人口预测

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人口预测
1.问题
# O1 g# @+ E4 ]$ C$ v; @/ H人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
& Z4 c" ]' h$ n8 u表1  美国人口统计数据
7 w2 \) @. Y+ }: M9 j5 }年（公元）
( M5 k' p" c, f" E5 j  w
人口（百万）        1790

; O$ X+ m( A4 \8 L& O3.9        1800

: O/ Z  {% k' Q8 k5.3        1810

( z; _5 g% P' X/ I5 K. B" y5 k+ t7.2        1820
1 I) q8 E6 ?# m2 t/ P4 ]
3 {( _* l; F# E) h9.6        1830

+ q' T9 y7 T- M: z6 q" o' Z12.9        1840

/ w% X% D1 u) B. q5 u  n17.1        1850
& Z, Y  X2 `( Z. q2 {
# j9 J1 E; }& V9 N23.2
) I7 }" F( h* j. m4 w- f年（公元）
1 l! g) p( }3 I5 Z4 D! g. Y7 B& P9 R
人口（百万）        1860

31.4        1870

38.6        1880

2 j% c% `% O2 B8 X2 s; t+ D9 M4 h50.2        1890
3 S( d! v3 M1 c& m% s9 H* E0 M' n6 `, i
62.9        1900
  b: Y/ k; K! e/ Z# ]  ~" i
4 Z( S3 H  U, q, c: W, k' Q76.0        1910
( U1 a6 |6 ^! q
92.0        1920

106.5
年（公元）

人口（百万）        1930
/ X# i! w' s! L/ i- k6 R; {
) s+ p5 W2 A- \  G1 R- A4 ^! D123.2        1940
7 D8 h3 n) A9 D  t4 _3 q. v
131.7        1950
7 b7 ]% b% k* d6 o" J* w2 W
150.7        1960

179.3        1970

204.0        1980

226.5        1990
# }% H! C, O& ]' u; d! g
251.4
1 e: b) u0 L9 D1 U) W
2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
8 m' v+ ^. A0 S9 i+ _, J9 p[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
6 h8 H% ~  g* k8 Z1 ?* l[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

于是 满足微分方程：
0 U! Z6 M' n$ q* {9 `1 J6 ~                       （1）
$ h6 u) W+ Y  ]5 r. g[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
1 P( O4 X% r0 P7 Q  j0 q. D! m9 X- Z: D" Y表明： 时， （ >0）.
, f  b* Q" I% \" t  K3 ^/ I[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
. H! J+ e; C. ~7 O. `通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
[5] 模型检验：
  o( I# x7 h8 Z& H   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
(公元)        实际人口
（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
7 W( m& M6 v1 G; H1 r* v( f# ]1830        12.9        13.7        6.2
! J$ u4 {, Z9 L1840        17.1        18.7        9.4
: b8 P; A- F: l/ T+ o+ R1850        23.2        25.6        10.3
1860        31.4        35.0        10.8
* W7 T$ C/ t, R1 G& D% S1870        38.6        47.8        23.8
4 K: P' f$ y2 Q. Y1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
! D2 ^+ o9 r1 r! |# A1 j  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
0 z% n( B, S/ N* |' |; I3. 阻滞增长模型（logistic模型）
9 J# p& `% z0 b+ }$ y; e# K7 X[1]假设：
+ |7 p1 N6 r4 f' U2 L1 L% y（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
4 T. |* q' }. b' i7 Y" z0 O[2]建立模型：
6 p9 C2 R3 D' N1 k1 n5 I3 E   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
1 j& {$ I) }3 A9 S6 C6 t; U将（3）式代入（1）得：
( L$ G( i! p& ~* R模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
1 a& d7 J4 C8 o4 P


3 x  x7 i3 y0 K0 ~, P

) V5 n- ]4 i% O9 J# O7 G$ O" J


* d7 Q9 P0 T& E1 t/ T
/ [) |% g; ?/ j
[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
* y) a1 ~8 q3 h [5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
5 S" w4 `2 T( ]" Z5 E' J$ y/ ~% C用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
. W4 R: F$ A6 C+ v% {
表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
: `# q  R. S) F5 w% H, a
- F8 I3 ^# @( U$ u& I& ]: ^年
        实际
/ G8 U# A4 m3 }& U) t. F0 [人口
5 T+ ^  O9 `- \- Q- h: o. ]3 |! F2 {8 |0 Z(百万)        阻滞增长模型
9 q. F* R0 R4 K( X" ~2 z                公式（5）        公式（6）
8 J8 Y  k7 u& `# `                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
2 Y; Z* M4 I% z4 T4 D9 F1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
$ z: n' x1 G5 w  P1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
2 G# N1 L) B) w7 J8 s  K1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
3 G1 b$ m8 {) i5 A1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
) }. @0 Y3 f- y/ R1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
. N) y) ^" a4 K# X( B* n2 d% C# ^# |1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
4 R* o  I/ I6 r. R1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
# v8 j1 z, k* C- r, `$ c1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
% U: N4 v# B0 _) V8 E9 e, V/ I1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
9 V# y2 ~3 H5 q% p) m1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
) O& m3 M0 }& Q$ v& l, u4 i8 k2 @1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
! M0 [$ p, k+ i1 I3 O1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
4 s3 v5 }9 Y' p% X3 r$ E, \也可用公式（5）进行预测.


6 X. C# s) g8 B

2923153768

很好的帖子，支持一下。
( ~0 z7 x+ }% J6 `  G! c# X# \