排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
) a  e9 l- |" g# P- x7 d, z
- q( x: C2 S) ^9 J& G$ ~下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
9 V/ A# o* V+ O


为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
  o2 y, k2 _: g# K! o) a

- K# k% `1 g" x9 t$ J: R
! ?8 n3 d! x: [" \5 \

述公式得到平稳状态的概率分布。
& w- W+ `4 I4 x+ ?$ v- P
, q# }# U* w. R, M+ ~1 c9 d2   M / M /s 等待制排队模型
2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

$ y4 S0 f, {1 E7 W- w2.1 队长的分布



. q3 q* u3 p: W+ h5 A2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长

2 h% H6 g. ~; H1 ?2 d9 _0 G
6 E1 M2 C' {$ L: V6 K  a

: b; C1 d' A. }8 X" [6 c
4 E# h0 q( b  J式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
3 H- z) l9 J* g) `% g2 `* S
2.3 忙期和闲期

+ M2 e6 t4 N) y! L  F4 I$ |

个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
0 A- J! _' D6 \% ?3 u' W
0 a/ h  ?6 {9 L6 m$ `3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
  I* I( p9 D' U  \（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
' {: f& I# \9 |* [/ h; \
3 n# `9 I# _) J6 S7 g4 W( O（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。

& z  L) p  B& f- j（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
1 y- T$ v5 G; A
例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。
; P/ n. l/ \/ O3 l. `+ Y* U/ s* Y

; o0 O6 h3 T" a0 {
* Q* h" O; ~8 |7 l: A/ k" S编写 LINGO 程序如下：
* M: {  e3 I* |  F6 R8 R/ Z
model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
end
7 v) f7 n' P# h. N. S7 U6 p0 B4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
! h0 O+ f& c, R; j9 A4 f设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。

# D% u( Z' \0 C, u3 }2 I  H" ]
2 w7 V# w8 k! `$ S
, p0 F) y( n$ L5 J5 s' l公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记



9 n  n1 S6 e3 s式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：
; O% @9 t4 W6 [2 p* T/ g- U9 V
/ X* h2 g( w& E' ^
0 f6 `# ^4 }2 i& z

/ \7 z# |0 ]( h/ a8 M3 o$ \$ y
" ^' X9 Q. _$ L8 [6 |  j对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有


1 Y4 |  G" Z; r& x
5 c& X, l/ C9 G7 v& ^例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

M / M / s/ ∞ 系统，其中
/ [; D9 D9 M- a/ x
$ f/ Z/ A! x+ j$ q
6 b1 Z5 R* e/ \% s0 m
: H% \$ l7 `7 G  e/ i4 l

; S4 M  |' L+ T4 O: {求解的 LINGO 程序如下：
4 K! I0 E6 h3 r( e  Q
3 |- U$ x8 y4 M7 }* h- h6 b. |model:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
  [! s$ y, w+ s/ kP_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
1 ]; {+ u1 {. ]L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
# @3 ~/ X3 E) m3 b/ w! s& IW_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end

- [8 e7 c+ D9 a, G————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
5 M# ~$ d/ W( S4 C原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349

# v1 t/ ?+ ~: C/ y8 q3 `- Y' y

SHINee0525

感觉很好 很实用