人口预测

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人口预测
1.问题
( @6 [5 ]& |9 P$ q* {8 E0 d人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
, o' _7 B* z: N表1  美国人口统计数据
& N' v0 T! x% R& L6 L7 E年（公元）
( q# ~0 e$ s2 N3 O
人口（百万）        1790
. H. [$ q2 \# ?' H) X) o9 h9 E) S) O
3.9        1800
- `' m/ y3 f% M3 Q2 b
5.3        1810

7.2        1820
+ g7 n3 ^/ H/ d* j8 ^8 }
4 o* a" v  e- }/ J8 G/ F( ?: w9.6        1830
7 p  e1 p) A, v( b1 ]3 F4 c+ O6 L
% i- p) e+ D- G5 C' O, g- Y12.9        1840

17.1        1850
% U6 P2 `( a4 e* x7 p  c3 z" e5 b1 ~
! j+ @3 d2 L5 O" [/ `' B8 [23.2
; U8 e; y0 ~" c, C1 i# d年（公元）
9 S! u8 N+ g, Z/ {( ?
+ k- [  M8 [1 ~7 K8 n人口（百万）        1860

4 P+ W- k& C3 U/ [5 v6 f/ F31.4        1870
. Z$ @. S: z) x8 C- r
38.6        1880

50.2        1890

' M9 [5 e8 }2 L: q, s- }62.9        1900
% F: }, F: f# K3 y
) w8 v; X( E1 M! k0 i$ ?; b76.0        1910
/ ~1 j/ G9 N  z3 |* n! r
: Q9 a' L+ y8 ~' z' {9 Q+ I2 d92.0        1920
+ @) n. d5 B6 i4 Y) `. C
9 A$ t0 k2 E& |106.5
2 c; ?9 t% d; [7 c年（公元）
! i; e2 Q6 e+ }, _6 |" _' r" Y
人口（百万）        1930
5 H1 m5 t" ?9 k- f
! X) O4 }, w+ x! y* e123.2        1940

/ F; U) q  M" y5 R. K131.7        1950
* k5 J) X$ D, C, B5 [! X  H% C
150.7        1960

9 j+ J0 g) y  K; D3 m& P: ]0 {! @179.3        1970

204.0        1980

226.5        1990

! q1 r* }7 j! o( R1 [251.4

2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
1 @# Z2 y8 W5 P" E8 s7 m此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
% N3 I6 U* V, r[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
, M9 p+ y8 o* t' M! F& D[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

$ o  w+ e% Z7 x' o! v7 V8 [! D! L4 f于是 满足微分方程：
                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
4 C  N  Q$ D8 G% `) ?通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
(公元)        实际人口
# a6 V1 i% i5 B4 T; I& T（百万）        指数增长模型
9 J! D! }+ z; g) i- ^3 k1 w                预测人口（百万）        误差（%）
, c" Q. [) `; d* a7 b5 B& c& l1790        3.9               
1800        5.3               
3 G& q% r7 v. F% @+ R+ K' o/ K7 I1810        7.2        7.3        1.4
  m' k9 D. m: x& x+ d$ s1820        9.6        10.0        4.2
3 A/ T; Y5 z5 Q) b: U1830        12.9        13.7        6.2
* X. e0 B0 C9 g. u5 G; R1840        17.1        18.7        9.4
" u- U) _* N7 ^; v  \; P0 D1850        23.2        25.6        10.3
( i) o: G/ }. b# m- y  R1860        31.4        35.0        10.8
% \8 d% b# s9 @# ]' g1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
2 r6 q0 h2 l$ b8 O; {4 \9 r1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
" h4 h+ s5 x5 Y  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
; h% S2 B6 k8 Y: ^/ }3. 阻滞增长模型（logistic模型）
. Q1 ~8 B* l% z[1]假设：
0 W  K% c; M' ^3 _! |（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
9 B  L% m% h/ r' q模型：                          （4）
( |* }3 P; C) C! O, @  t8 K[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
2 ?3 g7 x$ {) x0 q2 H  `1 T    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
- ^% Y2 v9 [6 ^7 e7 p
, n  I' @9 V" m' u7 q. ?  Z$ n
7 M' X4 a1 X2 U- r* e

% @$ y; v/ }: H) e
7 a/ v7 R. t) B4 I+ n" g0 q



2 _# ^* ~3 x/ z* J( L$ M) ]+ w
3 x% \, o- g: y* X[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
* m- q. J" d; V' }1 s [5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
9 a/ I4 F; E7 }也可将方程（4）离散化，得
  U2 F0 m( n3 v% B$ d# @      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

: H% t" C' h3 b/ e) L# n8 x9 R表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
. }8 t) O! I  r2 e  }) Y
" J! O2 b# D$ W7 V  W& |0 Y( s* C0 L年
' |& }$ {' \" ]% Q* w+ ?" k0 Z        实际
. A2 R7 y2 Z. K" O" C; ^; q人口
(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
$ I! A- e" Q1 H0 A                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
7 f: k0 _6 ?' Y1790        3.9                               
! y/ W9 V% L+ X/ N! F1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
7 o# f, _) X1 y) u; ?9 G. M1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
. v3 \9 a- W4 K/ y7 Q: y  I1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
  w& N" ?+ |4 N# X3 k' [5 Q1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
; b7 h* x/ ]9 W2 z9 K+ d. O1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
2 y* l4 z* c% @1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
( d! Y3 H7 U2 ?" B1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
4 _2 G3 r* H$ o  d1 k$ p' {# P+ z% R1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
2 y: }5 G  Z8 h. F  v7 `  A1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
8 @$ m( }; V( {1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
" a* I' j4 h' m) ?[6] 模型应用：
6 x! ^. N. S& |8 l: F 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
4 _/ L+ b6 h& K+ p5 v8 S: Zx(2000)=275; x(2010)=297.9.
% N! O% r( e# l, ?也可用公式（5）进行预测.

* U2 H: o8 z1 l( C
$ n8 Q. X4 ^+ u7 d" W. Z+ s

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很好的帖子，支持一下。