人口预测

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人口预测
* _( W  ]1 H4 C9 ^+ t- W1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
9 Q' j+ @. K: y年（公元）

- v* c) q5 {5 G$ q# y, K& p人口（百万）        1790
8 @9 t- o) D$ U* R: F% e" e& P
1 d8 O2 O! k( S- M/ N3 N( Q3.9        1800

* O' f3 u& o! J$ L5.3        1810
* i- O5 t% z, R+ F7 Z
# X: E# Z/ a  M7.2        1820

+ |) h: y- S% k9.6        1830

12.9        1840
" L+ B! W, y5 y+ R, T/ L
& G- T' Z& @2 |8 d* S2 O$ W17.1        1850

23.2
年（公元）

* n, g/ I) O: L6 s人口（百万）        1860

4 f( P$ ^0 e- y1 K4 d8 S# l31.4        1870
2 V6 c& J9 u6 h6 X
) w9 w* I: ^. L* S38.6        1880
; e" E% A$ W; Y8 b6 {5 }2 i' D
9 b; g6 Z7 O+ }4 N: n2 m) G% q# C) ?50.2        1890

62.9        1900

" H4 a" Y3 k7 ^* O76.0        1910

92.0        1920
3 a" W" v% g) J  I% g  b+ c6 e
106.5
9 u4 T) U4 U+ y7 K年（公元）

. E% e9 f$ ]9 K7 \0 l人口（百万）        1930

123.2        1940

, c: v# E2 T5 g: C1 S/ f131.7        1950

150.7        1960

179.3        1970

204.0        1980
# P8 y/ T* O3 c. k$ L2 W
226.5        1990

7 O3 Z+ E& E8 I7 W1 H251.4
! V! m/ U. S$ a+ Q  _
. q* S; \! B) T+ h5 X/ t2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
( s9 f, Q* w9 Q  I. h" D# c$ i此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

于是 满足微分方程：
                       （1）
: L' C# z2 v; A' F' y8 h6 _[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
& o6 ?+ D( X! n! F( @3 y2 v$ E. A                              （2）
. ?# b$ _, F# y2 \) X" }" M# @表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
, Z6 }" j3 ?$ A/ k(公元)        实际人口
（百万）        指数增长模型
' L% `) s& J3 k5 j" h/ D                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
) I& f& j3 b6 U/ ^* v1800        5.3               
  Y: [6 L. w' _8 f# c1 R3 |1810        7.2        7.3        1.4
5 ^1 {, O+ R- b' H1820        9.6        10.0        4.2
; `' b6 {3 [+ W0 N. {. w1 u/ N1830        12.9        13.7        6.2
1840        17.1        18.7        9.4
$ o$ }( i$ E% R1850        23.2        25.6        10.3
1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
8 ~  W0 i+ O4 v% j5 o8 }! I1880        50.2        65.5        30.5
4 v; U0 D- T9 g* T1 m* x, U1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
% m# b+ c' _8 f1910        92.0        167.6        82.1
* N0 e$ ^& z/ ~7 _+ l; Q7 A1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
* x& v- h9 G. e& G  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
* T9 N% S! V, @[1]假设：
7 m2 O# S) p0 l. d（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
: c1 e  Y: x# x% @（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
7 _1 \# s) r: V: k7 ]                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
- _; Y: \# K3 l0 w# F模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
* r2 C- o' p2 \# K
9 z$ o3 p2 R1 M' V  K
1 z# d% M2 g: u8 Y9 I

- Q* s4 l! \$ v3 P. A, ~+ ?$ L3 ~1 _

- @2 W5 N0 f' a

4 Z, b7 W. S7 z) c$ o; N

[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
: ?3 K' b; v% F+ h2 E& O: y. {      t=0,1,2,…,     (6)
' Y; s5 m& C* j2 s8 q用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
+ J2 G) P1 t  G1 ^- a
- v. C7 o( W. ~0 Z, ^; n' n; e年
. ^! S8 p' l( F        实际
人口
(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
5 f  H$ i, N- ]$ Y. D                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
* P4 w; J+ K  i7 ^; s1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
2 J6 V# r( J# o  v. |, t1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
  V  c: K6 b) G2 C0 Y1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
  N* k) @3 x& G4 |* s; w3 b7 u3 g$ h1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
" y  n: U4 J4 P# J1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
- {+ x' d' S" h9 X& ]5 s' @1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
8 Q2 v  K. v+ W5 `1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
5 ?0 v% U2 u* H& f( j1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
+ L# v) B- D8 {+ F3 b' u8 a1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
* t# H8 W! `& @3 r% \! s9 X1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
; V7 r& A1 d7 j. ^( _; v# c[6] 模型应用：
/ D- h9 Q3 N7 u: {0 }+ L) A 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
/ U' f) k+ O" w6 ix(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
- V$ w- N: k# y( b

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很好的帖子，支持一下。