博弈论之凶残海盗的逻辑

QYY1994

     这是选自《科学美国人》中的一道智力题。据说，在美国，在20分钟内能解决这个问题的人，平均年薪在100万美金以上。
     10个海盗抢到了100颗宝石，每一颗都是一样的大小和珍贵。他们决定这么分：
/ ]) S" \5 O" j! W1.抽签决定自己的号码（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）。
2.首先，由1号提出分配方案，然后大家10人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
3.如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家9人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
4.以此类推……
6 X/ q5 H0 U( c' b0 q$ l     条件：
" @* f8 G! }( b" r# ?& G; {4 M1.每个海盗都是高度理性的人，都能很理智地把握全局，判断得失，从而做出选择。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。
2.每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的宝石。
4 S; M" S6 S7 c3.每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鲨鱼，这是最重要的。同时，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。
4.一颗宝石是不能被分割的，不可以你半颗我半颗。
. A8 D( i1 Y! N! x$ J3 ]1 s$ D- X5.每个海盗的序号都不同，而且所有海盗都知道别人的序号，也就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。
     问题：
. s3 d& X+ S  Q* d  |# x2 B: Z; {第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？
- @7 u8 n( f3 i: I9 [8 B; Z（欢迎大家踊跃发言，为了一百万美金的年薪。。。。。。）

数学中国—罂粟

A. 每一个海盗都想由自己来主导分配，因此下一号海盗总是会无条件反对上一个的提案，比如2会反对1、3会反对2等等；
, A5 N3 k: G( k; H+ H- G% X& a3 g
B.每一个海盗都会根据推测他人的策略来决定自己的策略；
9 N- k2 V: s! d1 d0 ]6 y- ^1 {, i
- s0 o+ W: p. E2 ~5 |+ w5 o然后倒推分析：
+ n/ l- Z3 O$ U" x% B
9 y( b; y5 s: V: `7 B1、当剩下9号、10号时，9号会按100/0来分配，因此10号的收益期望值是0。所以，对于10号而言，只要是有人分给他大于0，他肯定会同意；

4 S: e6 k1 a) M9 c2、对于8号而言，会想到9号肯定会反对自己的任何方案，因此8号会按99/0/1的方案来分配，争取10号的支持而淘汰9号；所以，对于9号而言，收益期望值也是0。
, `. M) P5 e1 v% D8 {
3、对于7号而言，8号肯定会反对自己，那么7号只要再争取9、10号中的1人同意即可，那么他可以选择给其中1人1块金子即可过关，分配方案是 99/0/0(1)/0(1)。此时，8号的收益期望值也是0。
9 W: p/ I5 d$ X+ h
4、同理，对于7、6、5、4、3、2的任何一位，他们的思考方式和上述的7号、8号是一样的，这样的话，2-7号的收益期望值也是0。

6 p0 e* C! N& T5、综上，2-10号的每一位收益期望值都是0，只要有人给他们分配的大于0他们就会同意。所以对于1号而言，为了争取50%的支持率的话，除掉2号不用考虑，剩下的8个人中只要随意分给4个人各1块金子即可过关。

$ S) l# j6 s/ [  s' y分配方案就是：1号96块，2号0块，3-10号其中的任意4个人各一块。

詹高杰

楼上的大神好厉害，点赞一个~！
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