博弈论之凶残海盗的逻辑

QYY1994

     这是选自《科学美国人》中的一道智力题。据说，在美国，在20分钟内能解决这个问题的人，平均年薪在100万美金以上。
7 R& u7 I; B# e1 G  o     10个海盗抢到了100颗宝石，每一颗都是一样的大小和珍贵。他们决定这么分：
' }" Q4 y, |# Z" I$ q1.抽签决定自己的号码（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）。
8 |* }; b7 H& P4 y, e, X3 s. S% p4 u2.首先，由1号提出分配方案，然后大家10人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
- x! I1 K8 i  A3.如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家9人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
4.以此类推……
     条件：
5 O7 Y2 l7 I  R+ L" s+ T: l# ?4 Y1.每个海盗都是高度理性的人，都能很理智地把握全局，判断得失，从而做出选择。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。
* s8 r* H4 u- U5 C8 N" {2.每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的宝石。
- z! R7 W; h& B2 U# c3.每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鲨鱼，这是最重要的。同时，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。
# O* r, w4 n. ]& _$ a/ k& T4.一颗宝石是不能被分割的，不可以你半颗我半颗。
5.每个海盗的序号都不同，而且所有海盗都知道别人的序号，也就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。
) ?5 X; {/ j' R! r3 T     问题：
第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？
0 u) k4 _  j* l; r2 z* @3 B# B（欢迎大家踊跃发言，为了一百万美金的年薪。。。。。。）
/ K9 s# k+ O6 n, h# [# o9 P

数学中国—罂粟

A. 每一个海盗都想由自己来主导分配，因此下一号海盗总是会无条件反对上一个的提案，比如2会反对1、3会反对2等等；

0 N! i; Y' D. p' j/ w. ]B.每一个海盗都会根据推测他人的策略来决定自己的策略；
% _3 ?  D5 e9 w& W
9 r6 z& K& Y2 [" \然后倒推分析：
. b, e# C2 p: Z# i( Q- |
1、当剩下9号、10号时，9号会按100/0来分配，因此10号的收益期望值是0。所以，对于10号而言，只要是有人分给他大于0，他肯定会同意；

& _8 y9 }" ~: J" v+ h' _( N2、对于8号而言，会想到9号肯定会反对自己的任何方案，因此8号会按99/0/1的方案来分配，争取10号的支持而淘汰9号；所以，对于9号而言，收益期望值也是0。
# R5 g: `, n4 e- B' y. I& X- M$ q
3、对于7号而言，8号肯定会反对自己，那么7号只要再争取9、10号中的1人同意即可，那么他可以选择给其中1人1块金子即可过关，分配方案是 99/0/0(1)/0(1)。此时，8号的收益期望值也是0。
1 \7 u, I- Z) u1 U& O
4、同理，对于7、6、5、4、3、2的任何一位，他们的思考方式和上述的7号、8号是一样的，这样的话，2-7号的收益期望值也是0。

  E0 P$ z+ e) L* V) ~5、综上，2-10号的每一位收益期望值都是0，只要有人给他们分配的大于0他们就会同意。所以对于1号而言，为了争取50%的支持率的话，除掉2号不用考虑，剩下的8个人中只要随意分给4个人各1块金子即可过关。
) t2 Y7 q( o1 p* \" P
! f. M$ C& t5 M- ~分配方案就是：1号96块，2号0块，3-10号其中的任意4个人各一块。
- }+ j- Y- }! O% R

詹高杰

楼上的大神好厉害，点赞一个~！