 B) _! n十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
+ J% l2 {% t" C" A" P( ?4 o# z计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
1 u7 J1 Y/ _0 _: r0 z, D因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
  T1 s5 d! ^5 ~
3 q( S0 n  r& n. C此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
http://download.csdn.net/source/3007336

- }. S2 D+ F  Z8 M本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
完。
- ~% Q  p) N; j( M8 O, g- r5 c

作者声明：
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。

shicahju

别人都说过了 你再说一遍有意思吗？

异一

shicahju 发表于 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？

7 s$ I& f3 E6 |- @4 }是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
' C, g. e. H, Z. T+ T& m: u要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。
不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。
) L( S; J( V+ ~* ?, @* S4 K6 u* V
' z- c2 j7 P$ }3 ]' e. a最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~
据说笑会传染，多给你几个笑脸。

shicahju

异一 发表于 2012-8-1 15:41
: }" L4 Z8 O& C* K- X! ~是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
! r) g* e* J, e! Q; e# x要不然就删帖吧？话说我也 ...

~~~好吧  刚进来就看到了很多算法

shaox

太多了~~

沧海浮萍

挺好的~~~觉得挺有用·

郑杰

谢谢你

郑杰

。。。。。。。。。。。

炎~黄

我感觉挺好的......

lingmo

哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈