人口预测

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人口预测
1.问题
' z3 Q% Z, J/ k# O人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
" M7 ]. p; h, N* p年（公元）

人口（百万）        1790
7 ~$ h& ~: i' a9 ^
3.9        1800
4 S6 j2 x4 L7 w4 G2 N  E- v5 f* a, M
5.3        1810
  @1 H9 u1 h9 g5 t4 v
7.2        1820

9.6        1830
5 D( M! ~1 `3 m& S
12.9        1840

17.1        1850
6 P- t8 h; f( ~1 f2 s
23.2
/ x- {  W/ e. k年（公元）
( z. W7 K- x! ^1 {8 z3 R
* t# j* H7 D! h. P7 D3 U人口（百万）        1860
( _. Q. Y* ]' \% X( R
7 o. s( F% b- S# w4 N# V31.4        1870

38.6        1880

' f8 u$ M; [- {" x) N' A; ^50.2        1890
* B3 S( m' Y; d7 b# f
; T3 G3 l4 {$ ?1 N9 G62.9        1900

' X6 ]- d% a8 @; a. g% F8 O2 b76.0        1910
1 [$ Y1 f# X* P" l  Q. T
92.0        1920

106.5
' I3 s" m' d0 Y. R年（公元）

人口（百万）        1930
% i) n7 f; b: t
123.2        1940
2 ]' D, C( R7 M3 Q: s/ ~. t7 r
131.7        1950
# n9 Z0 q, Y5 g" c2 o8 x
3 R; ^- a8 F" K' Q  m3 C150.7        1960
% f& f4 r2 K+ N
) Q3 |/ U/ }: L0 {179.3        1970

5 Z  F5 J6 y! J- p9 l% _4 B' Q204.0        1980

' C+ Q, y0 N3 r0 y; ~% r226.5        1990

8 W) U& V! J& q' o1 G251.4

6 b8 `1 }  c- }: e+ ~$ P$ A2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
3 f# }# e. w3 A0 F此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

$ e% F: M/ J6 ]' T$ C$ ^于是 满足微分方程：
2 N6 p1 y; i' l4 f5 Q  j1 {                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
, q9 i, @4 P7 D2 I. o- E  \表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
- u2 t3 G8 _0 O5 ?# p# w要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
5 f4 m5 ]$ Y' l" b[5] 模型检验：
7 \$ L. }2 i+ r  G   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
3 j$ X1 i6 l  H* p9 A$ }年
(公元)        实际人口
% o, P1 J( a( I$ R$ d. V（百万）        指数增长模型
" Z# k  F5 P, a1 `2 Y% S0 f6 p, {                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
1800        5.3               
& G. B/ h( m- J: W3 M6 N1810        7.2        7.3        1.4
# ^4 s1 i6 V2 {$ m+ F" \6 F1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
. P; c9 s6 k4 T7 x) M( D2 H1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
9 f9 N$ V7 ~" ?4 G# H1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
& p9 k5 q0 e- M% Q% M1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
5 P8 S9 B" g8 o+ S& H" h3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
! ?, R( `: q( ?0 f0 q（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
/ N' `9 @& H: T8 ~4 Y6 F% G8 o（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
( k& ~0 |, M1 v" w   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
6 [% {' M3 H3 m' {将（3）式代入（1）得：
5 [, a, S1 d! _+ `  m0 p" V模型：                          （4）
2 e8 ]# m3 W% \[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  

4 G0 }' q* @$ O+ X" d! e# t

+ I; \3 L( b" f$ v


4 \* W/ x7 M( F1 j

; `% _* }/ I9 d2 m0 D. ~/ A+ D

# u5 P* H  o6 ][4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
7 Y/ Q$ ?0 X" u  p6 l% y/ b8 f8 c [5] 模型检验：
+ @) u  V# H/ j2 }& o# \将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
, b3 j% M. n/ x8 ^用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

/ n* U% {/ v8 h. f7 n! V" u$ m/ c# \表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
, r9 v  T8 M( p# |0 P
/ w" h( N& O, ?4 K年
' u5 G* F# }# ~6 v        实际
3 n, g. y3 ?  u$ n! l! A* ?: F人口
2 Q5 ~2 s4 r8 _- H. j; i(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
' X+ n3 p; ]2 i# f' d1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
3 x; E/ k9 d7 l/ S# v! |1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
2 ^. x) v2 p; ?+ Q. V) v. J1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
, [" X  x. ]8 b1 E/ Y1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
5 b( ?' I3 Q2 H3 B1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
  [, s! P' y5 T# k- J1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
2 F, v; A; o9 s- |& Y: s" G1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
& \8 U4 V8 a" l1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
# V) X% m" `1 g6 p0 \1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
6 p' n. \5 h1 C0 r& O8 @4 A3 Y1 \1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
[6] 模型应用：
3 ]/ g  R1 O- ]3 ~ 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
; |( Q5 M4 D3 P, r' C6 {x(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
/ o7 ?& H. `7 s; T, @& a: ~
! n6 H( h4 S; _1 T

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很好的帖子，支持一下。
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