排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
1 f! u0 H4 W6 U' r' ]一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
3 P& Q+ M2 a! V- A
下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
, s* O. w3 p3 \2 O
4 g5 U5 J7 z7 w* F

为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
  Z0 l$ e( s5 k6 N: `
7 K" i5 |( l! @$ C' S" `0 h
) k* E9 X, M8 k, y1 |" p  f5 j

( k/ G7 U9 _" u) f% U3 n- r
述公式得到平稳状态的概率分布。
4 k4 w* p4 g1 Y; N. Q; O. n# v
% a& t3 Z0 \% ]2 ~+ _2   M / M /s 等待制排队模型
2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
- {, C$ I  ~4 z& P
2.1 队长的分布

/ W0 A$ g9 V/ X5 `- A: c: o

- V$ T1 O1 S- t3 m) j' N6 g  i2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长


  l3 P( K0 N  [6 c
: F! c6 z  y( R4 s
0 ~( P+ d" z2 O% s
6 i3 n6 ^  K: s$ c7 F+ N3 u/ B式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
0 ^, ~. Z* o2 f" x3 K# V
! X! {7 y% s7 O3 E4 k* S+ _' r2.3 忙期和闲期
9 ^6 ~' G( `8 q- o0 o5 V. Y
9 @) y' h8 W- F

个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
- p$ P( w! P) ?; Z& O
3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
- i' S" B- Z) A- d+ R% Q（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
9 j# O7 _# O% F0 e7 a
0 ?8 y  Z' r/ y6 n（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。

（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。

例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。

) V6 e2 ?4 ]$ U# R& }

5 j7 g/ _" K2 v: w编写 LINGO 程序如下：

$ f5 C) j* x9 U! T0 Qmodel:
' z1 n4 D2 v/ F4 xs=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
& [' Z) s) `8 x6 up0=1-Pwait;
7 f9 p/ N5 j5 N3 PPt_gt_10=@exp(-1);
end
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。



公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
9 \% x- _$ M8 v: E0 U! H
* S% S: Y! I; Z  ~( d* x3 ]
/ Y7 c8 v* j: p" f/ [
式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：

2 [5 p( S* d# {3 Q, F2 j


! M9 g8 J5 U, Z( W% k
. @' J" G9 I( I* W3 R对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有
% C. B/ g) Z2 n1 L
7 `' V2 N8 r7 k5 E

0 y' g, J# p+ j4 q例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

M / M / s/ ∞ 系统，其中





! R. ~/ S$ X+ g5 a. m" A: Z求解的 LINGO 程序如下：
/ T  }3 B1 a1 }8 N& A) |% K# B
; S6 D0 n& O4 \model:
# b1 ]" ~3 @# q2 z5 k$ Ss=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
/ b+ i: t! q4 d) }, w4 n5 Q% }p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
; M% a* \- J$ Q5 v! Mend
" T& L& z: O% w
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" F% [: D. i5 E6 Y原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349
  d% l$ T+ p9 Y' O) d

SHINee0525

感觉很好 很实用