排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
  o% W) d6 G# M一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
$ o+ n5 U0 B  A) R6 a5 D/ x
下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
: U1 A& f3 x8 X  P' N7 ~5 F$ q' o7 L
6 m5 Q" V, ^8 w% g% `9 Y

$ a4 e6 B; E7 t" q9 ^7 x为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
9 z  ~+ ?0 b0 r* h1 E



  T" G( X% z8 w! ~8 G
述公式得到平稳状态的概率分布。

9 e- {- M1 M' h7 ~: N' e0 k# H2   M / M /s 等待制排队模型
& d4 {& }3 z2 @3 w/ k2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

/ `( E: ^5 V5 s2.1 队长的分布



2.2 几个主要数量指标
/ S2 {% k. ~% ] 对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长

: H1 r4 N4 g# s" B
# Q% |# v) [  i: s2 k* C/ p5 y/ y

% L& o5 S" G. \0 B$ i8 K6 g6 }
' F+ P8 P7 _5 p+ A# e3 J2 G3 M式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

2.3 忙期和闲期



- `, ]/ d* R! d' b4 p+ v& _个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。

3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
" |' S) u% x3 V（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
, B1 l' n! x1 A
& Z: Z  p+ Y  O6 `( W5 d6 S（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
6 V) q- b4 q* V# ?) E* D1 [
" c/ C$ n  w1 a+ }（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。

; Q6 J7 _* d# z. {  J例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。



3 ~1 d; D# x8 l3 R9 M* x' \编写 LINGO 程序如下：
! V2 X- F6 I: C( p6 z9 c
model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
" Q. @9 y: Q+ X( k$ g5 @0 ~Pwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
end
+ U" Q7 k+ B/ B4 ~* ~/ T4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
2 W' W: {7 w" @( |设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。


$ B" c5 G* Y6 T# X7 k
1 x( {% n; ]- ?! r2 i9 D公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
4 s" {0 P0 x" l: c& T

/ \+ h  ^6 N; ?
式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：
  g' L! \. a5 e6 y; K
& Z4 [/ r6 w( r5 Q# b& D( a( |- s

6 k! d& r. h' D  t0 ?
5 k8 _. Y3 @* r
  y, X1 t; J. E4 F4 M对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有
& E8 P3 D; ~8 w1 `& G

3 J. K6 n/ k" E# f) a
例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
( F6 i; Z7 ]: U3 o  \2 U
M / M / s/ ∞ 系统，其中


6 D' M, y  y' r/ N' \
. M+ U9 S( p; D1 R8 I
+ w1 i7 D3 g7 c
求解的 LINGO 程序如下：

# ~" T8 Z* w3 zmodel:
) D+ G. X* P1 s$ L6 B: R$ `% ms=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
( E$ P9 h: G* G3 ~5 M4 YP_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
/ f  Q) l" P+ t4 t& X& J4 C/ d3 UL_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
% l  {/ H# W8 [& @: }W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end
: d; p& E0 T. @8 T. ]
, C* t2 a4 J: Z1 g! F' E8 @7 s————————————————
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6 \- N8 L4 T8 b* I1 t7 J' j# B. ?5 \原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349
# s+ |3 N0 M) o) V; F& p& P
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SHINee0525

感觉很好 很实用
2 E  N6 B4 c  D& M% w. L  ]6 d( C+ L